Σεμινάριο Προβλημάτων

Μιχάλης Κολουντζάκης

Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, Λεωφόρος Κνωσού, 714 09 Ηράκλειο, E-mail: kolount AT gmail.com

Φθινόπωρο 2012-13

Περιεχόμενα

• 1 Ωράριο
• 2 Περιγραφή του μαθήματος
• 3 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις
• 4 Ημερολόγιο Μαθήματος
  • 4.1 Δε, 24/9/11
  • 4.2 Τε, 26/9/11
  • 4.3 Δε, 1/10/12
  • 4.4 Τε, 3/10/12
  • 4.5 Δε, 8/10/12
  • 4.6 Τε, 10/10/12
  • 4.7 Δε, 15/10/12
  • 4.8 Τε, 17/10/12
  • 4.9 Δε, 22/10/12
  • 4.10 Τε, 24/10/12
  • 4.11 Δε, 29/10/12
    • 4.11.1 Πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων
  • 4.12 Τε, 31/10/12
  • 4.13 Δε, 5/11/12
  • 4.14 Τε, 7/11/12
  • 4.15 Δε, 12/11/12
  • 4.16 Τε, 14/11/12
  • 4.17 Δε, 19/11/12
  • 4.18 Τε, 21/11/12
  • 4.19 Δε, 26/11/12
  • 4.20 Τε, 28/11/12
  • 4.21 Δε, 3/12/12
  • 4.22 Τε, 5/12/12
  • 4.23 Δε, 10/12/12
  • 4.24 Τε, 12/12/12
  • 4.25 Δε, 17/12/12
  • 4.26 Τε, 19/12/12
    • 4.26.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τελικό διαγώνισμα
    • 4.26.2 Τελικό διαγώνισμα

Η ανακοίνωση του μαθήματος

1 Ωράριο

Δευτέρα 11-1, Τετάρτη 11-12 στην αίθουσα Γ104. Έναρξη μαθημάτων: 24/9/11.

Ώρες γραφείου: Πέμπτη 11-1 και γενικά μπορείτε να με βρίσκετε τα πρωινά στο γραφείο μου (Γ 111, στο προκατασκευασμένο κτήριο της Κνωσού).

2 Περιγραφή του μαθήματος

Δείτε την ανακοίνωση του μαθήματος εδώ..

3 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις

Θα εξαρτηθεί από το αν θα είναι μεγάλη ή μικρή η συμμετοχή στο μάθημα.

4 Ημερολόγιο Μαθήματος

4.1 Δε, 24/9/11

Λύσαμε σήμερα διάφορα προβλήματα. Όλα μπορείτε να τα βρείτε στο blog.

Ασχοληθήκαμε με τα προβλήματα:

• Τρεις πόρτες έχει η ζωή …
• Ν σωμάτια πάνω σε μια ράβδο
• Πώς να εξαφανίσετε ένα σημείο του κύκλου
• Ασφάλεια επικοινωνιών χαμηλής τεχνολογίας
• Ο αποτελεσματικός ηλεκτρολόγος
• Ποιο πολυώνυμο;

4.2 Τε, 26/9/11

Σήμερα ασχοληθήκαμε κυρίως με το πώς αποδεικνύει κανείς ότι κάποια σύνολα είναι αριθμήσιμα. Π.χ. δείξαμε ότι το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι αριθμήσιμο (αλγεβρικός λέγεται ένας αριθμός αν είναι ρίζα κάποιου πολυωνύμου με ακεραίους συντελεστές) και θυμηθήκαμε και το διαγώνιο επιχείρημα του Cantor με το οποίο αποδεικνύουμε ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι υπεραριθμήσιμοι το πλήθος.

Είδαμε επίσης το πρόβλημα

• Πόσα οχτάρια μπορείτε να κάνετε;.

4.3 Δε, 1/10/12

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

• Παιχνίδι με τραπουλόχαρτα
• ΕΡΕΥΝΑ: “Έχετε απατήσει τη/ο σύντροφό σας αυτό το καλοκαίρι;”
• Πόσους ελέγχους;
• Ακίνδυνα πυροτεχνήματα
• Περιφερειακός

4.4 Τε, 3/10/12

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

• Πώς να μην κρεμάσετε ένα κάδρο
• Σημεία και χρώματα
• Υπουργικό Συμβούλιο

4.5 Δε, 8/10/12

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

• Ο μέσος μισθός των διευθυντών
• Αναπόφευκτος συντονισμός
• Παιχνίδι μ’ ένα τόπι
• Κινούμενα κενά

4.6 Τε, 10/10/12

Σήμερα ασχοληθήκαμε με το παρακάτω πρόβλημα:

• Το πεπερασμένο και το άπειρο

Μπορείτε να διαβάσετε για τη μέθοδο (διαγώνιο επιχείρημα) σε πολλά σημεία. Δείτε π.χ. εδώ.

4.7 Δε, 15/10/12

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

• Τύπος για εμβαδό πολυγώνου
• Τα μαθηματικά είναι ο φίλος σας
• Πώς θα απελευθερωθούν;
• Μην τα περιμένετε όλα από τη μηχανή

4.8 Τε, 17/10/12

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

• Ανασχηματισμός και οικονομία
• Κατασκευάσαμε μια καμπύλη του Peano.

4.9 Δε, 22/10/12

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

• Υπολογίστε γρήγορα τους αριθμούς Fibonacci. Δείτε και εδώ.
• Σχέσεις

4.10 Τε, 24/10/12

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

• Σημεία μέσα σε κύκλο
• Υποομάδες των πραγματικών

4.11 Δε, 29/10/12

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

• Τομές συνόλων
• Τομές συνόλων όλες ίδιες
• Ικανοποίηση
• Περιγραφή ενός συνόλου μέσω πολυωνυμικών εξισώσεων

4.11.1 Πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων

Βρίσκεται εδώ. Φέρτε μου τις λύσεις των ασκήσεων μέχρι και τις 14 Νοεμβρίου (στο μάθημα). Λύστε τις μόνοι σας. Αν κολλήσετε κάπου (ή και χωρίς να κολλήσετε) ελάτε να με ρωτήσετε.

4.12 Τε, 31/10/12

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

• L-πλακόστρωση
• Αδύνατη παρεμβολή

4.13 Δε, 5/11/12

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

• Πώς να αλλάξετε τα πρόσημα
• Προσθαφαιρέσεις διανυσμάτων
• Πτώση μέχρι καταστροφής
• Θεώρημα Διοφαντικής Προσέγγισης του Dirichlet

4.14 Τε, 7/11/12

Λύσαμε το παρακάτω πρόβλημα:

• Εκλογικές Αντιφάσεις. Δείτε επίσης και τη διάλεξη του Noga Alon (περίπου στο σημείο 9:50 θα δείτε το θεώρημα του McGarvey που αποδείξαμε σήμερα).

4.15 Δε, 12/11/12

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τη λύση κάποιων από τα προβλήματα του φυλλαδίου. Η παράδοση των λυμένων ασκήσεων αναβάλλεται για την επόμενη Δευτέρα 19/11/12.

4.16 Τε, 14/11/12

Και σήμερα ασχοληθήκαμε με τη λύση κάποιων από τα προβλήματα του φυλλαδίου.

4.17 Δε, 19/11/12

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

• Ακέραιες δυνάμεις
• Έχουν δημασία οι διαστάσεις; (δεν τελειώσαμε).

4.18 Τε, 21/11/12

• Συνεχίσαμε να ασχολούμαστε με το πρόβλημα Έχουν δημασία οι διαστάσεις; (δεν τελειώσαμε).

4.19 Δε, 26/11/12

• Λύσαμε το πρόβλημα Πολύγωνα και παραλληλόγραμμα.
• Μιλήσαμε λίγο για σύνολα τύπου $B_2$ (σύνολα $A$ από ακεραίους τέτοια ώστε όλα τα αθροίσματα $a+b$, με $a, b \in A, a\le b$, είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Δώσαμε κάποια παραδείγματα τέτοιων συνόλων και ασχοληθήκαμε με το ερώτημα του πόσο μεγάλο μπορεί να είναι ένα τέτοιο σύνολο που είναι υποσύνολο του ${\left\{{1,2,\ldots,N}\right\}}$.

4.20 Τε, 28/11/12

• Λύσαμε το πρόβλημα Τραπουλόχαρτα σε σωρούς.

4.21 Δε, 3/12/12

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

• Το κουτί και το κουτάκι
• Μια στήλη από τούβλα

4.22 Τε, 5/12/12

Συνεχίσαμε και σήμερα το πρόγραμμα της προηγούμενης φοράς και είδαμε διάφορα ``ελαφρά'' προβλήματα/puzzles (από το βιβλίο του Briggs, Ants, Bikes and Clocks, Problem solving for undergraduates).

4.23 Δε, 10/12/12

Σήμερα μιλήσαμε για λίγο για την έννοια του εξωτερικού μέτρου ενός υποσυνόλου του ${\mathbb{R}}$ και με την ευκαιρία αυτή ορίσαμε το σύνολο του Cantor και αποδείξαμε διάφορες, τοπολογικές και μη, ιδιότητές του.

4.24 Τε, 12/12/12

Σήμερα δείξαμε ότι αν $a>0$ τότε υπάρχει ακολουθία φυσικών αριθμών

$$0<n_1<n_2<\cdots$$

ώστε να ισχύει $a = \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{n_j}$.

4.25 Δε, 17/12/12

Λύσαμε σήμερα τα εξής προβλήματα:

• Δείξαμε το θεώρημα Bernstein-Schröder.
• Δείξαμε ότι ο βαθμός ενός πίνακα δεν εξαρτάται από το σώμα των συντελεστών που επιτρέπουμε παρά μόνο από το ελάχιστο σώμα αριθμών στο οποίο ανήκουν τα στοιχεία του πίνακα.
• Λύσαμε το πρόβλημα Ομάδες και γεννήτορες
• Λύσαμε το πρόβλημα Γινόμενα πινάκων

4.26 Τε, 19/12/12

Σήμερα μιλήσαμε για νόρμες τελεστών και δείξαμε ότι αν $A \in {\mathbb{R}}^{n \times n}$ είναι ένας πίνακας με ${\left\Vert{I_n-A}\right\Vert}<1$ τότε ο $A$ είναι αντιστρέψιμος. Δείξαμε επίσης πώς μπορούμε να ορίσουμε τον πίνακα $e^A$ και την ιδιότητα $e^{A+B}=a^A\cdot e^B$.

4.26.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τελικό διαγώνισμα

Θα γίνει τη Δευτέρα 4/2/2013, 9:00-12:00 στην αίθουσα Γ 104 (ενδέχεται να αλλάξει η αίθουσα). Θα έχετε να λύσετε κάποια προβλήματα με τις τεχνικές που είδατε κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Για να προετοιμαστείτε ξαναδείτε τις λύσεις των προβλημάτων που φαίνονται σε αυτή την ιστοσελίδα.

4.26.2 Τελικό διαγώνισμα

Είναι εδώ σε μορφή pdf. Βαθμοί: 3134 -> 5, 3605 -> 3.