5.43 Τυχαίος περίπατος στους ακεραίους - Τρ, 11/12/2001

Φανταστείτε ένα σωμάτιο που βρίσκεται στο 0 της πραγματικής ευθείας τη χρονική στιγμή 0. Κάθε δευτερόλεπτο το σωμάτιο αυτό κινείται κατά μια μονάδα δεξιά ή αριστερά με ίση πιθανότητα, και ανεξάρτητα κάθε φορά από τις προηγούμενες κινήσεις του (φανταστείτε ότι κάθε φορά ρίχνει ένα τίμιο νόμισμα κι αν αυτό έρθει κορώνα πάει δεξιά, αν έρθει γράμματα αριστερά). Λέμε ότι το σωμάτιο αυτό εκτελεί ένα συμμετρικό τυχαίο περίπατο (random walk) στους ακεραίους.

Υποθέτουμε επίσης ότι στις θέσεις $-a$ και $b$, $a, b \in {\left\{{1,2,\ldots}\right\}}$, υπάρχουν απορροφητικά εμπόδια (absorbing barriers). Αυτό σημαίνει ότι αν το σωμάτιο βρεθεί σε μια από αυτές τις θέσεις τότε μένει εκεί για πάντα.

Σήμερα λύσαμε δύο προβλήματα. Πρώτα υπολογίσαμε την πιθανότητα να απορροφηθεί το σωμάτιο στο εμπόδιο $-a$, και την πιθανότητα να απορροφηθεί στο εμπόδιο $b$. Είδαμε ότι το άθροισμα αυτών των δύο πιθανοτήτων είναι ίσο με 1, και άρα η πιθανότητα να μην απορροφηθεί ποτέ το σωμάτιο είναι 0. Κατόπιν δείξαμε αυτό το τελευταίο γεγονός απ'ευθείας. Τέλος υπολογίσαμε το μέσο χρόνο απορρόφησης του σωματίου.