Θεωρία Μέτρου (μεταπτ.)

Μιχάλης Κολουντζάκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών,
Πανεπιστήμιο Κρήτης,
Βούτες, 70013 Ηράκλειο, E-mail: kolount AT gmail.com

Φθινόπωρο 2015-16

Περιεχόμενα

• 1 Ωράριο
• 2 Περιγραφή του μαθήματος
• 3 Σημειώσεις
• 4 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις
• 5 Ημερολόγιο Μαθήματος
  • 5.1 Τε, 23/9/2015: Ανασκόπηση τοπολογίας του ${\mathbb{R}}^d$. Γεωμετρία των ορθογωνίων.
  • 5.2 Δε, 28/9/2015: Το σύνολο Cantor
  • 5.3 Τε, 30/9/2015: Εξωτερικό μέτρο, ιδιότητες, μετρήσιμα σύνολα
  • 5.4 Δε, 5/10/2015: Ιδιότητες του μέτρου Lebesgue, σ-άλγεβρες, ύπαρξη μη μετρήσιμου συνόλου
  • 5.5 Τε, 7/10/2015: Μετρήσιμες συναρτήσεις και προσέγγισή τους από απλές συναρτήσεις
  • 5.6 Δε, 12/10/2015: Προσέγγιση από κλιμακωτές (step functions). Θ. Egorov και Lusin.
  • 5.7 Τε, 14/10/2015: Ορισμός ολοκληρώματος και θεωρήματα σύγκλισης
  • 5.8 Δε, 19/10/2015: Ορισμός ολοκληρώματος και θεωρήματα σύγκλισης, συνέχεια
  • 5.9 Τε, 21/10/2015: Ο χώρος $L^1$. Διάφορες κατασκευές.
  • 5.10 Δε, 26/10/2015: Ο χώρος $L^1$. Θεώρημα Fubini. Συνέλιξη. Μετασχηματισμός Fourier.
  • 5.11 Τε, 28/10/2015: Αργία, δε γίνεται μάθημα
  • 5.12 Δε, 2/11/2015: Το θεώρημα παραγώγισης του Lebesgue
  • 5.13 Τε, 4/11/2015: Προσέγγιση της μονάδας
  • 5.14 Δε, 9/11/2015: Συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης, απόλυτη συνέχεια
  • 5.15 Τε, 11/11/2015: Αργία, δε γίνεται μάθημα
  • 5.16 Δε, 16/11/2015: Απόλυτη Συνέχεια. Εισαγωγή στους χώρους Hilbert.
  • 5.17 Τε, 18/11/2015: Χώροι Hilbert
    • 5.17.1 Δε, 23/11/2015: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Διαγώνισμα
  • 5.18 Δε, 23/11/2015: Διαδικασία Gram-Schmidt και Ορθοκανονικές Βάσεις. Σειρές Fourier.
  • 5.19 Τε, 25/11/2015: Τελεστές σε χώρους Hilbert
    • 5.19.1 Πα, 27/11/2015: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Υπόδειγμα διαγωνίσματος
  • 5.20 Δε, 30/11/2015: Διαγώνιοι τελεστές. Συμμετρικοί τελεστές. Συμπαγείς τελεστές. Φασματικό Θεώρημα.
  • 5.21 Τε, 2/12/2015: Διαγώνισμα
  • 5.22 Δε, 7/12/2015: Γενικά μέτρα
  • 5.23 Τε, 9/12/2015:
  • 5.24 Δε, 14/12/2015:
  • 5.25 Τε, 16/12/2015:
    • 5.25.1 Δε, 28/12/2015: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Υπόδειγμα τελικού διαγωνίσματος
    • 5.25.2 Τρ, 12/1/2016: Τελικό Διαγώνισμα

1 Ωράριο

Δε-Τε, 11-1. Πρώτο μάθημα την Τετάρτη 23/9/2015. (Την πρώτη Δευτέρα δε γίνονται μαθήματα λόγω των εκλογών της 20ής/9/2015.)

Ώρες γραφείου του διδάσκοντα: Τρίτη 9-11 ή τα περισσότερα πρωινά.

2 Περιγραφή του μαθήματος

Το μάθημα «Θεωρία Μέτρου» είναι μια εισαγωγή στη θεωρία ολοκλήρωσης καθώς και σε συναφείς έννοιες και αποτελέσματα της Πραγματικής και Συναρτησιακής ανάλυσης και της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Σκοπός του μαθήματος είναι να διδάξει στο φοιτητή τις βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στο χτίσιμο της θεωρίας του ολοκληρώματος αλλά και χρήση του ολοκληρώματος αυτού (ολοκλήρωμα Lebesgue) στη Μαθηματική πράξη.

3 Σημειώσεις

Για αρχή και για προετοιμασία για το μάθημα δείτε αυτές τις ασκήσεις.

Θα ακολουθήσουμε το βιβλίο των Stein και Shakarchi, «Real Analysis».

4 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις

Ο βαθμός του φοιτητή θα προκύψει από το τελικό διαγώνισμα και από μια ενδιάμεση εξέταση, περίπου στα μέσα του εξαμήνου με συντελεστές 60% (τελικό διαγώνισμα) και 40% (ενδιάμεσο διαγώνισμα).

5 Ημερολόγιο Μαθήματος

5.1 Τε, 23/9/2015: Ανασκόπηση τοπολογίας του ${\mathbb{R}}^d$. Γεωμετρία των ορθογωνίων.

Καλύψαμε σχεδόν ολόκληρη την §1 του βιβλίου (εκτός το σύνολο Cantor). Κάναμε μια γρήγορη ανασκόπηση των βασικών τοπολογικών εννοιών στον Ευκλείδιο χώρο ${\mathbb{R}}^d$ και επίσης είδαμε τα Λήμματα 1.1 και 1.2 που αποτελούν ένα προοίμιο για τις βασικές ιδιότητες του μέτρου Lebesgue στην απλή περίπτωση των ορθογωνίων στο ${\mathbb{R}}^d$.

5.2 Δε, 28/9/2015: Το σύνολο Cantor

Δείξαμε πρώτα σήμερα ότι κάθε ανοιχτό σύνολο στο ${\mathbb{R}}^d$ μπορεί να γραφεί ως ένωση κύβων που ανά δύο μπορούν να τέμνονται μόνο στο σύνορο. Για $d=1$ μπορεί κανείς να γράψει το τυχόν ανοιχτό ως ξένη ένωση ανοιχτών διαστημάτων αλλά αυτό δεν ισχύει στο ${\mathbb{R}}^d$ για $d \ge 2$. Λύστε την άσκηση 12 που λέει ακριβώς αυτό.

Έπειτα ορίσαμε την έννοια του εξωτερικού μέτρου ενός τυχόντος συνόλου στο ${\mathbb{R}}^d$ (διαβάστε την ορισμό από την §2 του βιβλίου σας), και δείξαμε ότι μονοσύνολα και αριθμήσιμα σύνολα έχουν μέτρο 0 όπως και το ότι αριθμήσιμη ένωση συνόλων με μέτρο 0 έχει κι αυτή μέτρο 0.

Έπειτα ορίσαμε το σύνολο Cantor και δείξαμε τις θεμελιώδεις ιδιότητές του (αφού πρώτα θυμηθήκαμε το λεγόμενο διαγώνιο επιχείρημα του Cantor, με το οποίο δείξαμε ότι το σύνολο του Cantor είναι ένα υπεραριθμήσιμο σύνολο). Διαβάστε για το σύνολο του Cantor από την §1 και λύστε οπωσδήποτε τις δύο πρώτες ασκήσεις του Κεφαλαίου στις οποίες αποδεικνύονται οι περισσότερες ιδιότητές του, πολλές από τις οποίες τις δείξαμε ήδη στο μάθημα σήμερα. Λύστε επίσης και τις ασκήσεις 3 και 4 που αφορούν παραλλαγές της κατασκευής του συνόλου Cantor.

5.3 Τε, 30/9/2015: Εξωτερικό μέτρο, ιδιότητες, μετρήσιμα σύνολα

Δώσαμε σήμερα ξανά τον ορισμό του εξωτερικού μέτρου ενός συνόλου και μετά αποδείξαμε όλες τις ιδιότητες αυτού που αναφέρονται στην §2 του Κεφ. 1, με κάθε λεπτομέρεια. Έπειτα (§3) δώσαμε τον ορισμό του Lebesgue μετρήσιμου συνόλου. και αποδείξαμε μέχρι και την Ιδιότητα 3 αυτού.

Προσπαθείστε να κατανοήσετε πλήρως τις αποδείξεις των διαφόρων προτάσεων που δώσαμε σήμερα. Η μεθοδολογία που ακολουθήσαμε σε πολλές από αυτές είναι πολύ χαρακτηριστική για το μάθημα αυτό και θα χρησιμοποιούμε παρόμοιες μεθόδους καθ' όλη τη διάρκεια του μαθήματος.

5.4 Δε, 5/10/2015: Ιδιότητες του μέτρου Lebesgue, σ-άλγεβρες, ύπαρξη μη μετρήσιμου συνόλου

Τελειώσαμε σήμερα με τις υπόλοιπες ιδιότητες του μέτρου Lebsgue, είδαμε την έννοια της σ-άλγεβρας υποσυνόλων ενός χώρου (συνόλου), είδαμε ότι τα Lebesgue μετρήσιμα σύνολα αποτελούν μια σ-άλγεβρα, είδαμε ποια είναι η σ-άλγεβρα των Borel υποσυνόλων και ότι κάθε Lebesgue μετρήσιμο σύνολο γράφεται ως κάποιο Borel σύνολο συν ένα σύνολο μέτρου μηδέν, και τέλος είδαμε την ύπαρξη μη μετρήσιμων συνόλων. Έχουμε τελειώσει και την §3 βιβλίου.

Λύστε τις ασκήσεις 5, 6, 7, 9 του Κεφαλαίου 1.

5.5 Τε, 7/10/2015: Μετρήσιμες συναρτήσεις και προσέγγισή τους από απλές συναρτήσεις

Ορίσαμε σήμερα την έννοια της μετρήσιμης συνάρτησης και είδαμε τις βασικές ιδιότητες αυτών των συναρτήσεων. Από δω και πέρα όλες οι συναρτήσεις με τις οποίες θα ασχολούμαστε θα είναι μετρήσιμες. Είδαμε επίσης ότι κάθε μετρήσιμη συνάρτηση μπορεί να προσεγγιστεί κατά σημείο από απλές συναρτήσεις. Σταματήσαμε πριν το Θεώρημα 4.3 του βιβλίου.

5.6 Δε, 12/10/2015: Προσέγγιση από κλιμακωτές (step functions). Θ. Egorov και Lusin.

Αποδείξαμε κατ' αρχήν ότι κάθε μετρήσιμη συνάρτηση προσεγγίζεται σ.π. από μια ακολουθία κλιμακωτών συναρτήσεων (δηλ. πεπερασμένους γραμμικούς συνδυασμούς χαρακτηριστικών συναρτήσεων ορθογωνίων).

Με αφορμή την απόδειξη του βιβλίου (Θ. 1.4.3) που αναφέρει ότι αρκεί να προσεγγίσουμε τη χαρακτηριστική ενός μετρήσιμου συνόλου, αφού οι απλές συναρτήσεις προσεγγίζουν κατά σημείο την τυχούσα μετρήσιμη, είδαμε ότι αυτή η αναγωγή δεν είναι και τόσο απλή και μάλλον αποτελεί λάθος της απόδειξης (δώσαμε μια άλλη απόδειξη).

Το πρόβλημα είναι ότι δε μπορεί κανείς να πει ότι αν κάποια συνάρτηση είναι κατά σημείο όριο μιας ακολουθίας συναρτήσεων και κάθε όρος της ακολουθίας είναι κατά σημείο όριο μιας άλλης ακολουθίας (που εξαρτάται φυσικά από το ποια συνάρτηση προσεγγίζουμε) τότε η πρώτη συνάρτηση μπορεί να προσεγγιστεί κατά σημείο από συναρτήσεις που προσεγγίζουν την ενδιάμεση ακολουθία. Λίγο πιο αυστηρά:

Θεώρημα 1   Υπάρχουν συναρτήσεις $f, f_n, f_{n,k}$ (ορισμένες στον ίδιο χώρο $X$) τέτοιες ώστε

$$f(x) = \lim_n f_n(x), \forall x \in X,$$

και

$$f_n(x) = \lim_k f_{n,k}(x), \forall x \in X, n \in {\mathbb{N}},$$

αλλά δεν υπάρχει ακολουθία $k_n$ ώστε

$$f(x) = \lim_n f_{n, k_n}(x), \forall x \in X.$$

Προσπαθείστε να το αποδείξετε. Αποδείξτε επίσης (εύκολο, μια απλή εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας) ότι αυτό δεν ισχύει αν στη θέση της κατά σημείο σύγκλισης βάλουμε σύγκλιση ομοιόμορφη στο $X$.

Αποδείξαμε έπειτα το θεώρημα του Egorov και το θεώρημα του Lusin.

Λύστε τις ασκήσεις 11, 16, 17, 18, 22 του Κεφ. 1.

5.7 Τε, 14/10/2015: Ορισμός ολοκληρώματος και θεωρήματα σύγκλισης

Αρχίσαμε σήμερα τη συζήτηση για τον ορισμό του ολοκληρώματος Lebesgue (Κεφ. 2, μέχρι και το Λήμμα 1.7).

Αρχίσαμε με τον ορισμό του ολοκληρώματος για απλές συναρτήσεις, επεκταθήκαμε σε φραγμένες συναρτήσεις με φορέα πεπερασμένου μέτρου και μετά σε γενικές μη αρνητικές συναρτήσεις. Ταυτόχρονα βλέπουμε και κάποια θεωρήματα σύγκλισης (που συνήθως έχουν τη μορφή εναλλαγής ορίου και ολοκληρώματος).

5.8 Δε, 19/10/2015: Ορισμός ολοκληρώματος και θεωρήματα σύγκλισης, συνέχεια

Σήμερα τελειώσαμε τον ορισμό του ολοκληρώματος σε όλες τις μετρήσιμες συναρτήσεις. Αποδείξαμε το Θεώρημα Μονότονης Σύγκλισης καθώς και το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης, τα δύο σημαντικότερα θεωρήματα σύγκλισης στη θεωρία μέτρου, που συχνά χρησιμοποιούνται για την εναλλαγή οριακών διαδικασιών όπως το όριο ως προς μια παράμετρο και το ολοκλήρωμα. Έχουμε καλύψει ολόκληρη την §2.1 του βιβλίου.

Είδαμε επίσης το πώς σκεφτόμαστε για την κατασκευή διαφόρων παραδειγμάτων στην Ανάλυση (συνήθως κάποιες ακολουθίες συναρτήσεων που έχουν κάποιες επιθυμητές ιδιότητες), και είδαμε πολλά τέτοια παραδείγματα, π.χ. την Άσκηση 19 από αυτές τις ασκήσεις.

Λύστε τις παρακάτω ασκήσεις του Κεφ. 2: 3, 6, 8, 9, 10, 12.

5.9 Τε, 21/10/2015: Ο χώρος $L^1$. Διάφορες κατασκευές.

Σήμερα ορίσαμε και τυπικά το χώρο $L^1({\mathbb{R}}^d)$ και δείξαμε ότι είναι πλήρης χώρος.

Κατά τα άλλα ασχοληθήκαμε με διάφορες κατασκευές συναρτήσεων ή ακολουθιών συναρτήσεων που έχουν κάποιες ιδιότητες, συνήθως φαινομενικά αντιφατικές μεταξύ τους.

5.10 Δε, 26/10/2015: Ο χώρος $L^1$. Θεώρημα Fubini. Συνέλιξη. Μετασχηματισμός Fourier.

Αποδείξαμε πρώτα ότι οι απλές, οι κλιμακωτές και οι συνεχείς συναρτήσεις με συμπαγή φορέα είναι όλα σύνολα πυκνά στον $L^1({\mathbb{R}}^d)$ (με τη μετρική του). Ορίσαμε το μετασχηματισμό Fourier μιας $L^1$ συνάρτησης και είδαμε ότι είναι μια συνάρτηση ομοιόμορφα συνεχής στο ${\mathbb{R}}^d$ και επίσης ότι τείνει στο 0 στο άπειρο (Λήμμα Riemann-Lebesgue). Δείξαμε ότι η μεταφορά (translation) στον $L^1$ είναι συνεχής πράξη. Αναφέραμε (χωρίς να το αποδείξουμε) το θεώρημα του Fubini και είδαμε το πώς το χρησιμοποιούμε συνήθως. Το χρησιμοποιήσαμε για να δείξουμε ότι η συνέλιξη δύο $L^1$ συναρτήσεων ορίζεται ως μια συνάρτηση στο $L^1$ και επίσης για να δείξουμε ότι ο μετασχηματισμός Fourier της συνέλιξης δύο συναρτήσεων είναι το κατά σημείο γινόμενο των δύο μετασχηματισμών Fourier.

5.11 Τε, 28/10/2015: Αργία, δε γίνεται μάθημα

5.12 Δε, 2/11/2015: Το θεώρημα παραγώγισης του Lebesgue

Ορίσαμε τη μεγιστική συνάρτηση των Hardy και Littlewood για κάθε $f \in L^1({\mathbb{R}}^d)$

$$f^*(x) = \sup{\left\{{\frac{1}{m(B)} \int_B {\left\vert{f(y)}\right\vert} dy}\right\}},$$

όπου το supremum το παίρνουμε για όλες τις μπάλες $B$ στο ${\mathbb{R}}^d$ που περιέχουν το $x$, και δείξαμε την ασθενή $L^1$ ανισότητα

$$m{\left\{{f^* > \alpha}\right\}} \le \frac{3^d}{\alpha} {\left\Vert{f}\right\Vert}_1.$$

Έπειτα χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα αυτή καθώς και την πυκνότητα των $C_c({\mathbb{R}}^d)$ συναρτήσεων στον $L^1({\mathbb{R}}^d)$ για να δείξουμε το θεώρημα παραγώγισης του Lebesgue:

$$\lim_{B \downarrow x} \frac{1}{m(B)} \int_B{\left\vert{f(x)-f(y)}\right\vert} dy = 0,$$

σχεδόν για κάθε $x \in {\mathbb{R}}^d$.

Καλύψαμε σχεδόν ολόκληρη την §1 του Κεφ. 3 (εκτός τα σημεία πυκνότητας συνόλου).

5.13 Τε, 4/11/2015: Προσέγγιση της μονάδας

Σήμερα μιλήσαμε για τη σύγκλιση $f*K_\delta \to f$ (για $\delta \to 0$), όπου ο «πυρήνας»

$$K_\delta(x), (\delta>0)$$

κάποιες καλές ιδιότητες «συρρίκνωσης» γύρω από το 0 (δείτε ιδιότητες (σελ. 109 του βιβλίου). Είδαμε ότι όταν ο $K_\delta$ είναι αυτό που ονομάζουμε «καλός πυρήνας» τότε, για $f \in L^1({\mathbb{R}}^d)$,

$$\lim_{\delta \to 0+} {\left\Vert{f*K_\delta - f}\right\Vert}_1 = 0.$$

Όσον αφορά την κατά σημείο σύγκλιση είδαμε ότι αν $x$ είναι σημείο συνέχειας της $f$ τότε $f*K_\delta(x) \to f(x)$. Αν, επιπλέον, ο πυρήνας $K_\delta$ είναι προσέγγιση της μονάδας (δείξαμε ότι αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις καλών πυρήνων) τότε έχουμε σ.π. σύγκλιση κατά σημείο.

5.14 Δε, 9/11/2015: Συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης, απόλυτη συνέχεια

Μιλήσαμε για συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης (σε διάσταση $d=1$) και αποδείξαμε ότι αυτές είναι ακριβώς οι συναρτήσεις που μπορούν να γραφούν ως διαφορά δύο αυξουσών συναρτήσεων. Μιλήσαμε για το ότι κάθε συνάρτηση φραγμένης κύμανσης είναι σχεδόν παντού παραγωγίσιμη (αλλά παραλείψαμε την απόδειξη). Αποδείξαμε το Πόρισμα 3.7 και είδαμε τη συνάρτηση Cantor-Lebesgue. Ορίσαμε τις απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις και είδαμε κάποιες βασικές ιδιότητές τους. Τέλος αποδείξαμε το θεώρημα κάλυψης του Vitali στη μορφή του Πορίσματος 3.10. (Για το Λήμμα Vitali ακολούθησα την απόδειξη που φαίνεται εδώ.)

5.15 Τε, 11/11/2015: Αργία, δε γίνεται μάθημα

5.16 Δε, 16/11/2015: Απόλυτη Συνέχεια. Εισαγωγή στους χώρους Hilbert.

5.17 Τε, 18/11/2015: Χώροι Hilbert

Την εβδομάδα της 16ης Νοεμβρίου τελειώσαμε την απόδειξη του Θεωρήματος 3.11 για απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις.

Από το Κεφ. 3 λύστε τις ασκήσεις: 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13.

Ξεκινήσαμε τη συζήτηση για χώρους Hilbert, από τους οποίους το κύριο (αλλά όχι μόνο) παράδειγμα που θα μας απασχολήσει είναι ο χώρος $L^2({\mathbb{R}}^d)$. Αποδείξαμε τις ανισότητες Young, Holder/Cauchy-Schwarz, Minkowski (τριγωνική ανισότητα για $L^p({\mathbb{R}}^d)$, $1\ge p < \infty$), παραλείψαμε την απόδειξη της πληρότητας του $L^p({\mathbb{R}}^d)$ (ίδια με του $L^1$ για τους ολοκληρωτικούς χώρους), δείξαμε τη διαχωρισιμότητα των $L^p$ για πεπερασμένο $p$ και τη μη διαχωρισιμότητα του $L^\infty$, είδαμε διάφορα παραδείγματα χώρων Hilbert όπως τους χώρους $\ell^2({\mathbb{Z}})$ και τους χώρους $L^2$ με βάρη, είδαμε την έννοια της ορθογωνιότητας και του ορθοκανονικού συστήματος (ΟΚΣ), αποδείξαμε την ανισότητα Bessel για ορθοκανονικά συστήματα, είδαμε την έννοια της ορθοκανονικής βάσης ενός χώρου Hilbert και αποδείξαμε το Θεώρημα 2.3 που δίνει ισοδύναμες συνθήκες για το να είναι ένα ΟΚΣ ορθοκανονική βάση (ΟΚΒ) του χώρου. Μια από τις συνθήκες αυτές είναι η ισότητα του Parseval.

Από το Κεφ. 4 λύστε τις ασκήσεις: 1, 2, 3, 5, 7, 8.

5.17.1 Δε, 23/11/2015: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Διαγώνισμα

Το διαγώνισμα θα πραγματοποιηθεί την Τετάρτη 2 Δεκ. 2015, κατά τη διάρκεια του μαθήματος (αρχίζουμε ακριβώς στις 11:00 και τελειώνουμε ακριβώς στις 13:00). Θα εξεταστείτε πάνω σε ό,τι έχουμε κάνει μέχρι και τώρα (23/11/2015).

5.18 Δε, 23/11/2015: Διαδικασία Gram-Schmidt και Ορθοκανονικές Βάσεις. Σειρές Fourier.

Αποδείξαμε με τη διαδικασία ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt ότι κάθε χώρος Hilbert έχει ΟΚΒ. Έτσι αποδείξαμε ότι κάθε δύο χώροι Hilbert είναι μεταξύ τους ισόμορφοι, με την έννοια ότι υπάρχει μια 1-1 και επί γραμμική απεικόνιση ανάμεσά τους που διατηρεί το εσωτερικό γινόμενο (και άρα και τη νόρμα).

Μιλήσαμε έπειτα για συντελεστές και σειρές Fourier και δώσαμε το σχέδιο της απόδειξης του θεωρήματος μοναδικότητας (Θ. 3.1). Εξειδικεύσαμε στο χώρο $L^2([-\pi, \pi])$ αυτά που είχαμε δεί για γενικούς χώρους Hilbert.

5.19 Τε, 25/11/2015: Τελεστές σε χώρους Hilbert

Είδαμε την έννοια της προβολής σε κλειστό υπόχωρο χώρου Hilbert και τις ιδιότητές της. Μιλήσαμε για φραγμένα (συνεχή) συναρτησοειδή και τελεστές σε χώρους με νόρμα και ειδικότερα σε χώρους Hilbert. Αποδείξαμε το θεώρημα αναπαράστασης του Riesz για χωρους Hilbert και την ύπαρξη του συζυγούς (adjoint) τελεστή.

5.19.1 Πα, 27/11/2015: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Υπόδειγμα διαγωνίσματος

Εδώ.

5.20 Δε, 30/11/2015: Διαγώνιοι τελεστές. Συμμετρικοί τελεστές. Συμπαγείς τελεστές. Φασματικό Θεώρημα.

Φτάσαμε μέχρι το τέλος του Κεφαλαίου αλλά δεν αποδείξαμε το Θ. 6.1 για συμπαγείς τελεστές ούτε και το Φασματικό Θεώρημα (Spectral Theorem). Από την άλλη εβδομάδα θα ασχοληθούμε γενικούς χώρους μέτρου.

5.21 Τε, 2/12/2015: Διαγώνισμα

Εδώ.

5.22 Δε, 7/12/2015: Γενικά μέτρα

Κάναμε τις ασκήσεις του διαγωνίσματος.

Μιλήσαμε για γενικούς χώρους μέτρου, ακολουθώντας σε γενικές γραμμές το πρώτο Κεφ. από το βιβλίο του Rudin, Real and Complex Analysis. Πολλές από τις αποδείξεις τις έχουμε ήδη κάνει για το μέτρο Lebesgue οπότε δεν τις επαναλάβαμε γιατί δεν είναι διαφορετικές στη γενική περίπτωση.

5.23 Τε, 9/12/2015:

5.24 Δε, 14/12/2015:

5.25 Τε, 16/12/2015:

Αποδείξαμε το Θεώρημα αναπαράστασης του Riesz για την αναπαράσταση φραγμένων γραμμικών συναρτησοειδών στο χώρο $C_c(X)$ από μέτρα πάνω στο χώρο $X$. Ακολουθήσαμε το 2ο κεφάλαιο από το Rudin.

5.25.1 Δε, 28/12/2015: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Υπόδειγμα τελικού διαγωνίσματος

Εδώ.

5.25.2 Τρ, 12/1/2016: Τελικό Διαγώνισμα

Εδώ.

Αποτελέσματα εδώ.