Στοχαστικές Ανελίξεις

Μιχάλης Κολουντζάκης και Πέτρος Γαλανόπουλος

Τμήμα Μαθηματικών
Πανεπιστήμιο Κρήτης
Λεωφόρος Κνωσού
714 09 Ηράκλειο

E-mail: kolount@member.ams.org

Ανοιξη 2002-03

1 Ωράριο

ΡΑ 105: Πέ 1-3, Πα 11-1.

Ώρες γραφείου: Θα ανακοινωθούν.

2 Περιγραφή του μαθήματος

Από τον οδηγό σπουδών του Τμήματος:

Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση με βασικές δομές εξάρτησης, δειγματικές τροχιές και συγκεκριμένα μοντέλα ανελίξεων.

Περιεχόμενο:

1. Παραδείγματα απλών στοχαστικών ανελίξεων (σ.α), κατάταξη σ.α., δειγματικές τροχιές, κατανομές, έννοιες στασιμότητας και εργοδικότητα.
2. Aλυσίδες Markov (διακριτού χρόνου): πιθανότητες μεταπηδήσεως, κατάταξη των καταστάσεων, περιοδικότητα, εργοδικότητα, απορρόφηση.
3. Aλυσίδες Markov (συνεχούς χρόνου): ανελίξεις γεννήσεως-θανάτου, ομογενής ανέλιξη Poisson, χρόνοι αφίξεως, χρόνοι ανακοπής, σύνθετη ανέλιξη Poisson, μη ομογενείς ανελίξεις Poisson, οριακά θεωρήματα.
4. Martingales, θεωρήματα συγκλίσεως.
5. Aνανεωτικές ανελίξεις: ανανεωτική συνάρτηση, ανανεωτικές εξισώσεις, ανανεωτικά θεωρήματα, οριακά θεωρήματα. Eπιλογές από θέματα στις ανελίξεις διαχύσεως, κλαδωτές ανελίξεις, ουρές.

3 Βιβλίο

Θα χρησιμοποιηθεί το βιβλίο του Θ. Κάκουλλου, «Στοχαστικές Ανελίξεις».

4 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις

Θα υπάρξει προαιρετική πρόοδος που θα μετρήσει 30%, γύρω στα μέσα Απριλίου.

5 Ημερολόγιο Μαθήματος

5.1 Τρ 18/2/03: Εισαγωγή

Είδαμε διάφορα παραδείγματα στοχαστικών ανελίξεων, που δεν είναι τίποτα άλλο από οικογένειες τυχαίων μεταβλητών (ΤΜ) με παράμετρο το χρόνο (ο οποίος μπορεί να είναι διακριτός ή συνεχής).

5.2 Πα 21/2/03: Εισαγωγή στις αλυσίδες Markov

Είδαμε σήμερα διάφορα παραδείγματα αλυσίδων Markov. Για καθένα από αυτά φτιάξαμε τον πίνακα μετάβασης $P$ στον οποίο κωδικοποιείται όλη η πληροφορία για το πώς εξελίσσεται η αλυσίδα στο χρόνο. Είδαμε την έννοια του διανύσματος κατανομής (ένα διάνυσμα, με τόσες θέσεις όσες και οι καταστάσεις της αλυσίδας, που σε κάθε θέση μας λέει ποια η πιθανότητα να είναι η αλυσίδα στη συγκεκριμένη κατάσταση). Για μια αλυσίδα με $n$ καταστάσεις συμβολίζουμε με το διάνυσμα-γραμμή

$$\pi_t = [ \pi_t(1), \pi_t(2), \ldots, \pi_t(n) ]$$

το διάνυσμα αυτό. Είδαμε πώς αυτό εξελίσσεται με το χρόνο

$$\pi_{t+1} = \pi_t P.$$

5.3 Συγκεντρωτικά μέχρι 13/3/2003

Μπορείτε να ``κατεβάσετε'' (download) σε μορφή Postscript μερικές σελίδες που έγραψα όπου, σχεδόν επιγραμματικά, φαίνεται το τι έχουμε μάθει για τις αλυσίδες Markov.

5.4 Ανακοίνωση

Από τα μέσα Μαρτίου έχει αναλάβει τη διδασκαλλια του μαθήματος ο κος Γαλανοπουλος, και δε θα ενημερώνεται πλέον αυτή η ιστοσελίδα, τουλάχιστον όχι τακτικά.