ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÊÑÇÔÇÒ - ÔÌÇÌÁ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÙÍ

Ðñüïäïò ãéá ôï ìÜèçìá È. ÐéèáíïôÞôùí

ÄéäÜóêùí: Ìé÷Üëçò ÊïëïõíôæÜêçò

Ïé áðáíôÞóåéò óáò ðñÝðåé íá åßíáé ðëÞñùò áéôéïëïãçìÝíåò êáé èá äïèåß éäéáßôåñï âÜñïò óôï ðþò åêöñÜæåóôå. Äåí åðéôñÝðåôáé íá Ý÷åôå ìáæß óáò âéâëßá Þ Üëëåò óçìåéþóåéò. ÅðéôñÝðåôáé ç ÷ñÞóç õðïëïãéóôÞ.

1. (á) Áí $n$ ðåñéôôüò áðïäåßîôå ìå óõíäõáóôéêü åðé÷åßñçìá üôé

$$\sum_{\mbox{$k$ Üñôéïò}} {n \choose k} = \sum_{\mbox{$k$ ðåñéôôüò}} {n \choose k}.$$

(â) Äåßîôå ôï ßäéï ãéá ãåíéêü $n$ ìå ïðïéïíäÞðïôå ôñüðï.

2. (á) ÄéáëÝãïõìå 6 ÷áñôéÜ áðü ìéá óõíçèéóìÝíç ôñÜðïõëá (13 íïýìåñá åðß 4 ó÷Ýäéá). Ðïéá ç ðéèáíüôçôá Ýíá áðü áõôÜ ôá ÷áñôéÜ íá åßíáé ôï 4 óðáèß êáé ç åîÜäá íá Ý÷åé 6 äéáäï÷éêÜ íïýìåñá;
(â) Ñß÷íïõìå Ýíá óõììåôñéêü íüìéóìá 100 öïñÝò. Ðáßñíïõìå Ýôóé ìéá áêïëïõèßá ìÞêïõò 100 ðïõ óå êÜèå èÝóç Ý÷åé Ê Þ Ã. Äåßîôå üôé ç ðéèáíüôçôá íá ìçí õðÜñ÷ïõí 5 äéáäï÷éêÝò èÝóåéò óôéò ïðïßåò íá åìöáíßæåôáé ç ìïñöÞ ÊÃÃÊÊ åßíáé ôï ðïëý

$$\left(31 \over 32\right)^{20}.$$

3. ¸íáò Üíèñùðïò îåêéíÜ áðü ôï $0$ ôçò ðñáãìáôéêÞò åõèåßáò êáé ìåôÜ áðü êÜèå äåõôåñüëåðôï ðçäÜåé êáôÜ Ýíá ìÝôñï äåîéÜ Þ áñéóôåñÜ ìå ôçí ßäéá ðéèáíüôçôá $1/2$. ¸óôù $S_n$ ç èÝóç ðïõ âñßóêåôáé ìåôÜ áðü $n$ äåõôåñüëåðôá. Âñåßôå ôç ìÝóç ôéìÞ ôïõ $S_n^4$.

4. Ñß÷íïõìå ðïëëÝò öïñÝò Ýíá íüìéóìá ðïõ öÝñíåé êïñþíá ìå ðéèáíüôçôá $p$. Ðüóåò öïñÝò ðñÝðåé íá ôï ñßîïõìå þóôå ìå ðéèáíüôçôá ôïõëÜ÷éóôïí 95% ç ðáñáôçñïýìåíç óõ÷íüôçôá åìöÜíéóçò êïñþíáò íá äéáöÝñåé áðü ôï $p$ êáôÜ ôï ðïëý ${1\over 10}p$; (×ñçóéìïðïéåßóôå ôçí áíéóüôçôá ôïõ Chebyshev.)

5. Óå Ýíá êïõôß âñßóêïíôáé 100 Üóðñåò, 50 ìáýñåò êáé 50 êüêêéíåò ìðÜëëåò. ÅðéëÝãïõìå ÷ùñßò åðáíÜèåóç 50 áðü áõôÝò êáé ïíïìÜæïõìå $X$ êáé $Y$ ôïí áñéèìü ôùí Üóðñùí êáé ôùí ìáýñùí ìðáëëþí óôï äåßãìá. Íá âñåèåß ç ìÝóç ôéìÞ ôçò ìåôáâëçôÞò $(X-Y)^2$.

ÇñÜêëåéï, 6 Íïåìâñßïõ 2001