$\newcommand{\Prob}[1]{{{\mathbb{P}}\left[{#1}\right]}}$ $\newcommand{\Mean}[1]{{{\mathbb{E}}\left[{#1}\right]}}$ $\newcommand{\Cov}{{\mathrm{Cov}}}$ $\newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}}$ $\newcommand{\PP}{{\mathbb P}}$ $\newcommand{\RR}{{\mathbb R}}$ $\newcommand{\CC}{{\mathbb C}}$ $\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}$ $\newcommand{\NN}{{\mathbb N}}$ $\newcommand{\TT}{{\mathbb T}}$ $\newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}}$ $\newcommand{\One}[1]{{\bf 1}\left(#1\right)}$ $\newcommand{\one}{{\bf 1}}$ $\newcommand{\Ds}{\displaystyle}$

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ   -   ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι   -   ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2012-13

Κεντρική σελίδα για διαλέξεις Πιθανοτήτων σε video

6. Διασπορά και ανισότητες απόκλισης

Μιχάλης Κολουντζάκης

Άνοιξη 2012-13


VIDEO: Διασπορά μιας ΤΜ


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Ρίχνουμε ένα συμμετρικό ζάρι και έστω $X$ το αποτέλεσμα που φέρνουμε.

    Ποια η διασπορά του $X$;
    E1:      info   calculator

    Ποια η τυπική απόκλιση του $X$;
    E2:      info   calculator

  2. Ρίχνουμε ένα νόμισμα που φέρνει κορώνα με πιθανότητα $p$. Η ΤΜ $X$ ορίζεται να ισούται με 1 αν το νόμισμα φέρει κορώνα και 0 αλλιώς.

    Ποια η διασπορά της $X$ αν $p=0.2$;
    E3:      info   calculator

    Για ποια τιμή του $p$ μεγιστοποείται η διασπορά του $X$;
    E4:      info   calculator


VIDEO: Διασπορά αθροίσματος ανεξαρτήτων ΤΜ


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Ρίχνουμε ένα συμμετρικό ζάρι $Ν$ φορές και έστω $X$ το άθροισμα των αποτελεσμάτων που φέρνουμε.

    Ποια η μέση τιμή του $X$ αν $N=10$;
    E5:      info   calculator

    Ποια η τυπική απόκλιση του $X$ αν $N=10$;
    E6:      info   calculator

    Ποια η μέση τιμή του $X$ αν $N=100$;
    E7:      info   calculator

    Ποια η τυπική απόκλιση του $X$ αν $N=100$;
    E8:      info   calculator


VIDEO: Μέση τιμή και διασπορά γεωμετρικής κατανομής


PDF εδώ

Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Ένα νόμισμα φέρνει κορώνα με πιθανότητα $p=0.2$. Ρίχνουμε συνεχώς το νόμισμα μέχρι να φέρουμε συνολικά δύο κορώνες. Έστω $X$ ο αριθμός των φορών που το ρίχνουμε.

    Κατά μέσο όρο πόσες φορές το ρίχνουμε; (Ποια είναι δηλ. η $\Mean{X}$;)
    E9:      info   calculator

    Ποια η τυπική απόκλιση της $X$;
    E10:      info   calculator


VIDEO: Η μέση τιμή και διασπορά της κατανομής Poisson(λ)


PDF εδώ

Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Η ΤΜ $Y$ παίρνει μόνο ακέραιες μη αρνητικές και άρτιες τιμές και ισχύει $$\Ds\Prob{Y=k} = \frac{C\cdot 8^k}{(k/2)!},$$ αν $k\ge 0$ και άρτιο, για κατάλληλη σταθερά $C>0$.

    Ποια η μέση τιμή της $Y$;
    E11:      info   calculator


VIDEO: Η μέση τιμή και διασπορά του τυχαίου περίπατου


PDF εδώ

Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Οι ΤΜ $X_1, X_2, \ldots, X_{21}$ είναι ανεξάρτητες και παίρνουν η κάθε μία τις τιμές $\pm 1$ με πιθανότητα 1/2.

    Ορίζουμε την ΤΜ $Y=\sum_{j=1}^{21} j\cdot X_j$.

    Ποια η διασπορά της;
    E12:      info   calculator


VIDEO: 3η και 4η ροπή του τυχαίου περίπατου


PDF εδώ

Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Οι ΤΜ $X_1, X_2, \ldots, X_{126}$ είναι ανεξάρτητες και ισόνομες. Η $X_1$ παίρνει τη τιμή -1 με πιθανότητα 3/5 και τις τιμές 1 και 2 με πιθανότητα 1/5 την κάθε μία.

    Ορίζουμε $Y=X_1+X_2+\cdots+X_{126}$.

    Ποια η μέση τιμή της $Y^3$;
    E13:      info   calculator

  2. Στο ανάπτυγμα του $(x_1+x_2+\cdots+ x_{40})^4$ πόσα μονώνυμα υπάρχουν της μορφής $x_i^2 x_j^2$ (με $i \neq j$);

    Δηλαδή αν προσθέσουμε τους συντελεστές όλων αυτών των μονονύμων ποιο είναι το άθροισμα;

    Π.χ. στο ανάπτυγμα του $(x_1+x_2+x_3)^4$ ο ζητούμενος αριθμός είναι 18.
    E14:      info   calculator

  3. Οι ΤΜ $X_1, X_2, \ldots, X_{28}$ είναι ανεξάρτητες και ισόνομες και η $X_1$ παίρνει την τιμή -1 με πιθανότητα 3/5 και τις τιμές 1 και 2 με πιθανότητα 1/5 την κάθε μία.

    Ορίζουμε $Y = X_1+X_2+\cdots+X_{28}$.

    Ποια η μέση τιμή της $Y^4$;
    E15:      info   calculator


VIDEO: Η ανισότητα του Markov


PDF εδώ

Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Σε μια υπηρεσία ο μέσος χρόνος αναμονής είναι 12 λεπτά. Έστω $p$ η πιθανότητα να χρειαστεί να περιμένουμε τουλάχιστον 26 λεπτά.

    Ποιο είναι το καλύτερο άνω φράγμα που μπορείτε να δώσετε για την πιθανότητα με αυτή την πληροφορία;
    E16:      info   calculator

  2. Ας είναι $X$ μια ΤΜ και έστω $Y=e^X$, που είναι μια μη αρνητική ΤΜ. Αν γνωρίζετε ότι $\Mean{Y}=2$ τότε, με βάση την ανισότητα του Markov, δώστε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα $$\Prob{X\ge 5}.$$
    E17:      info   calculator hint

VIDEO: Γενικευμένη ανισότητα Markov. Ανισότητα Chebyshev.


PDF εδώ

Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Σε μια υπηρεσία ο μέσος χρόνος αναμονής είναι 23 λεπτά με τυπική απόκλιση 3 λεπτά. Ας είναι $p$ η πιθανότητα ο χρόνος εξυπηρέτησης μας να διαφέρει από το μέσο χρόνο κατά τουλάχιστον 11 λεπτά.

    Ποιο είναι το ελάχιστο άνω φράγμα που μπορείτε να δώσετε για την πιθανότητα $p$ με αυτή την πληροφορία μόνο;
    E18:      info   calculator

  2. Μια μη αρνητική ΤΜ $X$ ικανοποιεί τη σχέση $$\Mean{e^X} = 16.$$

    Αν $p$ η πιθανότητα η ΤΜ να είναι τουλάχιστον 8 τότε ποιο είναι το ελάχιστο άνω φράγμα που μπορείτε να δώσετε για την πιθανότητα $p$ με αυτή την πληροφορία;
    E19:      info   calculator

  3. Η ΤΜ $X$ έχει μέση τιμή 0 και ισχύει $$\Prob{-14 \le X \le 14} \le 0.66.$$

    Ποιο είναι το μέγιστο κάτω φράγμα που μπορείτε να δώσετε για την τυπική απόκλιση της $X$ με αυτή την πληροφορία;
    E20:      info   calculator hint


Κεντρική σελίδα για διαλέξεις Πιθανοτήτων σε video