5. Τυχαίες μεταβλητές και μέση τιμή

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ρίχνουμε δύο ζάρια και έστω $X$ η διαφορά του πρώτου ζαριού μείον το δεύτερο. Πόσες είναι οι δυνατές τιμές της τυχαίας μεταβλητής (ΤΜ) $X$;
   E1:        
2. Ρίχνουμε ένα τίμιο νόμισμα 5 φορές. Έστω $X$ η ΤΜ που μετράει πόσες φορές το νόμισμα ήρθε κορώνα. Ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου $\Set{X=1}$;
   E2:        
   Αν επιπλέον $Y$ είναι το πόσες φορές ήρθε το νόμισμα γράμματα, τότε ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου $\Set{Y=X}$;
   E3:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ρίχνουμε ένα τίμιο νόμισμα 11 φορές και έστω $X$ το πόσες φορές φέραμε κορώνα. Ποια η πιθανότητα το $X$ να είναι άρτιο;
   E4:        
   Για ποια τιμή του $k$ μεγιστοποιείται η πιθανότητα $\Prob{X=k}$;
   E5:        
2. Ρίχνουμε ένα ζάρι 10 φορές και έστω $X$ το πλήθος από κορώνες που φέρνουμε. Έπειτα το ρίχνουμε για άλλες 10 φορές και έστω $Y$ το πλήθος από γράμματα που φέρνουμε. Ποια η πιθανότητα $\Prob{X+Y=4}$;
   E6:        
   Αφού λύσετε αυτή την άσκηση προσπαθείστε να τη γενικεύσετε λιγάκι βρίσκοντας την απάντηση (ως συνάρτηση των $N$ και $k$) στην παρακάτω άσκηση:
   Ρίχνουμε ένα ζάρι $N$ φορές και έστω $X$ το πλήθος από κορώνες που φέρνουμε. Έπειτα το ρίχνουμε για άλλες $N$ φορές και έστω $Y$ το πλήθος από γράμματα που φέρνουμε. Ποια η πιθανότητα $\Prob{X+Y=2k}$;
   

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ας είναι $X$ μια ΤΜ που ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο σύνολο $\Set{-10,-9,\ldots,9,10}$. Ορίζουμε μια νέα ΤΜ $Y=X^2$.
   Πόσες διαφορετικές τιμές παίρνει η ποσότητα $f_Y(k)$ για $k \in \ZZ$;
   E7:        
   Ποια η τιμή $f_Y(0)$;
   E8:        
   Ποια η τιμή $f_Y(1)$;
   E9:        
   Ποια η τιμή $F_Y(2)$;
   E10:        
   Ποια η τιμή $F_Y(5)$;
   E11:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ας είναι $X$ μια ΤΜ που ακολουθεί τη γεωμετρική κατανομή με παράμετρο $p=0.4$.
   Ποια η πιθανότητα η $X$ να είναι το πολύ 5;
   E12:        
2. Ρίχνουμε 10 φορές ένα νόμισμα που φέρνει κορώνα με πιθανότητα 0.4.
   Για ποια τιμή του $k$ μεγιστοποιείται η πιθανότητα να φέρουμε ακριβώς $k$ κορώνες;
   E13:        
   Πόσο είναι αυτή η μέγιστη πιθανότητα;
   E14:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Η ΤΜ $X$ παίρνει τιμές $1, 2, \ldots, N-1$ με ίση πιθανότητα. Ποια η τιμή $\Mean{X}/N$;
   E15:        
2. Ρίχνουμε συνεχώς ένα τίμιο νόμισμα. Αν η πρώτη κορώνα έρθει ακριβώς στη $n$-οστή ρίψη τότε κερδίζουμε $\alpha^n$ μονάδες (όπου $\alpha = 3/2$). Έστω $P$ το κέρδος που αποκομίζουμε παίζοντας αυτό το παιχνίδι. Ποια είναι η μέση τιμή $\Mean{P}$;
   E16:        
   Αν τώρα $\alpha=2$ ποια είναι η μέση τιμή $\Mean{P}$;
   E17:        
3. Η ΤΜ $X$ που παίρνει ακέραιες τιμές έχει πυκνότητα πιθανότητας $$f_X(n) = \begin{cases} e^{-\lambda} \frac{\lambda^n}{n!} & n \ge 0 \\ 0 & n\lt 0 \end{cases}$$ όπου $\lambda=3.45$ (μια τέτοια ΤΜ λέμε ότι ακολουθεί κατανομή Poisson με παράμετρο $\lambda$). Ποια η μέση τιμή $\Mean{X}$;
   E18:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Έχουμε 10 μπάλες και τις πετάμε στην τύχη σε 5 κουτιά. Κάθε μπάλα μπαίνει σε κάποιο από τα 5 κουτιά με ομοιόμορφη πιθανότητα.
   Ορίζουμε τις ΤΜ $X_{i,j}$, $i=1,\ldots,10,\ j=1,\ldots,5$ να είναι 1 αν η $i$ μπάλα μπει στο $j$ κουτί και 0 αλλιώς.
   Ορίζουμε επίσης $B_j$, $j=1,\ldots,5$, να είναι το πόσες μπάλες μπαίνουν στο $j$ κουτί.
   

   Ποια η μέση τιμή της $X_{i,j}$;
   E19:        
   Ποια η μέση τιμή της $B_j$; (Παρατηρείστε ότι $B_j = \sum_{i=1}^{10} X_{i,j}$.)
   E20:        

   Ας είναι $X$ το πλήθος των κουτιών που μένουν κενά στο τέλος αυτής της διαδικασίας. Ποια η μέση τιμή $\Mean{X}$;
   E21:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

Ερωτήσεις Κατανόησης

Ερωτήσεις Κατανόησης

Ερωτήσεις Κατανόησης

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ρίχνουμε τρία ζάρια και έστω $X_1, X_2, X_3$ τα τρία αποτελέσματα. Ας είναι επίσης $S_{12} = X_1+X_2, S_{13} = X_1+X_3, S_{23} = X_2+X_3$ και $S_{123}=X_1+X_2+X_3$.

   Στα παρακάτω απαντείστε με 1 για ΝΑΙ και με 0 για ΟΧΙ.

   Είναι οι $X_1, X_2, X_3$ ανεξάρτητες;
   E22:        
   Είναι οι $X_1, S_{23}$ ανεξάρτητες;
   E23:        
   Είναι οι $X_1, S_{12}$ ανεξάρτητες;
   E24:        
   Είναι οι $X_1, S_{123}$ ανεξάρτητες;
   E25:        
   Είναι οι $S_{12}, S_{123}$ ανεξάρτητες;
   E26:        
   

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ρίχνουμε τρία ζάρια και έστω $X_1, X_2, X_3$ τα τρία αποτελέσματα. Ας είναι επίσης $S_{12} = X_1+X_2, S_{13} = X_1+X_3, S_{23} = X_2+X_3$ και $S_{123}=X_1+X_2+X_3$.

   Ποια είναι η μέση τιμή $\Mean{X_1 X_2 X_3}$;
   E27:        
   Ποια είναι η μέση τιμή $\Mean{X_1 S_{23}}$;
   E28:        
   Ποια είναι η μέση τιμή $\Mean{X_1 S_{12}}$;
   E29: