4. Μέθοδοι απαρίθμησης

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Από μια συνηθισμένη τράπουλα επιλέγουμε ένα χαρτί, το γράφουμε κάτω, το επανατοποθετούμε μέσα στην τράπουλα, ανακατεύουμε, και παίρνουμε κι ένα δεύτερο χαρτί το οποίο επίσης καταγράφουμε. Πόσα τα δυνατά αποτελέσματα αυτού του πειράματος;
   E1:        
2. Σε ένα καφενείο φτιάχνουν
   • καφέ ή τσάι,
   • ζεστό ή κρύο,
   • χωρίς ζάχαρη, μέτριο ή γλυκό,
   • με γάλα ή χωρίς.
   Πόσα διαφορετικά ποτά φτιάχνει το καφενείο;
   E2:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ένα μόριο DNA είναι ουσιαστικά μια πεπερασμένη ακολουθία από τα σύμβολα A,C,G,T. Αν ο αριθμός αυτών των ακολουθιών μήκους $n$ είναι $a^n$ τότε ποια η τιμή του $a$;
   E3:        
2. Πόσες συναρτήσεις υπάρχουν από το σύνολο $\Set{1,2,3,4,5}$ στον εαυτό του;
   E4:        
3. Πόσα ζεύγη $(a,b)$ υπάρχουν όπου $a, b \in \Set{1,2,\ldots, 100}$ και $a < b$;
   E5:        
4. Πόσα υποσύνολα $A, B \subseteq \Set{1,2,\ldots,10}$ υπάρχουν τέτοια ώστε $A\subseteq B$;
   E6:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Μια 10μελής ομάδα επιλέγει τον αρχηγό της και το (διαφορετικό) υπαρχηγό της. Πόσες είναι οι δυνατές επιλογές για το ζεύγος αυτό;
   E7:        
2. Με πόσους τρόπους μπορούν να διαταχθούν τα αντικείμενα 1, 1, 3, 4, 5;
   E8:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε 4 φύλλα από μια τράπουλα των 52 φύλλων όταν δε μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής;
   E9:        
2. Πόσες 1-1 συναρτήσεις (ένα προς ένα) υπάρχουν από το σύνολο $\Set{a, b, c}$ στο σύνολο $\Set{1,2,\ldots,20}$;
   E10:        
3. Σ' ένα κουτί βρίσκονται 5 κόκκινοι βώλοι με αριθμούς 1, 2, ... , 5, και 5 πράσινοι βώλοι με αριθμούς 1, 2, ... , 5. Επιλέγουμε 5 από αυτούς τους 10 βώλους στη σειρά.
   Πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσματα;
   E11:        
   Αν όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά (ομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας) τότε ποια είναι η πιθανότητα ο πρώτος πράσινος βώλος που θα επιλεγεί να είναι ο τέταρτος από τους επιλεγέντες;
   E12:        
4. Από μια συνηθισμένη τράπουλα επιλέγουμε 6 φύλλα χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά τους.
   Πόσες είναι οι δυνατές εξάδες;
   E13:        
   Αν όλα τα αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά ποια η πιθανότητα η εξάδα που επιλέγεται να έχει ακριβώς 2 σπαθιά;
   E14:        
5. Σ' ένα κουτί υπάρχουν 10 κόκκινοι και 8 πράσινοι βώλοι. Βάζουμε το χέρι μας και πιάνουμε 4 βώλους (δε μας ενδιαφέρει η σειρά). Ποια η πιθανότητα να είναι όλοι κόκκινοι;
   E15:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ποιος ο συντελεστής του $x^6$ στο πολυώνυμο $(2+x)^8$;
   E16:        
2. Ποιος ο σταθερός όρος στη συνάρτηση $(x+\frac{1}{x})^6$;
   E17:        
3. Εφαρμόστε το διωνυμικό θεώρημα στο $(1+x)^n$ και παραγωγίστε το αποτέλεσμα (και τις δύο μεριές της ισότητας). Χρησιμοποιείστε το αυτό επιλέγοντας κατάλληλα το $x$ για να βρείτε ένα τύπο για το άθροισμα $$ \sum_{k=1}^n k{n \choose k} = {n \choose 1} + 2{n \choose 2} + 3{n \choose 3} + \cdots + n{n \choose n}. $$ Πόσο κάνει το παραπάνω άθροισμα για $n=11$;
   E18:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιλέξει κανείς μια τετράδα φύλλων από μια συνηθισμένη τράπουλα (η σειρά των φύλλων δεν έχει σημασία) ώστε δύο από αυτά να είναι κόκκινα και δύο μαύρα;
   E19:        
   Ίδιο ερώτημα αν έχει σημασία η σειρά των φύλλων.
   E20:        
   Ίδιο ερώτημα αν έχει σημασία η σειρά των κόκκινων φύλλων μεταξύ τους και η σειρά των μαύρων φύλλων μεταξύ τους.
   E21:        
2. Σ'ένα κουτί υπάρχουν 8 άσπροι και 10 μαύροι βώλοι. Βάζουμε το χέρι μας και βγάζουμε 4. Ποια η πιθανότητα να είναι όλοι άσπροι;
   E22:        

Ερωτήσεις Κατανόησης