3. Υπό συνθήκη πιθανότητα. Ανεξαρτησία.

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Τα ενδεχόμενα $A$ και $B$ (με $\Prob{B}>0$) είναι μεταξύ τους ξένα. Ποια η πιθανότητα $\Prob{A|B}$;
   E1:        
2. Έχουμε $\Prob{B}=0.4$, $\Prob{A|B}=0.2$, $\Prob{A|B^c}=0.1$ (εδώ $B^c = \Omega\setminus B$ είναι το συμπληρωματικό ενδεχόμενο του $B$). Ποια η πιθανότητα $\Prob{A}$;
   E2:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Από μια συνηθισμένη τράπουλα με 52 φύλλα τραβάμε δύο φύλλα το ένα μετά το άλλο (χωρίς να τα επανατοποθετούμε). Ποια η πιθανότητα να τραβήξουμε δύο άσους;
   E3:        
   Αν γνωρίζουμε ότι το πρώτο φύλλο είναι άσος τότε ποια η απάντηση στο ερώτημα E3;
   E4:        
   Αν γνωρίζουμε ότι το δεύτερο φύλλο είναι άσος τότε ποια η απάντηση στο ερώτημα E3;
   E5:        
   Αν γνωρίζουμε ότι το τουλάχιστον ένα από τα δύο φύλλα είναι άσος τότε ποια η απάντηση στο ερώτημα E3;
   E6:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ένα δοχείο περιέχει 5 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες. Ένα άλλο δοχείο περιέχει 7 άσπρες και 9 μαύρες μπάλες. Επιλέγουμε τυχαία μια μπάλα από το πρώτο δοχείο και τη βάζουμε στο δεύτερο. Έπειτα επιλέγουμε τυχαία μια μπάλα από το δεύτερο δοχείο. Ποια η πιθανότητα η τελευταία αυτή μπάλα να είναι άσπρη;
   E7:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ένα κουτί περιέχει 7 μαύρες και 3 άσπρες μπάλες κι ένα άλλο κουτί περιέχει 2 μαύρες και 6 άσπρες μπάλες. Επιλέγουμε πρώτα ένα από τα δύο κουτιά στην τύχη και από αυτό επιλέγουμε τυχαία μια μπάλα. Αν αυτή η μπάλα είναι μαύρη τότε ποια είναι η πιθανότητα ότι προήλθε από το πρώτο κουτί;
   E8:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Τα ενδεχόμενα $A$ και $B$ είναι ανεξάρτητα και $\Prob{A}=0.2$, $\Prob{B}=0.3$. Επαναλαμβάνουμε το (αντίστοιχο) πείραμα $N$ φορές (μεγάλος αριθμός) και μετράμε $x\cdot N$ αποτελέσματα για τα οποία ισχύει και το $A$ και το $B$. Ο αριθμός $x$ είναι (περίπου, και για μεγάλα $N$) ίσος με
   E9:        
2. Αν $\Prob{A}=0.3$ και $\Prob{B}=0.4$ και τα $A, B$ είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα ποια είναι η πιθανότητα να ισχύει το $A$ και να μην ισχύει το $B$;
   E10:        
3. Τα ενδεχόμενα $A$ και $A$ είναι ανεξάρτητα (το ίδιο ενδεχόμενο, ο ορισμός της ανεξαρτησίας δεν απαιτεί διαφορετικά ενδεχόμενα). Με αυτή την υπόθεση το $\Prob{A}$ μπορεί να πάρει δύο μόνο τιμές. Συμπληρώστε αυτές τις δύο τιμές παρακάτω (μικρότερη πρώτα).
   E11:        
   E12:        
4. Σε ένα δοχείο βρίσκονται 100 ίδια σφαιρίδια αριθμημένα από το 1 έως το 100. Τραβάμε ένα σφαιρίδιο και έστω $S$ ο αριθμός του. Και οι 100 τιμές του $S$ είναι εξίσου πιθανές. Αν $k$ είναι ένας φυσικός αριθμός ορίζουμε το ενδεχόμενο $A_k = $ το $S$ είναι πολλαπλάσιο του $k$. Ποιος είναι ο ελάχιστος φυσικός $k\ge 3$ τέτοιος ώστε τα ενδεχόμενα $A_2$ και $A_k$ είναι ανεξάρτητα;
   E13:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Τα τρία ενδεχόμενα $A, B, C$ έχουν πιθανότητες $0.1, 0.2, 0.3$ αντίστοιχα. Επίσης είναι ανεξάρτητα. Ποια η πιθανότητα να ισχύει το $A$ αλλά τα $B$ και $C$ να μην ισχύουν;
   E14:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ρίχνουμε δύο νομίσματα. Η κατανομή πιθανότητας στα στοιχεία ΚΚ, ΚΓ,ΓΚ, ΓΓ του δειγματικού χώρου Ω είναι, με αυτή τη σειρά, η 0.1, 0.2, 0.4, 0.3 Ποια η πιθανότητα τα δύο νομίσματα να φέρουν το ίδιο αποτέλεσμα;
   E15:        
   Ποια η πιθανότητα το πρώτο νόμισμα να είναι κορώνα;
   E16:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ρίχνουμε δύο ζάρια. Η κατανομή πιθανότητας στα αποτελέσματα 1, 2, 3, 4, 5, 6 του πρώτου ζαριού είναι, με αυτή σειρά, η 0.1, 0.1, 0.3, 0.3, 0.1, 0,1 και του δεύτερου ζαριού η 0.2, 0.2, 0.1, 0.1, 0.2, 0.2 Αν οι δύο ρίψεις είναι ανεξάρτητες τότε ποια η πιθανότητα να φέρουμε τα αποτελέσματα 3,2;
   E17:        
   Ποια η πιθανότητα το πρώτο ζάρι να είναι το πολύ 3 και το δεύτερο ζάρι να είναι τουλάχιστον 4;
   E18:        
   Ποια η πιθανότητα τα δύο αποτελέσματα να είναι ίδια;
   E19:        
   Ποια η πιθανότητα τα δύο αποτελέσματα να είναι διαφορετικά;
   E20:        
   

Ερωτήσεις Κατανόησης