Θεωρία Πιθανοτήτων ΙΙ

Μιχάλης Κολουντζάκης

Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, Λεωφόρος Κνωσού, 714 09 Ηράκλειο, E-mail: kolount@gmail.com

Άνοιξη 2005-06

Fifth Philosopher's Song

A million million spermatozoa
All of them alive;
Out of their cataclysm but one poor Noah
Dare hope to survive.

And among that billion minus one
Might have chanced to be
Shakespeare, another Newton, a new Donne-
But the One was Me.

Shame to have ousted your betters thus,
Taking ark while the others remained outside!
Better for all of us, froward Homunculus,
If you'd quietly died!

Aldous Huxley (1920)

Περιεχόμενα

• 1 Ωράριο
• 2 Περιγραφή του μαθήματος
• 3 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις
• 4 Γενικές ανακοινώσεις
• 5 Ημερολόγιο Μαθήματος
  • 5.1 Δε, 13/2/06: Επανάληψη βασικών εννοιών
  • 5.2 Τε, 15/2/06: Επανάληψη βασικών εννοιών: πυκνότητα τυχαίας μεταβλητής και μέση τιμή
  • 5.3 Δε, 20/2/06: Επανάληψη βασικών εννοιών: ανισότητες
  • 5.4 Τε, 22/2/06: Όχι μάθημα σήμερα.
  • 5.5 Δε, 27/2/06: Συνεχείς τμ και συναρτήσεις κατανομής
  • 5.6 Τε, 1/3/06: Πυκνότητα πιθανότητας μιας τμ
  • 5.7 Τε, 8/3/06: Κανονικές και εκθετικές πυκνότητες
  • 5.8 Δε, 13/3/06: Ζεύγη τμ, συνάρτηση κατανομής και πυκνότητά τους
    • 5.8.1 1ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
  • 5.9 Τε, 15/3/06: Πυκνότητα αθροίσματος τμ
  • 5.10 Δε, 20/3/06: Δεσμευμένες πυκνότητες
  • 5.11 Τε, 22/3/06: Πρώτο διαγώνισμα
    • 5.11.1 2ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
  • 5.12 Δε, 27/3/06: Μέση τιμή και ροπές
  • 5.13 Τε, 29/3/06: Διάφορα για μέσες τιμές και ροπές
  • 5.14 Δε, 3/4/06: Παραδείγματα και υπό συνθήκη μέσες τιμές και πυκνότητες
  • 5.15 Δε, 10/4/06: Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
  • 5.16 Τε, 12/4/06: Ροπογεννήτριες συναρτήσεις
    • 5.16.1 2ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
    • 5.16.2 Ασκήσεις Παρασκευής 5/5/06
  • 5.17 Τε, 3/5/06: Δεύτερο διαγώνισμα
    • 5.17.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τρίτο διαγώνισμα
  • 5.18 Δε, 8/5/06: Χαρακτηριστικές συναρτήσεις τμ
  • 5.19 Τε, 10/5/06: Τύποι αντιστροφής για χαρακτηριστικές συναρτήσεις και μοναδικότητα
  • 5.20 Δε, 15/5/06: Τυχαίοι περίπατοι
    • 5.20.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Δε, 22/5/06: Τρίτο διαγώνισμα
    • 5.20.2 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τρ, 4/7/06: Τρίτο διαγώνισμα
    • 5.20.3 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Δε, 17/7/06: Τελικοί βαθμοί
    • 5.20.4 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Κυ, 13/8/06: Διαγώνισμα Σεπτεμβρίου
    • 5.20.5 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τε, 30/8/06: Τελικοί βαθμοί Σεπτεμβρίου
    • 5.20.6 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τε, 2/5/07: Βαθμοί 3ης εξεταστικής περιόδου

1 Ωράριο

Δευτέρα 3-5, Τετάρτη 1-2 στο Αμφ. ΣΠ. Έναρξη μαθημάτων: 13/2/06.

Ώρες γραφείου: Τε 11-1 (Γ 111, προκατ κτήριο στην Κνωσό)

Δίωρο ασκήσεων: Παρασκευή 3-5, Θ 201. Διδάσκει ο κος Χρήστος Σαρόγλου.

2 Περιγραφή του μαθήματος

Από τον οδηγό σπουδών του Τμ. Μαθηματικών:

- Ορισμός και ιδιότητες της Πιθανότητας (εισαγωγή από τη Θεωρία Πιθανοτήτων Ι).

- Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές- Πυκνότητα- Συνάρτηση κατανομής. Ορισμός της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, της πυκνότητας πιθανότητας της και της συνάρτησης κατανομής της. Συνάρτηση συνεχούς τυχαίας μεταβλητής και κατανομή αυτής.

- Ροπές και Ροπογεννήτριες συνεχούς τυχαίας μεταβλητής. Μη κεντρικές ροπές, Κεντρικές ροπές, ύπαρξη των διαφόρων ροπών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, Ροπές μιας συναρτήσεως συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, Ιδιότητες της μέσης τιμής και της διασποράς. Ροπογεννήτρια και ιδιότητες.

- Συνήθεις συνεχείς τυχαίες μεταβλητές και κατανομές. Ομοιόμορφη, Κανονική, Γάμα, Βήτα, Cauchy, Log-Normal.

- Πολυδιάστατες ή διανυσματικές συνεχείς τυχαίες μεταβλητές και κατανομές. Ορισμός της πολυδιάστατης τυχαίας μεταβλητής, της από κοινού πυκνότητας πιθανότητας της και της από κοινού συνάρτησης κατανομής της, περιθωριακές κατανομές και δεσμευμένες κατανομές. Πολυδιάστατη κανονική κατανομή, κατανομή μετασχηματισμένης πολυδιάστατης τυχαίας μεταβλητής.

[- Ροπές συναρτήσεων διανυσματικών τυχαίων μεταβλητών.]

- Δεσμευμένες ροπές, Ιδιότητες.

- Πιθανοθεωρητικές ανισότητες: ανισότητα Markov, Tchebichev, Jensen, Schwarz.

- Συνδιασπορά και συντελεστής συσχέτισης δύο τυχαίων μεταβλητών.

- Ανεξαρτησία τυχαίων μεταβλητών και κατανομές αθροισμάτων ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών.

- Στοχαστικές Συγκλίσεις. Σχεδόν βεβαία σύγκλιση, σύγκλιση κατά πιθανότητα, κατά τετραγωνικό μέσο, υπό την έννοια της κατανομής. Σχέσεις μεταξύ των ανωτέρω συγκλίσεων, ιδιότητες - Κεντρικό Οριακό Θεώρημα, Θεώρημα των De Moivre-Laplace, Νόμοι των Μεγάλων Αριθμών.

θα χρησιμοποιήσουμε το βιβλίο των Hoel, Port και Stone, ``Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων'' (Πανεπ. Εκδόσεις Κρήτης), και θα καλύψουμε τα κεφάλαια 6-8 (ίσως και το 9).

3 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις

Θα δοθούν τέσσερα διαγωνίσματα, τα $T_1$, $T_2$, $T_3$ και $T_F$, με αυτή τη χρονική σειρά. To $T_F$ θα δοθεί μέσα στην εξεταστική περίοδο ενώ τα άλλα κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.

Ο τελικός σας βαθμός θα είναι είτε ο $(1/3)(T_1 + T_2 + T_3)$ είτε ο $(1/3)(T_1+T_2+T_F)$. Θα πρέπει να επιλέξετε πριν από το τρίτο διαγώνισμα αν θα δώσετε το $T_3$ ή το $T_F$.

ΔΕΙΤΕ ΟΜΩΣ: §5.17.1.

Η ύλη που θα εξετάζεται στο καθένα θα είναι περίπου ότι έχει διδαχθεί από το προηγούμενο διαγώνισμα, με εξαίρεση 1-2 ασκήσεις που μπορούν να είναι από ό,τι έχει διδαχθεί μέχρι τότε.

4 Γενικές ανακοινώσεις

1. Πα, 17/2/06: Την Τετάρτη 22 Φεβρουαρίου δε θα γίνει μάθημα λόγω προσωπικού κωλύματος του διδάσκοντα.
2. Πα, 17/2/06: Έναρξη δίωρου ασκήσεων την Παρασκευή 24/2/06.
3. Τε, 15/3/06: Πρώτο διαγώνισμα: Τετάρτη 22/3/06, 1-2, στο αμφιθέατρο όπου γίνεται το μάθημα και ενδεχομένως και σε άλλες αίθουσες ανάλογα με την προσέλευση.
4. Πα, 24/3/06: Δείτε §5.11.1 για το 2ο διαγώνισμα.
5. Κυ, 30/4/06: Δείτε §5.16.1 για το 2ο διαγώνισμα.
6. Τε, 3/5/06: Δείτε §5.16.2 για ασκήσεις Παρασκευής 5/5/06.
7. Πέ, 4/5/06: Δείτε §5.17.1 για το τρίτο διαγώνισμα.
8. Δε, 22/5/06: Δείτε §5.20.1 για το τρίτο διαγώνισμα.
9. Τρ, 4/7/06: Δείτε §5.20.2 για το τρίτο διαγώνισμα.
10. Δε, 17/7/06: Δείτε §5.20.3 για τους τελικούς βαθμούς.
11. Κυ, 13/8/06: Δείτε §5.20.4 για το διαγώνισμα Σεπτεμβρίου.
12. Τε, 30/8/06: Δείτε §5.20.5 για τους βαθμούς Σεπτεμβρίου.

5 Ημερολόγιο Μαθήματος

Η σελίδα αυτή θα ενημερώνεται τουλάχιστον μετά από κάθε μάθημα και σκοπό έχει να μεταδίδει μερικές βασικές χρήσιμες πληροφορίες για το περιεχόμενο του μαθήματος (π.χ. τι να προσέξετε, υποδείξεις για λύσεις των ασκήσεων, κ.ά.) καθώς και για διαδικαστικά θέματα.

Παρακαλώ να τη συμβουλεύεστε τουλάχιστον 2-3 φορές την εβδομάδα.

5.1 Δε, 13/2/06: Επανάληψη βασικών εννοιών

Ξαναείδαμε μερικές βασικές έννοιες της Θ. Πιθανοτήτων, όπως την έννοια του δειγματικού χώρου, των ενδεχομένων και λύσαμε μερικά προβλήματα για να θυμηθούμε ορισμένες έννοιες (π.χ. ανεξαρτησία).

Όσον αφορά το πρόβλημα το οποίο σας ανέφερα στην αρχή του δίωρου. Είναι γνωστό διεθνώς με διάφορα ονόματα. Ένα πολύ κοινό από αυτά είναι το Monty Hall problem. Κάντε ένα ψάξιμο στο internet σχετικά με αυτό ή κοιτάξτε π.χ. σε αυτή τη σελίδα.

Επίσης, μπορείτε να κοιτάξετε εδώ για να βρείτε υλικό σχετικό με τα λεγόμενα Bible Codes, κείμενα δηλ. τα οποία ορισμένοι ανιχνεύουν σε θρησκευτικά ή άλλα κείμενα, ισχυριζόμενοι ότι επρόκειτο για προφητείες, ενώ πρόκειται απλά για τυχαία φαινόμενα. Δείτε επίσης αυτό το άρθρο σε μορφή PDF.

5.2 Τε, 15/2/06: Επανάληψη βασικών εννοιών: πυκνότητα τυχαίας μεταβλητής και μέση τιμή

Είδαμε παραδείγματα υπολογισμού της πυκνότητας μιας τυχαίας μεταβλητής (τμ) που παίρνει ακέραιες τιμές (διακριτή τμ). Το παράδειγμα που υπολογίσαμε είναι το πλήθος φορών που ένα νόμισμα ( ${{\bf {Pr}}\left[{K}\right]}=p, {{\bf {Pr}}\left[{\Gamma}\right]}=1-p$) έρχεται κορώνα σε $n$ ανεξάρτητες ρίψεις.

Είδαμε επίσης τον ορισμό της μέσης τιμής μιας τμ και υπολογίσαμε την ${{\bf E}\left[{X}\right]}$ και την ${{\bf E}\left[{X^2}\right]}$, όπου $X$ η τμ της προηγούμενης παραγράφου.

Για το διωνυμικό θέωρημα που χρησιμοποιήσαμε σήμερα μπορείτε να δείτε μερικά πράγματα εδώ κι εδώ.

5.3 Δε, 20/2/06: Επανάληψη βασικών εννοιών: ανισότητες

Είδαμε τον ορισμό των ροπών μιας τμ και των κεντρικών ροπών αυτής, και παραδείγματα υπολογισμού της διασποράς $\sigma^2(X)$ σε ορισμένες περιπτώσεις. Αποδείξαμε τις ανισότητες Markov και Chebyshev, και είδαμε πως τις χρησιμοποιούμε για να πάρουμε απαντήσεις σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα δοκιμών Bernoulli.

Είδαμε επίσης τους ορισμούς των πυκνοτήτων Bernoulli, Poisson και Γεωμετρικής, με τις αντίστοιχες παραμέτρους.

Ορίσαμε τη γεννήτρια συνάρτηση της $X$, είδαμε ότι αν $X$ και $Y$ είναι ανεξάρτητες τότε $\Phi_{X+Y}(t) = \Phi_X(t) \cdot \Phi_Y(t)$, και χρησιμοποιήσαμε αυτό για να δείξουμε ότι άθροισμα ανεξαρτήτων Poisson έχει επίσης πυκνότητα Poisson.

5.4 Τε, 22/2/06: Όχι μάθημα σήμερα.

Λόγω κωλύματός μου δε θα γίνει μάθημα σήμερα.

5.5 Δε, 27/2/06: Συνεχείς τμ και συναρτήσεις κατανομής

Είδαμε παραδείγματα τμ που παίρνουν ένα συνεχές πλήθος τιμών και όχι διακριτό (δηλ. πεπερασμένο ή απείρως αριθμήσιμο). Είδαμε επίσης ότι είναι δύσκολο να ορίσουμε πυκνότητα πιθανότητας για μια τέτοια τμ όπως είχαμε κάνει με τις διακριτές τμ γιατί απλούστατα στις περισσότερες των περιπτώσεων η ποσότητα ${{\bf {Pr}}\left[{X=t}\right]}$ είναι $0$ για κάθε $t \in {\mathbf R}$. Ορίσαμε όμως την συνάρτηση κατανομής της τμ $X$

$$F_X(t) = {{\bf {Pr}}\left[{X \le t}\right]}.$$

Είδαμε επίσης τις ιδιότητες μονοτονίας και συνέχειας της συνάρτησης αυτής, όπως και διάφορα παραδείγματα υπολογισμού της.

Διαβάστε την §5.1 του βιβλίου σας και λύστε τις ασκήσεις: σελ. 161: 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13.

5.6 Τε, 1/3/06: Πυκνότητα πιθανότητας μιας τμ

Είδαμε ποιες συναρτήσεις ονομάζονται «πυκνότητες πιθανότητας» (παίρνουν μη αρνητικές τιμές κι έχουν ολοκλήρωμα 1) και πώς από μια συνάρτηση πυκνότητας προκύπτει (ως αόριστο ολοκλήρωμα) μια συνάρτηση κατανομής. Είδαμε διάφορα παραδείγματα ζευγών $F_X$ και $f_X$ (συνάρτηση κατανομής και πυκνότητας μια τμ $X$).

Από την §5.2 μπορείτε να παραλείψετε την §5.2.2 όπως και το Θεώρημα 1. Διαβάστε όλα τα παραδείγματα της §5.2 και λύστε τις ασκήσεις σελ. 162: 14, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 25, 27.

5.7 Τε, 8/3/06: Κανονικές και εκθετικές πυκνότητες

Καλύψαμε την §5.3 εκτός τις πυκνότητες Γάμμα.

Ορίσαμε την τυπική κανονική κατανομή αφού πρώτα υπολογίσαμε το ολοκλήρωμα $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2} dx = \sqrt{2\pi}$ με ένα τρικ που χρησιμοποιεί ένα διπλό ολοκλήρωμα. Έπειτα ορίσαμε την κανονική κατανομή με παραμέτρους $\mu$ και $\sigma^2$ την οποία συμβολίzουμε με $n(\mu,\sigma^2)$ και είδαμε ότι αν $X$ ακολουθεί κάποια κανονική κατανομή και $Y = a+bX$, όπου $a \in {\mathbf R}$, $b>0$, τότε και $Y$ ακολουθεί κανονική κατανομή με παραμέτρους που εξαρτώνται από τα $a,b$ και τις ποραμέτρους της $X$.

Έπειτα ορίσαμε την εκθετική κατανομή με παράμετρο $\lambda>0$ και είδαμε την πολύ σπουδαία ιδιότητα

$${{\bf {Pr}}\left[{X\ge a+b { \vert }X \ge a}\right]} = {{\bf {Pr}}\left[{X \ge b}\right]}$$ (1)

που ικανοποιεί η $X$ αν ακολουθεί εκθετική κατανομή. Είδαμε χωρίς απόδειξη το Θ. 3 (σελ. 153) του βιβλίου σας, ότι δηλ. αν ισχύει η (1) για κάποια τμ $X$ και για κάθε $a,b>0$ τότε η $X$ ουσιαστικά είναι εκθετική με κάποια παράμετρο $\lambda$. Διαβάστε την απόδειξη από το βιβλίο.

Λύστε τις ασκήσεις: σελ. 163: 29, 31, 32, 33, 36, 38, 39.

5.8 Δε, 13/3/06: Ζεύγη τμ, συνάρτηση κατανομής και πυκνότητά τους

Είδαμε πώς ορίζεται η συνάρτηση κατανομής $F_{X,Y}(x,y)$ ενός ζεύγους $(X,Y)$ τμ καθώς και ιδιότητες που ικανοποιεί αυτή η συνάρτηση. Είδαμε μερικά παρδείγματα υπολογισμού αυτής της συνάρτησης. Επίσης είδαμε πότε ένα ζεύγος έχει συνάρτηση πυκνότητας $f_{X,Y}(x,y)$ και πώς υπολογίζουμε την $F$ από την $f$ και ανάποδα. Είδαμε επίσης τι σημαίνει το ζεύγος τμ να είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο σε ένα χωρίο $D \subseteq {\mathbf R}^2$ με εμβαδό ${\left\vert{D}\right\vert} < \infty$ και υπολογίσαμε λεπτομερώς τη συνάρτηση κατανομής ενός ζεύγους που είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο στο ορθογώνιο $D = (a,b)\times(c,d)$. Τέλος είδαμε ότι ένα ζεύγος έχει την ιδιότητα της ανεξαρτησίας αν $F_{X,Y}(x,y) = F_X(x) F_Y(y)$ ή $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$.

Διαβάστε την §6.1. Λύστε τις ασκήσεις: σελ 202: 1-9.

5.8.1 1ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

Θα γίνει την Τετάρτη 22/3, 1:15-2:15 στο Αμφιθέατρο όπου κάνουμε μάθημα.

Θα εξεταστείτε σε ότι θα έχει διδαχτεί μέχρι και την Τετάρτη 15/3, και σε στοιχεία διακριτής πιθανότητας.

Ένα υπόδειγμα του διαγωνίσματος αυτού βρίσκεται εδώ σε μορφή PDF.

5.9 Τε, 15/3/06: Πυκνότητα αθροίσματος τμ

Είδαμε ότι αν έχουμε ένα ζεύγος τμ με πυκνότητα τότε

$$f_{X+Y}(t) = \int_{-\infty}^\infty f_{(X,Y)}(x, t-x) dx$$

και αν οι $X$ και $Y$ είναι ανεξάρτητες τότε ο τύπος αυτός γίνεται

$$f_{X+Y}(t) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x) f_Y(t-x) dx.$$

Είναι δηλ. $f_{X+Y} = f_X*f_Y$ σε αυτή την περίπτωση (συνέλιξη των $f_X$, $f_Y$, την οποία συνέλιξη ορίσαμε γενικότερα και αναφερθήκαμε και σε κάποιες ιδιότητές της). Υπολογίσαμε την $f_{X+Y}$ αν οι $X$, $Y$ είναι ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες σε δύο διαστήματα.

Διαβάστε την §6.2 (όχι τα πηλίκα) και λύστε τις ασκήσεις: σελ. 203: 10-14, 16.

5.10 Δε, 20/3/06: Δεσμευμένες πυκνότητες

Ορίσαμε τη δεσμευμένη πυκνότητα της $Y$ ως προς την $X$ χρησιμοποιώντας τον τύπο που προκύπτει από την αντίστοιχη έννοια στις διακριτές τμ. Θυμηθήκαμε επίσης τον υπολογισμό των περιθωρίων πυκνοτήτων του ζεύγους $(X,Y)$ και είδαμε διάφορα παραδείγματα υπολογισμού περιθωρίων και δεσμευμένων πυκνοτήτων. Είδαμε επίσης και τον τύπο του Bayes που μας επιτρέπει αν γνωρίζουμε τη δέσμευση της $Y$ ως προς την $Χ$ να υπολογίσουμε την δεσμευμένη πυκνότητας της $X$ ως προς την $Y$.

Διαβάστε την §6.3. Λύστε τις ασκήσεις: σελ. 204: 17, 23, 24, 28.

5.11 Τε, 22/3/06: Πρώτο διαγώνισμα

Σήμερα είχαμε το πρώτο διαγώνισμα το οποίο μετράει κατά το 1/3 του βαθμού, με το σύστημα των πολλαπλών επιλογών. Μπορείτε να δείτε τους βαθμούς σας κατά σειριακό αριθμό γραπτού εδώ και κατά φθίνοντα βαθμό εδώ. Η κλίμακα είναι 0-7. Σημειωτέον ότι, επειδή οι λάθος απαντήσεις αφαιρούσαν μονάδες η «βάση» σε ένα τέτοιο διαγώνισμα θα είναι κάτω από το μισό του μέγιστου.

Μια από τις ασκήσεις που υπήρχε στα διαγωνίσματα δεν ήταν εντάξει μια και είχε δύο σωστές απαντήσεις. Όσοι είχαν αυτή την ερώτηση τους μέτρησε για μια μονάδα, ό,τι και να έγραψαν σε αυτή. Γι' αυτό σε μερικά διαγωνίσματα στη στήλη των σωστών απαντήσεων θα δείτε ένα *. Αντιστοιχεί σε αυτή την άσκηση.

5.11.1 2ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

Το 2ο διαγώνισμα θα γίνει την Τετάρτη, 3 Μαΐου, σε ώρα που θα ανακοινωθεί.

5.12 Δε, 27/3/06: Μέση τιμή και ροπές

Είδαμε πώς επεκτείνεται ο ορισμός της μέσης τιμής τμ από τις διακριτές τμ στις συνεχείς και εν τέλει σε όλες τις τμ (χωρίς απόδειξη). Υπολογίσαμε τη μέση τιμή διαφόρων πυκνοτήτων. Είδαμε παραδείγματα υπολογισμού της μέσης τιμής τμ που δεν είναι διακριτή ούτε όμως έχει και πυκνότητα. Ορίσαμε, όπως και στις διακριτές τμ, τις ροπές και κεντρικές ροπές ανώτερης τάξης.

Διαβάστε τις §7.1 - 7.3 και λύστε τις ασκήσεις: σελ. 228: 3, 4, 10, 12, 13, 14.

5.13 Τε, 29/3/06: Διάφορα για μέσες τιμές και ροπές

• Αναφέραμε χωρίς απόδειξη τον τύπο ${{\bf E}\left[{\phi(X)}\right]} = \int_{-\infty}^\infty \phi(x) f_X(x) dx$ και τον χρησιμοποιήσαμε για να βρούμε τις ροπές μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τμ.
• Δείξαμε ότι αν οι $X_1, \ldots, X_n$ είναι ανά δύο ανεξάρτητες τότε $\sigma^2(X_1+\cdots+X_n) = \sigma^2(X_1)+\cdots+\sigma^2(X_n)$. Το εφαρμόσαμε στην περίπτωση που οι $X_i$ έχουν την ίδια κατανομή και αναφερθήκαμε στο «Νόμο των Μεγάλων Αριθμών» που ισχύει για την τμ $(X_1+\cdots+X_n)/n$.
• Αν $X, Y$ είναι ισόνομες και ανεξάρτητες τότε για τη τμ $V = \max{\left\{{X,Y}\right\}}$ δείξαμε $F_V(x) = F_X(x)^2$, $f_V(x) = 2 f_X(x) F_X(x)$.
• Για $X\ge 0$ με πυκνότητα $f$, $r \ge 1$ δείξαμε τον τύπο
  
  $${{\bf E}\left[{X^r}\right]} = \int_0^\infty r x^{r-1} {{\bf {Pr}}\left[{X>x}\right]} dx.$$
  
  

Σταματήσαμε το μάθημα στις 13:45 για να δούμε την έκλειψη ηλίου.

5.14 Δε, 3/4/06: Παραδείγματα και υπό συνθήκη μέσες τιμές και πυκνότητες

Είδαμε διάφορα παραδείγματα και προβλήματα και μελετήσαμε δεσμευμένες μέσες τιμές και πυκνότητες.

Διαβάστε την §7.4 και λύστε τις ασκήσεις: σελ. 230: 21, 23-26, 29, 30.

5.15 Δε, 10/4/06: Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Καλύψαμε την §7.5. Είδαμε το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Lindeberg, 1922) χωρίς να το αποδείξουμε, καθώς και το πώς χρησιμοποιείται στην πράξη, μέσω της λεγόμενης κανονικής προσέγγισης.

Λύστε τις ασκήσεις σελ. 232: 36-39.

5.16 Τε, 12/4/06: Ροπογεννήτριες συναρτήσεις

Είδαμε την έννοια της ροπογεννήτριας συνάρτησης $M_X(t) = {{\bf E}\left[{e^{tX}}\right]}$ και πώς αυτή σχετίζεται πολύ απλά με τη γεννήτρια συνάρτηση $\Phi_X(t) = {{\bf E}\left[{t^X}\right]}$. Δείξαμε ότι το άθροισμα ανεξαρτήτων έχει ως ροπογεννήτρια το γινόμενο των ροπογεννητριών των προσθετέων. Επίσης δείξαμε ότι ${{\bf E}\left[{X^n}\right]} = \frac{d^n M_X}{dt^n}(0)$. Υπολογίσαμε διάφορα παραδείγματα.

Διαβάστε την §8.1 και λύστε τις ασκήσεις: σελ. 254: 1-3, 5-8.

5.16.1 2ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

Το 2ο διαγώνισμα θα γίνει την Τετάρτη, 3 Μαΐου, στις 1μμ, στο χώρο όπου γίνεται το μάθημα.

Η εξεταστέα ύλη είναι μέχρι και το Κεφ. 7.

5.16.2 Ασκήσεις Παρασκευής 5/5/06

Οι ασκήσεις της Παρασκευής 5/5/06 δε θα γίνουν. Θα αναπληρωθούν.

5.17 Τε, 3/5/06: Δεύτερο διαγώνισμα

Σήμερα είχαμε το δεύτερο διαγώνισμα το οποίο μετράει κατά το 1/3 του βαθμού, με το σύστημα των πολλαπλών επιλογών. Μπορείτε να δείτε τους βαθμούς σας κατά σειριακό αριθμό γραπτού εδώ και κατά φθίνοντα βαθμό εδώ. Η κλίμακα είναι 0-6. Σημειωτέον ότι, επειδή οι λάθος απαντήσεις αφαιρούσαν μονάδες η «βάση» σε ένα τέτοιο διαγώνισμα θα είναι κάτω από το μισό του μέγιστου.

5.17.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τρίτο διαγώνισμα

Αλλάζει ο τρόπος διεξαγωγής του τρίου διαγωνίσματος. Αντίθετα με την ανακοίνωση που είχε γίνει στην αρχή του εξαμήνου, το τρίτο διαγώνισμα θα γίνει ενιαία για όλους, μέσα στην εξεταστική.

5.18 Δε, 8/5/06: Χαρακτηριστικές συναρτήσεις τμ

Είδαμε την έννοια της χαρακτηριστικής συνάρτησης $\phi_X(t) = {{\bf E}\left[{e^{i t X}}\right]}$ μιας τμ $X$, κάποις απλές ιδιότητες αυτής και υπολογίσαμε αρκετά παραδείγματα.

Διαβάστε την §8.2 και λύστε τις ασκήσεις σελ. 255: 12-17.

5.19 Τε, 10/5/06: Τύποι αντιστροφής για χαρακτηριστικές συναρτήσεις και μοναδικότητα

Είδαμε πώς μπορεί κάποιος να βρει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, για συνεχείς και διακριτές τμ, αν γνωρίζει τη χαρακτηριστική συνάρτηση της μεταβλητής.

Διαβάστε την §8.3.

Λύστε της ασκήσεις: σελ. 256: 19, 20.

5.20 Δε, 15/5/06: Τυχαίοι περίπατοι

Ορίσαμε μερικές απλές περιπτώσεις τυχαίων περιπάτων και είδαμε πώς υπολογίζουμε διάφορες πιθανότητες. Για παράδειγμα, υπολογίσαμε την πιθανότητα να χάσει κάποιος παίχτης που ξεκινάει με κεφάλαιο $k$, $0<k<N$, και κάθε χρονική στιγμή κερδίζει ή χάνει μια μονάδα με πιθανότητα $1/2$. Ο παίκτης θεωρείται ότι κέρδισε, οπότε και σταματάει το παιχνίδι, αν το κεφάλαιό του φτάσει το $N$, και ότι έχασε αν φτάσει το $0$.

Διαβάστε από τις σημειώσεις σας, μια και δεν ακολουθώ το βιβλίο για το θέμα αυτό.

5.20.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Δε, 22/5/06: Τρίτο διαγώνισμα

Επειδή χάθηκαν αρκετές διαλέξεις από το τέλος του εξαμήνου, το τρίτο διαγώνισμα του μαθήματος δε θα αφορά μόνο το τελευταίο κομμάτι του μαθήματος (μετά το δεύτερο διαγώνισμα δηλ.) αλλά όλη την ύλη του μαθήματος που έχει διδαχτεί μέσα στο εξάμηνο.

5.20.2 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τρ, 4/7/06: Τρίτο διαγώνισμα

Θα δοθεί το 3ο διαγώνισμα στις 15 Ιουλίου, 5-6μμ. Θα μετρήσει κατά το 1/3 του βαθμού, όπως είχε ανακοινωθεί. Θα καλύπτει όμως (δείτε και την αμέσως προηγούμενη ανακοίνωση) όλη την ύλη του μαθήματος καθώς και κάποια πολύ σημαντικά και βασικά πράγματα από τις Πιθανότητες Ι (όπως και τα άλλα δύο διαγωνίσματα).

5.20.3 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Δε, 17/7/06: Τελικοί βαθμοί

Οι βαθμοί στο τρίτο διαγώνισμα είναι εδώ κατά σειριακό αριθμό κι εδώ κατά βαθμό.

Οι τελικοί βαθμοί είναι εδώ κατά βαθμό. (Τελευταία ενημέρωση: Mon Jul 17 20:15:30 EEST 2006).

Παρακαλώ να ελέγξετε προσεκτικά τα στοιχεία που σας αφορούν στα παραπάνω, ώστε να βρεθούν τυχόν λάθη αντιγραφής δικά μου.

Ο τελικός σας βαθμός δίνεται από τον τύπο

$$F = 5+\frac{5}{7}(x-3),$$

όπου

$$x = \frac{10}{3}\left(\frac{T_1}{7}+\frac{T_2}{6}+\frac{T_3}{8}\right).$$

$T_i$ είναι το $i$-οστό διαγώνισμα. (Η συνάρτηση $x \to F$ απεικονίζει γραμμικά το διάστημα $[3,10]$ στο διάστημα $[5,10]$.)

Περνάτε το μάθημα μόνο αν $F \ge 5$.

5.20.4 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Κυ, 13/8/06: Διαγώνισμα Σεπτεμβρίου

Το διαγώνισμα Σεπτεμβρίου θα δοθεί στις 30/8/06, στις 9 το πρωί. Για να περάσετε το μάθημα πρέπει απλά να γράψετε πάνω από τη βάση σε αυτό το διαγώνισμα. Τα δυο διαγωνίσματα που δόθηκαν κατά τη διάρκεια του έτους δε μετράνε για το Σεπτέμβριο.

5.20.5 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τε, 30/8/06: Τελικοί βαθμοί Σεπτεμβρίου

Οι βαθμοί στο διαγώνισμα του Σεπτεμβρίου είναι εδώ.

Οι τελικοί βαθμοί της περιόδου αυτής είναι εδώ.

(Τελευταία ενημέρωση: Wed Aug 30 12:31:25 EEST 2006).

5.20.6 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τε, 2/5/07: Βαθμοί 3ης εξεταστικής περιόδου

Οι βαθμοί στο διαγώνισμα του Απριλίου 2007 είναι εδώ.

Οι τελικοί βαθμοί της περιόδου αυτής είναι εδώ.

(Τελευταία ενημέρωση: Thu May 3 05:36:46 EEST 2007).