next up previous contents
Next: 5.38 Δεσμευμένη πυκνότητα δύο Up: 5 Ημερολόγιο διαλέξεων Previous: 5.36 Ένατη ομάδα ασκήσεων   Contents

5.37 Πυκνότητα πιθανότητας αθροίσματος ανεξαρτήτων ΤΜ - Τρ, 27/11/2001

Κατ' αναλογία με τη διακριτή περίπτωση ορίσαμε τη συνέλιξη δύο συναρτήσεων $f,g:{\mathbf R}\to{\mathbf R}$, που πληρούν

\begin{displaymath}
\int_{-\infty}^\infty{\left\vert{f(x)}\right\vert} dx,\
\int_{-\infty}^\infty{\left\vert{g(x)}\right\vert} dx < \infty,
\end{displaymath}

ως τη συνάρτηση $f*g:{\mathbf R}\to{\mathbf R}$ που ορίζεται από

\begin{displaymath}
f*g(x) = \int_{-\infty}^\infty f(t) g(x-t) dt.
\end{displaymath}

Είδαμε διάφορες ιδιότητες της συνέλιξης, όλες τους ανάλογες αυτών της διακριτής περίπτωσης, και δείξαμε τέλος ότι αν $X$ και $Y$ είναι δύο ανεξάρτητες ΤΜ με πυκνότητες τότε η πυκνότητα της $X+Y$ δίδεται από τον τύπο

\begin{displaymath}
f_{X+Y}(x) = (f_X*f_Y)(x).
\end{displaymath}

Υπολογίσαμε διάφορα παραδείγματα από το βιβλίο.



Mihalis Kolountzakis