5.14 Πυκνότητα πιθανότητας αθροίσματος ΤΜ, συνέλιξη, πολυωνυμική κατανομή - 16/10/01

Σήμερα κάναμε διεξοδικά το Παράδειγμα 14 της σελ. 76.

Δείξαμε επίσης ότι αν $X$ και $Y$ είναι δύο ανεξάρτητες ΤΜ τότε η πυκνότητα πιθανότητας της $X+Y$ δίδεται από τον τύπο

$$f_{X+Y}(n) = f_X*f_Y (n),$$

όπου η συνέλιξη δύο συναρτήσεων $f, g:{\mathbf Z}\to{\mathbf R}$ με $\sum_n{\left\vert{f(n)}\right\vert}<\infty$ και $\sum_n{\left\vert{g(n)}\right\vert}<\infty$ είναι η συνάρτηση $f*g:{\mathbf Z}\to{\mathbf R}$ που ορίζεται από τον τύπο

$$f*g(n) = \sum_{n\in{\mathbf Z}} f(k)g(n-k).$$

Επίσης είδαμε την πολυωνυμική κατανομή. Έστω ότι έχουμε ένα πείραμα το οποίο έχει $k$ δυνατά αποτελέσματα, έστω τα $1,\ldots,k$, και η πιθανότητα να έρθει το $i$ είναι $p_i$. Επαναλαμβάνουμε αυτό το πείραμα $n$ φορές και ονομάζουμε $X_i$ το πλήθος των φορών που εμφανίζεται το αποτέλεσμα $i$. Τότε η πυκνότητα πιθανότητας του τυχαίου διανύσματος $X_1,\ldots,X_k$ δίδεται από τον τύπο (υποθέτουμε πάντα ότι $n_1+\cdots+n_k = n$)

$$f_{X_1,\ldots,X_k}(n_1, \ldots, n_k) = {{\bf {Pr}}\left[{X... ...ht]} = {n \choose n_1,\ldots,n_k} p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k},$$

όπου ο πολυωνυμικός συντελεστής ορίζεται ως

$${n \choose n_1,\ldots,n_k} p_1^{n_1} = { n! \over n_1! \cdots n_k!}$$

και μετράει το πλήθος των τρόπων με τον οποίο μπορούμε να βάλουμε $n$ διακεκριμένες μπάλες σε $k$ διαφορετικά κουτιά.