5.7 Μερικά ακόμη για το μέτρημα. Τυχαίες μεταβλητές (διακριτές). - Πέ 4/10/2001

Σήμερα ασχοληθήκαμε με περιπτώσεις μετρήματος όπου γίνεται δειγματοληψία από ένα πληθυσμό με στοιχεία δύό ή περισσοτέρων κατηγοριών (Κεφ. 2.4).

Δεν αναφερθήκαμε ρητά στην §2.5 (Ένωση ενδεχομένων) αλλά θυμίζω ότι στο μάθημα της Τετάρτης (3/10/2001) αναφερθήκαμε στην αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού (inlusion-exclusion principle) για δύο ενδεχόμενα:

$${{\bf {Pr}}\left[{A \cup B}\right]} = {{\bf {Pr}}\left[{A}\r... ...f {Pr}}\left[{B}\right]} - {{\bf {Pr}}\left[{A\cap B}\right]}.$$

Διαβάστε την §2.5 για να δείτε πώς αυτό γενικεύεται για ένωση περισσοτέρων από δύο ενδεχομένων.

Στη συνέχεια αναφερθήκαμε στο τι είναι τυχαία μεταβλητή(ΤΜ) και ειδικότερα διακριτή ΤΜ. Αυτό δεν είναι τίποτε άλλο από μια ποσότητα της οποίας η τιμή (για διακριτές ΤΜ η τιμή αυτή είναι πάντα ακέραια) εξαρτάται από την έκβαση ενός πειράματος. Οι δυνατές εκβάσεις ενός πειράματος όμως εκφράζονται συλλογικά ως ο δειγματικός χώρος $\Omega$, άρα μια διακριτή ΤΜ με όνομα $X$ δεν είναι τίποτε άλλο από μια συνάρτηση

$$X: \Omega \to {\mathbf Z}.$$

Μια δακριτή ΤΜ $X$ περιγράφεται πλήρως (μόνη της, όχι όταν την κοιτάμε σε σχέση με άλλες ΤΜ) από τη συνάρτηση

$$f_X(k) = {{\bf {Pr}}\left[{X = k}\right]}, (k\in{\mathbf Z}).$$

Αυτή η συνάρτηση $f_X:{\mathbf Z}\to[0,1]$ ονομάζεται πυκνότητα πιθανότητας της ΤΜ $X$ και έχει την προφανή ιδιότητα

$$\sum_{k\in{\mathbf Z}} f_X(k) = 1.$$

Η κυριότερη αριθμητική ποσότητα για μια διακριτή ΤΜ $X$ είναι η μέση τιμή της (expectation)

$${{\bf E}\left[{X}\right]} = \sum_{k\in{\mathbf Z}} k\cdot {{... ...r}}\left[{X=k}\right]} = \sum_{k\in{\mathbf Z}} k\cdot f_X(k).$$

Η ποσότητα αυτή ορίζεται μόνο όταν η παραπάνω σειρά συγκλίνει απόλυτα, όταν δηλαδή

$$\sum_{k\in{\mathbf Z}} {\left\vert{k}\right\vert} f_X(k) < \infty.$$

Δεν έχουν δηλ. όλες οι ΤΜ μέση τιμή, αν και η μεγάλη πλειονότητα αυτών που θα δούμε έχουν. Για παράδειγμα πάρα πολλές ενδιαφέρουσες ΤΜ παίρνουν πεπερασμένες το πολύ τιμές (όλες δηλ. εκτός από πεπερασμένες το πλήθος έχουν πιθανότητα 0 να εμφανιστούν) οπότε όλα τα παραπάνω αθροίσματα είναι πεπερασμένα.