next up previous contents
Next: 5.8 ������� ����� �������� Up: 5 ���������� ��������� Previous: 5.6 ���������� ��� ����������,   Contents

5.7 ������ ����� ��� �� �������. ������� ���������� (���������). - �� 4/10/2001

������ ������������ �� ����������� ���������� ���� ������� ������������� ��� ��� �������� �� �������� ��� � ������������ ���������� (���. 2.4).

��� ������������ ���� ���� §2.5 (����� �����������) ���� ������ ��� ��� ������ ��� �������� (3/10/2001) ������������ ���� ���� ����������-����������� (inlusion-exclusion principle) ��� ��� ����������:

\begin{displaymath}
{{\bf {Pr}}\left[{A \cup B}\right]} = {{\bf {Pr}}\left[{A}\r...
...f {Pr}}\left[{B}\right]} - {{\bf {Pr}}\left[{A\cap B}\right]}.
\end{displaymath}

�������� ��� §2.5 ��� �� ����� ��� ���� ����������� ��� ����� ������������ ��� ��� �����������.

��� �������� ������������ ��� �� ����� ������ ���������(��) ��� ���������� �������� ��. ���� ��� ����� ������ ���� ��� ��� �������� ��� ������ � ���� (��� ��������� �� � ���� ���� ����� ����� �������) ��������� ��� ��� ������ ���� ����������. �� ������� �������� ���� ���������� ���� ����������� ��������� �� � ����������� ����� $\Omega$, ��� ��� �������� �� �� ����� $X$ ��� ����� ������ ���� ��� ��� ���������

\begin{displaymath}
X: \Omega \to {\mathbf Z}.
\end{displaymath}

��� ������� �� $X$ ������������ ������ (���� ���, ��� ���� ��� ������� �� ����� �� ����� ��) ��� �� ���������

\begin{displaymath}
f_X(k) = {{\bf {Pr}}\left[{X = k}\right]},   (k\in{\mathbf Z}).
\end{displaymath}

���� � ��������� $f_X:{\mathbf Z}\to[0,1]$ ���������� ��������� ����������� ��� �� $X$ ��� ���� ��� ������� ��������

\begin{displaymath}
\sum_{k\in{\mathbf Z}} f_X(k) = 1.
\end{displaymath}

� ��������� ���������� �������� ��� ��� �������� �� $X$ ����� � ���� ���� ��� (expectation)

\begin{displaymath}
{{\bf E}\left[{X}\right]} = \sum_{k\in{\mathbf Z}} k\cdot {{...
...r}}\left[{X=k}\right]} = \sum_{k\in{\mathbf Z}} k\cdot f_X(k).
\end{displaymath}

� �������� ���� �������� ���� ���� � �������� ����� ��������� �������, ���� ������

\begin{displaymath}
\sum_{k\in{\mathbf Z}} {\left\vert{k}\right\vert} f_X(k) < \infty.
\end{displaymath}

��� ����� ���. ���� �� �� ���� ����, �� ��� � ������ ����������� ����� ��� �� ����� �����. ��� ���������� ���� ������ ������������� �� �������� ������������ �� ���� ����� (���� ���. ����� ��� ������������ �� ������ ����� ���������� 0 �� �����������) ����� ��� �� �������� ���������� ����� �����������.



Mihalis Kolountzakis