Σύγκλιση άπειρων σειρών αριθμών

Μιχάλης Κολουντζάκης

Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, Λεωφόρος Κνωσού, 714 09 Ηράκλειο, E-mail: kolount AT gmail.com

Φθινόπωρο 2012-13

Περιεχόμενα

• 1 Πρόλογος
• 2 Διαλέξεις

1 Πρόλογος

Στη σελίδα αυτή θα βρείτε δείκτες προς κάποια video στα οποία εξηγώ κάποια βασικά πράγματα για άπειρες σειρές. Τα video αυτά φτιάχτηκαν κυρίως για χρήση των φοιτητών του μαθήματος "Απειροστικός Λογισμός Ι" αλλά ελπίζω ότι θα είναι χρήσιμα και ευρύτερα.

Σίγουρα δεν αποτελούν μια πλήρη παρουσίαση των σχετικών εννοιών και σε καμιά περίπτωση δεν έχουν σκοπό να υποκαταστήσουν τη μελέτη των σχετικών συγγραμάτων και, κυρίως, τη λύση πολλών ασκήσεων.

Ελπίζω ότι σιγά-σιγά θα προσθέτω κι άλλα στοιχεία ώστε η σελίδα αυτή να είναι ακόμη πιο χρήσιμη.

Για τυχόν παρατηρήσεις (π.χ. αν βρείτε κάποιο σφάλμα που έχω κάνει) στείλτε μου email.

Τελευταία ενημέρωση: 6 Ιαν. 2013.

2 Διαλέξεις

Επιλέξτε τον τίτλο για το video.

1. Τι είναι το άθροισμα μιας άπειρης σειράς. Συμβολισμός (3:12)
2. Η άπειρη γεωμετρική σειρά (6:04)
3. Τηλεσκοπικές σειρές (3:26)
4. Η αρμονική σειρά (3:10)
5. Ο γενικός όρος πρέπει να τείνει στο 0 (4:45)
6. Η σύγκλιση δεν επηρεάζεται από πεπερασμένες αλλαγές (4:14)
7. Σειρές μη αρνητικών όρων (1:58)
8. Κριτήριο ολοκληρώματος (5:50)
9. Παράδειγμα: η σειρά $\sum_1^\infty \frac{1}{n^\alpha}$ (6:05)
10. Παράδειγμα: η σειρά $\sum_2^\infty \frac{1}{n \log^\alpha n}$ (6:28)
11. Σύγκριση με άλλες σειρές για σειρές μη αρνητικών όρων (3:20)
12. Παράδειγμα: η σειρά $\sum_{n=1}^\infty \frac{5n+2}{3n^2-10n-1}$ (3:25)
13. Παράδειγμα: η σειρά $\sum_{n=1}^\infty n 2^{-n}$ (2:57)
14. Παράδειγμα: η σειρά $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+\log n}$ (1:01)
15. Παράδειγμα: η σειρά $\sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^\alpha$ (4:05)
16. Παράδειγμα: η σειρά $\sum_{n=1}^\infty ((n+1)^{0.23}-n^{0.23})^\alpha$ (5:02)
17. Εναλλασσόμενες σειρές (4:26)
18. Απόλυτη Σύγκλιση Σειρών (4:06)
19. Απόλυτη Σύγκλιση: Παραδείγματα (3:02)