\( \newcommand{\Ds}{\displaystyle} \newcommand{\PP}{{\mathbb P}} \newcommand{\RR}{{\mathbb R}} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\CC}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\NN}{{\mathbb N}} \newcommand{\TT}{{\mathbb T}} \newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Abs}[1]{{\left|{#1}\right|}} \newcommand{\Floor}[1]{{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}} \newcommand{\Ceil}[1]{{\left\lceil{#1}\right\rceil}} \newcommand{\sgn}{{\rm sgn\,}} \newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}} \newcommand{\Norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}} \newcommand{\Prob}[1]{{{{\mathbb P}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\Mean}[1]{{{{\mathbb E}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\cis}{{\rm cis}\,} \renewcommand{\Re}{{\rm Re\,}} \renewcommand{\Im}{{\rm Im\,}} \renewcommand{\arg}{{\rm arg\,}} \renewcommand{\Arg}{{\rm Arg\,}} \newcommand{\ft}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\FT}[1]{\left(#1\right)^\wedge} \newcommand{\Lone}[1]{{\left\|{#1}\right\|_{1}}} \newcommand{\Linf}[1]{{\left\|{#1}\right\|_\infty}} \)

Πραγματική Ανάλυση

Φθινόπωρο 2021-22

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών

Πανεπιστήμιο Κρήτης


Διδάσκων: Μιχάλης Κολουντζάκης


Το μάθημα θα διδαχθεί δια ζώσης σε αίθουσα/αμφιθέατρο. Η διδασκαλία και όλες οι σημειώσεις του διδάσκοντα κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας θα καταγράφονται (video και pdf αντίστοιχα). Αμέσως μετά τη διδασκαλία αυτά θα αναρτώνται στη σελίδα του μαθήματος.

Είναι απολύτως εφικτό να παρακολουθήσει κανείς τις διαλέξεις του μαθήματος χωρίς φυσική παρουσία.

Αν όμως κάποιος έρθει στο Πανεπιστήμιο για να παρακολουθήσει τότε θα πρέπει υποχρεωτικά (α) να φοράει μάσκα παντού μέσα στο κτήριο και (β) να είναι είτε εμβολιασμένος για covid είτε να έχει πιστοποιητικό νόσησης είτε πρόσφατο αρνητικό χημικό τεστ. Απαγορεύεται να είστε στο χώρο του Πανεπιστημίου χωρίς τα παραπάνω. 

 

 

▶▶     ◀◀

Ανακοινώσεις

  1. 16 Οκτ 2021: Έχει αναρτηθεί το 1ο φυλλάδιο ασκήσεων. Λύνοντάς τις, και ρωτώντας στο μάθημα για τυχόν δυσκολία που αντιμετωπίζετε με αυτές, προετοιμάζεστε και για τα διαγωνίσματα. Δεν παραδίδετε λυμένες ασκήσεις.
  2. Το ενδιάμεσο διαγώνισμα θα γίνει Πα, 19 Νοε. 2021, 9:00-11:00, Α208.
  3. 3 Οκτ 2021: Το μάθημα έχει ως ουσιαστικό (αλλά όχι τυπικό) προαπαιτούμενο το μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ. Αν δεν έχετε περάσει το μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ (ή αν δεν ξέρετε καλά τις έννοιές του) θα είναι πολύ δύσκολο να παρακολουθήσετε το μάθημα της Πραγματικής Ανάλυσης.
  4. 20 Σεπ 2021: Έναρξη διαλέξεων: Εβδομάδα της 4ης Οκτ. 2021.

Ωράριο

Δε 11-1, Πα 9-11.
Αίθουσα: Α208

Ώρες γραφείου διδάσκοντα: Τρ 11-12 στο Γ213.

Περιγραφή Μαθήματος

Εξωτερικό μέτρο Lebesgue στην πραγματική ευθεία. • σ-άλγεβρες, σύνολα Borel. • Μετρήσιμα κατά Lebesgue σύνολα μέσω της κατασκευής Καραθεοδωρή, μέτρο Lebesgue. • Ιδιότητες μετρήσιμων συνόλων, το σύνολο Cantor, μη μετρήσιμα σύνολα. • Μετρήσιμες συναρτήσεις. • Ολοκλήρωμα Lebesgue, οριακά θεωρήματα. • Σύγκλιση ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων. • Προσέγγιση μετρήσιμων συναρτήσεων. • Το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue.

Κείμενα

  1. Σημειώσεις Πραγματικής Ανάλυσης Θεμ. Μήτση
  2. Σημειώσεις Πραγματικής Ανάλυσης Μιχ. Παπααδημητράκη

Βαθμολογικό σύστημα

Ενδιάμεση εξέταση 40% (Πα, 19 Νοε. 2021, 9:00-11:00, Α208), τελική εξέταση 60%. Το βαθμολογικό αυτό σύστημα παραμένει το ίδιο και στις μεταγενέστερες εξεταστικές περιόδους.

Ημερολόγιο μαθήματος

Δε, 4 Οκτ. 2021:

Σήμερα μιλήσαμε για εξωετρικό μέτρο στο $\RR$. Δώσαμε τον ορισμό και είδαμε κάποιες βασικές ιδιότητες. Μιλήσαμε αρκετά για αριθμήσιμα σύνολα. Τέλος δώσαμε τον ορισμό για συμπαγή σύνολα στο $\RR$ και είπαμε ποιες ιδιότητες θα αποδείξουμε την επόμενη φορά για τα συμπαγή.

Μερικά βασικά για αριθμησιμότητα εδώ.

Πίνακας διάλεξης, 4 Οκτ 2021.
Video διάλεξης, 4 Οκτ 2021.

Πα, 8 Οκτ. 2021:

Μιλήσαμε κυρίως για συμπαγή σύνολα σήμερα και αποδείξαμε το βασικό θεώρημα που θα χρησιμοποιούμε στο εξής: ένα σύνολο στο $\RR$ είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο, αν και μόνο αν είναι ακολουθιακά συμπαγές (αυτό σημαίνει ότι κάθε ακολουθία στοιχείων του συνόλου αυτού έχει υπακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του συνόλου). Χρησιμοποιήσαμε, τέλος, τη συμπάγεια ενός κλειστού φραγμένου διαστήματος για να δείξουμε ότι το εξωτερικό του μέτρο είναι ίσο με το μήκος του.

Πίνακας διάλεξης, 8 Οκτ 2021.
Video διάλεξης, 8 Οκτ 2021.

Δε, 11 Οκτ. 2021:

Είδαμε την έννοια της σ-άλγεβρας υποσυνόλων του $\RR$ και κάποια παραδείγματα. Είδαμε ότι τομές σ-αλγεβρών είναι πάλι σ-άλγεβρες και ορίσαμε έτσι τη σ-άλγεβρα που παράγεται από μια τυχαία οικογένεια υποσυνόλων του $\RR$. Ορίσαμε έτσι τη Borel σ-άλγεβρα να είναι αυτή που παράγεται από τα ανοιχτά σύνολα και είδαμε ότι παράγεται και από μικρότερες οικογένειες συνόλων, π.χ. από τα ανοιχτά διαστήματα. Ορίσαμε έπειτα τι σημαίνει για ένα υποσύνολο του $\RR$ να είναι μετρήσιμο και αποδείξαμε ότι τα μετρήσιμα σύνολα είναι μια σ-άλγεβρα που περιέχει τα Borel. (Χρωστάμε ακόμη την απόδειξη ότι μια αριθμήσιμη ένωση μετρησίμων είναι μετρήσιμο σύνολο.

Πίνακας διάλεξης, 11 Οκτ 2021.
Video διάλεξης, 11 Οκτ 2021.

Πα, 15 Οκτ. 2021:

Σήμερα επαναλάβαμε, με λίγο καλύτερο τρόπο, κάποιες από τις αποδείξεις που είχαμε κάνει την προηγούμενη φορά. Αποδείξαμε λοιπόν (ξανά) ότι τα μετρήσιμα σύνολα είναι μια σ-άλγεβρα, ότι κάθε Borel σύνολο είναι μετρήσιμο, την ιδιότητα της προσθετικότητας του μέτρου για ξένα ανά δύο μετρήσιμα σύνολα και ότι το μέτρο της ένωσης μιας αύξουσας ακολουθίας μετρησίμων συνόλων είναι το όριο των μέτρων αυτών. Επίσης το αντίστοιχο θεώρημα για μια φθίνουσα ακολουθία μετρησίμων συνόλων, με την προϋπόθεση ότι τα μέτρα τους, από ένα σημείο και πέρα τουλάχιστον, είναι πεπερασμένα.

Πίνακας διάλεξης, 15 Οκτ 2021.
Video διάλεξης, 15 Οκτ 2021.

1ο φυλλάδιο ασκήσεων

Δε, 18 Οκτ. 2021:

Δείξαμε σήμερα κάποιες ιδιότητες κανονικότητας του μέτρου Lebesgue και των μετρησίμων συνόλων. Διαβάστε από το 3ο Κεφ. των σημειώσεων Μήτση. Επίσης δείξαμε ότι κάθε ανοιχτό σύνολο στο $\RR$ γράφεται ως αριθμήσιμη ξένη ένωση ανοιχτών διαστημάτων. Λύσαμε κάποιες από τις ασκήσεις του 1ου φυλλαδίου (4 και 5) και είπαμε ότι την Παρασκευή θα πρέπει οι φοιτητές να έχουν κοιτάξει και τις υπόλοιπες ασκήσεις του 1ου φυλλαδίου για να ασχοληθούμε με αυτές.

Πίνακας διάλεξης, 18 Οκτ 2021.
Video διάλεξης, 18 Οκτ 2021.

Πα, 22 Οκτ. 2021:

Λύσαμε σήμερα όλες τις ασκήσεις του 1ου φυλλαδίου που δεν είχαμε λύσει μέχρι τώρα. Μετά αρχίσαμε να μιλάμε για μετρήσιμες συναρτήσεις και είδαμε ότι αθροίσματα, γινόμενα, κλπ μετρησίμων συναρτήσεων παραμένουν μετρήσιμα.

Πίνακας διάλεξης, 22 Οκτ 2021.
Video διάλεξης, 22 Οκτ 2021.