\( \newcommand{\Ds}{\displaystyle} \newcommand{\PP}{{\mathbb P}} \newcommand{\RR}{{\mathbb R}} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\CC}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\NN}{{\mathbb N}} \newcommand{\TT}{{\mathbb T}} \newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Abs}[1]{{\left|{#1}\right|}} \newcommand{\Floor}[1]{{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}} \newcommand{\Ceil}[1]{{\left\lceil{#1}\right\rceil}} \newcommand{\sgn}{{\rm sgn\,}} \newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}} \newcommand{\Norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}} \newcommand{\Prob}[1]{{{{\mathbb P}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\Mean}[1]{{{{\mathbb E}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\cis}{{\rm cis}\,} \newcommand{\one}{{\mathbf 1}} \renewcommand{\Re}{{\rm Re\,}} \renewcommand{\Im}{{\rm Im\,}} \renewcommand{\arg}{{\rm arg\,}} \renewcommand{\Arg}{{\rm Arg\,}} \newcommand{\ft}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\FT}[1]{\left(#1\right)^\wedge} \newcommand{\Lone}[1]{{\left\|{#1}\right\|_{1}}} \newcommand{\Linf}[1]{{\left\|{#1}\right\|_\infty}} \)

1. Μπορείτε να δείτε τους τελικούς σας βαθμούς για το μάθημα στη θέση: https://fourier.math.uoc.gr/~mk/real2122/grades/login.php.
2. Θα γίνει μια τελευταία συνάντηση για το μάθημα τη Δευτέρα 31/1/2022 και ώρα 11-1 στην Α208. Σκοπός είναι να λύσουμε απορίες κλπ. Ελάτε λοιπόν προετοιμασμένοι να ρωτήσετε ό,τι σας έχει δυσκολέψει.
3. 25 Δεκ 2021: Έχει αναρτηθεί το 3ο φυλλάδιο ασκήσεων.
4. Το μάθημα της Δευτέρας 29 Νοε 2021 αναβάλλεται λόγω έκτακτης υποχρέωσης του διδάσκοντα. Θα αναπληρωθεί.
5. 21 Νοε 2021: Οι βαθμοί του ενδιέμσου διαγωνίσματος είναι διαθέσιμοι εδώ. Το διαγώνισμα είναι εδώ.
6. 17 Νοε 2021: Για το ενδιάμεσο διαγώνισμα της Παρασκευής 19/11/2021 θα πρέπει να ξέρετε ό,τι έχει διδαχθεί μέχρι και την Παρασκευή 12/11/2021. Δε θα εξεταστείτε σε ό,τι διδάχθηκε τη Δευτέρα 15/11/2021. Το διαγώνισμα θα ξεκινήσει ακριβώς στις 9:00.
7. Κάποιοι παρακολουθούν το μάθημα από το video των διαλέξεων και δεν έρχονται στην αίθουσα άρα δε μπορώ να προβλέψω το πόσοι θα έρθουν στην ενδιάμεση εξέταση. Για αυτό το λόγο για να συμμετάσχετε στην (υποχρεωτική) ενδιάμεση εξέταση θα πρέπει οπωσδήποτε να δηλώσετε τη συμμετοχή σας στο σύνδεσμο αυτό μέχρι την Τετάρτη 17 Νοεμβρίου 2021.
8. 31 Οκτ 2021: Έχει αναρτηθεί το 2ο φυλλάδιο ασκήσεων.
9. 16 Οκτ 2021: Έχει αναρτηθεί το 1ο φυλλάδιο ασκήσεων. Λύνοντάς τις, και ρωτώντας στο μάθημα για τυχόν δυσκολία που αντιμετωπίζετε με αυτές, προετοιμάζεστε και για τα διαγωνίσματα. Δεν παραδίδετε λυμένες ασκήσεις.
10. Το ενδιάμεσο διαγώνισμα θα γίνει Πα, 19 Νοε. 2021, 9:00-11:00, Α208.
11. 3 Οκτ 2021: Το μάθημα έχει ως ουσιαστικό (αλλά όχι τυπικό) προαπαιτούμενο το μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ. Αν δεν έχετε περάσει το μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ (ή αν δεν ξέρετε καλά τις έννοιές του) θα είναι πολύ δύσκολο να παρακολουθήσετε το μάθημα της Πραγματικής Ανάλυσης.
12. 20 Σεπ 2021: Έναρξη διαλέξεων: Εβδομάδα της 4ης Οκτ. 2021.

Δε 11-1, Πα 9-11.
Αίθουσα: Α208

Ώρες γραφείου διδάσκοντα: Τρ 11-12 στο Γ213.

Εξωτερικό μέτρο Lebesgue στην πραγματική ευθεία. • σ-άλγεβρες, σύνολα Borel. • Μετρήσιμα κατά Lebesgue σύνολα μέσω της κατασκευής Καραθεοδωρή, μέτρο Lebesgue. • Ιδιότητες μετρήσιμων συνόλων, το σύνολο Cantor, μη μετρήσιμα σύνολα. • Μετρήσιμες συναρτήσεις. • Ολοκλήρωμα Lebesgue, οριακά θεωρήματα. • Σύγκλιση ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων. • Προσέγγιση μετρήσιμων συναρτήσεων. • Το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue.

1. Σημειώσεις Πραγματικής Ανάλυσης Θεμ. Μήτση
2. Σημειώσεις Πραγματικής Ανάλυσης Μιχ. Παπααδημητράκη
3. Ανάλυση Fourier, Μιχ. Κολουντζάκης και Χρ. Παπαχριστόδουλος

Ενδιάμεση εξέταση 40% (Πα, 19 Νοε. 2021, 9:00-11:00, Α208), τελική εξέταση 60%. Το βαθμολογικό αυτό σύστημα παραμένει το ίδιο και στις μεταγενέστερες εξεταστικές περιόδους.

Δε, 4 Οκτ. 2021:

Σήμερα μιλήσαμε για εξωετρικό μέτρο στο $\RR$. Δώσαμε τον ορισμό και είδαμε κάποιες βασικές ιδιότητες. Μιλήσαμε αρκετά για αριθμήσιμα σύνολα. Τέλος δώσαμε τον ορισμό για συμπαγή σύνολα στο $\RR$ και είπαμε ποιες ιδιότητες θα αποδείξουμε την επόμενη φορά για τα συμπαγή.

Μερικά βασικά για αριθμησιμότητα εδώ.

Πίνακας διάλεξης, 4 Οκτ 2021.
Video διάλεξης, 4 Οκτ 2021.

Πα, 8 Οκτ. 2021:

Μιλήσαμε κυρίως για συμπαγή σύνολα σήμερα και αποδείξαμε το βασικό θεώρημα που θα χρησιμοποιούμε στο εξής: ένα σύνολο στο $\RR$ είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο, αν και μόνο αν είναι ακολουθιακά συμπαγές (αυτό σημαίνει ότι κάθε ακολουθία στοιχείων του συνόλου αυτού έχει υπακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του συνόλου). Χρησιμοποιήσαμε, τέλος, τη συμπάγεια ενός κλειστού φραγμένου διαστήματος για να δείξουμε ότι το εξωτερικό του μέτρο είναι ίσο με το μήκος του.

Πίνακας διάλεξης, 8 Οκτ 2021.
Video διάλεξης, 8 Οκτ 2021.

Δε, 11 Οκτ. 2021:

Είδαμε την έννοια της σ-άλγεβρας υποσυνόλων του $\RR$ και κάποια παραδείγματα. Είδαμε ότι τομές σ-αλγεβρών είναι πάλι σ-άλγεβρες και ορίσαμε έτσι τη σ-άλγεβρα που παράγεται από μια τυχαία οικογένεια υποσυνόλων του $\RR$. Ορίσαμε έτσι τη Borel σ-άλγεβρα να είναι αυτή που παράγεται από τα ανοιχτά σύνολα και είδαμε ότι παράγεται και από μικρότερες οικογένειες συνόλων, π.χ. από τα ανοιχτά διαστήματα. Ορίσαμε έπειτα τι σημαίνει για ένα υποσύνολο του $\RR$ να είναι μετρήσιμο και αποδείξαμε ότι τα μετρήσιμα σύνολα είναι μια σ-άλγεβρα που περιέχει τα Borel. (Χρωστάμε ακόμη την απόδειξη ότι μια αριθμήσιμη ένωση μετρησίμων είναι μετρήσιμο σύνολο.

Πίνακας διάλεξης, 11 Οκτ 2021.
Video διάλεξης, 11 Οκτ 2021.

Πα, 15 Οκτ. 2021:

Σήμερα επαναλάβαμε, με λίγο καλύτερο τρόπο, κάποιες από τις αποδείξεις που είχαμε κάνει την προηγούμενη φορά. Αποδείξαμε λοιπόν (ξανά) ότι τα μετρήσιμα σύνολα είναι μια σ-άλγεβρα, ότι κάθε Borel σύνολο είναι μετρήσιμο, την ιδιότητα της προσθετικότητας του μέτρου για ξένα ανά δύο μετρήσιμα σύνολα και ότι το μέτρο της ένωσης μιας αύξουσας ακολουθίας μετρησίμων συνόλων είναι το όριο των μέτρων αυτών. Επίσης το αντίστοιχο θεώρημα για μια φθίνουσα ακολουθία μετρησίμων συνόλων, με την προϋπόθεση ότι τα μέτρα τους, από ένα σημείο και πέρα τουλάχιστον, είναι πεπερασμένα.

Πίνακας διάλεξης, 15 Οκτ 2021.
Video διάλεξης, 15 Οκτ 2021.

1ο φυλλάδιο ασκήσεων

Δε, 18 Οκτ. 2021:

Δείξαμε σήμερα κάποιες ιδιότητες κανονικότητας του μέτρου Lebesgue και των μετρησίμων συνόλων. Διαβάστε από το 3ο Κεφ. των σημειώσεων Μήτση. Επίσης δείξαμε ότι κάθε ανοιχτό σύνολο στο $\RR$ γράφεται ως αριθμήσιμη ξένη ένωση ανοιχτών διαστημάτων. Λύσαμε κάποιες από τις ασκήσεις του 1ου φυλλαδίου (4 και 5) και είπαμε ότι την Παρασκευή θα πρέπει οι φοιτητές να έχουν κοιτάξει και τις υπόλοιπες ασκήσεις του 1ου φυλλαδίου για να ασχοληθούμε με αυτές.

Πίνακας διάλεξης, 18 Οκτ 2021.
Video διάλεξης, 18 Οκτ 2021.

Πα, 22 Οκτ. 2021:

Λύσαμε σήμερα όλες τις ασκήσεις του 1ου φυλλαδίου που δεν είχαμε λύσει μέχρι τώρα. Μετά αρχίσαμε να μιλάμε για μετρήσιμες συναρτήσεις και είδαμε ότι αθροίσματα, γινόμενα, κλπ μετρησίμων συναρτήσεων παραμένουν μετρήσιμα.

Πίνακας διάλεξης, 22 Οκτ 2021.
Video διάλεξης, 22 Οκτ 2021.

Δε, 25 Οκτ. 2021:

Σήμερα δείξαμε ότι η μετρησιμότητα μιας συνάρτησης διατηρείται και υπό διάφορες οριακές διαδικασίες. Έπειτα λύσαμε όλες τις ασκήσεις από το Κεφάλαιο 4 των σημειώσεων Μήτση.

Video διάλεξης, 25 Οκτ 2021.

Πα, 29 Οκτ. 2021:

Σήμερα επαναλάβαμε ξανά κάποια πράγματα για το σύνολο Cantor και τελειώσαμε την απόδειξη ότι είναι υπεραριθμήσιμο. Κατασκευάσαμε επίσης τη συνάρτηση Cantor και είδαμε αρκετές από τις ιδιότητές της.

Πίνακας διάλεξης, 29 Οκτ 2021.
Video διάλεξης, 29 Οκτ 2021.

2ο φυλλάδιο ασκήσεων

Δε, 1 Νοε. 2021:

Κατασκευάσαμε πρώτα ένα μη μετρήσιμο σύνολο. Έπειτα δείξαμε ένα θεώρημα του Steinhaus που λέει ότι αν $E$ μετρήσιμο με $m(E) > 0$ τότε υπάρχει $\delta > 0$ τ.ώ. $$ (-\delta, \delta) \subseteq E-E = \Set{e_1-e_2: \ e_1, e_2 \in E}. $$ Αρχίσαμε έπειτα να μιλάμε για το ολοκλήρωμα Lebesgue. Το ορίσαμε πρώτα για μη αρνητικές απλές συναρτήσεις (συναρτήσεις με πεπερασμένο σύνολο τιμών) και έπειτα το ορίσαμε για οποιαδήποτε μη αρνητική μετρήσιμη συνάρτηση.

Πίνακας διάλεξης, 1 Νοε 2021.
Video διάλεξης, 1 Νοε 2021.

Πα, 5 Νοε. 2021:

Είδαμε πρώτα το Λήμμα του Fatou και με αυτό αποδείξαμε το Θεώρημα Μονότονης Σύγκλισης. Έπειτα δείξαμε ότι κάθε μη αρνητική μετρήσιμη συνάρτηση γράφεται ως όριο μιας αύξουσας ακολουθίας απλών συναρτήσεων. Χρησιμοποιήσαμε αυτό το τελευταίο και το Θεώρημα Μονότονης Σύγκλισης για να δείξουμε την προσθετικότητα του ολοκληρώματος Lebesgue για μη αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις (το είχαμε ήδη δείξει για απλές).

Πίνακας διάλεξης, 5 Νοε 2021.
Video διάλεξης, 5 Νοε 2021.

Δε, 8 Νοε. 2021:

Σήμερα τελειώσαμε τη συζήτηση γύρω από το Λήμμα του Fatou και το Θεώρημα Μονότονης σύγκλισης και λύσαμε τις ασκήσεις από το αντίστοιχο κεφάλαιο των σημειώσεων Μήτση. Έπειτα αρχίσαμε να συζητάμε για τον ορισμό του ολοκληρώματος Lebesgue για προσημασμένες συναρτήσεις και αποδείξαμε τις βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος για αυτές τις συναρτήσεις. Δεν κάναμε ακόμη το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης.

Πίνακας διάλεξης, 8 Νοε 2021.
Video διάλεξης, 8 Νοε 2021.

Πα, 12 Νοε. 2021:

Σήμερα λύσαμε τις ασκήσεις του 2ου φυλλαδίου.

Πίνακας διάλεξης, 12 Νοε 2021.
Video διάλεξης, 12 Νοε 2021.

Δε, 15 Νοε. 2021:

Αποδείξαμε σήμερα το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης και είδαμε κάποιες συνέπειές του για σειρές συναρτήσεων. Έπειτα λύσαμε πολλές από τις ασκήσεις του Κεφαλαίου αυτού.

Πίνακας διάλεξης, 15 Νοε 2021.
Video διάλεξης, 15 Νοε 2021.

Δε, 22 Νοε. 2021:

Λύσαμε όλες τις ασκήσεις του ενδιάμεσου διαγωνίσματος και τις υπόλοιπες ασκήσεις από τη σελ. 25 των σημειώσεων Μήτση. Ξεκινήσαμε να μιλάμε για τις διάφορες έννοιες σύγκλισης μιας ακολουθίας συναρτήσεων προς μια συνάρτηση.

Πίνακας διάλεξης, 22 Νοε 2021.
Video διάλεξης, 22 Νοε 2021.

Πα, 26 Νοε. 2021:

Είδαμε 3 διαφορετικά είδη σύγκλισης μιας ακολουθίας συναρτήσεων $f_n$ σε μια συνάρτηση $f$, τη σύγκλιση κατά μέτρο, τη σχεδόν ομοιόμορφη σύγκλιση και τη σύγκλιση κατά μέση τιμή. Είδαμε επίσης διάφορα θεωρήματα και παραδείγματα που συνδέουν αυτά τα είδη σύγκλισης μεταξύ τους. Κάναμε κάποιες από τις ασκήσεις του κεφαλαίου αυτού.

Πίνακας διάλεξης, 26 Νοε 2021.
Video διάλεξης, 26 Νοε 2021.

Πα, 3 Δεκ. 2021:

Λύσαμε τις υπόλοιπες ασκήσεις της σελίδας 30. Έπειτα ορίσαμε τη μεγιστική συνάρτηση και δείξαμε την ανισότητα ασθενούς τύπου για αυτήν.

Πίνακας διάλεξης, 3 Δεκ 2021.
Video διάλεξης, 3 Δεκ 2021.

Δε, 6 Δεκ. 2021:

Μιλήσαμε κυρίως για τη μεγιστική συνάρτηση των Hardy και Littlewood και δείξαμε την ασθενή ανισότητα για αυτήν.

Πίνακας διάλεξης, 6 Δεκ 2021.
Video διάλεξης, 6 Δεκ 2021.

Πα, 10 Δεκ. 2021:

Συνεχίσαμε τη συζήτηση για τη μεγιστική συνάρτηση των Hardy και Littlewood και χρησιμοποιήσαμε την ασθενή ανισότητα για να δείξουμε ότι οι μέσοι όροι μιας τοπικά ολοκληρώσιμης συνάρτησης συγκλίνουν σχεδόν παντού στη συνάρτηση, καθώς και διάφορες ενισχυμένες παραλλαγές αυτού.

Πίνακας διάλεξης, 10 Δεκ 2021.
Video διάλεξης, 10 Δεκ 2021.

Δε, 13 Δεκ. 2021:

Σήμερα μιλήσαμε για το μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο $\RR^d$. Διατυπώσαμε χωρίς απόδειξη το θεώρημα του Fubini. Είδαμε κάποιες εφαρμογές αυτού, κυρίως στον ορισμό της συνέλιξης δύο συναρτήσεων. Μιλήσαμε έπειτα για τους χώρους $L^p$ και αποδείξαμε κάποιες βασικές ανισότητες για τις $L^p$ νόρμες. Διαβάστε από το πρώτο κεφάλαιο της Ανάλυσης Fourier.

Πίνακας διάλεξης, 13 Δεκ 2021.
Video διάλεξης, 13 Δεκ 2021.

Πα, 17 Δεκ. 2021:

Μιλήσαμε γενικά για τους χώρους $L^p(A)$. Είδαμε την απόδειξη της ανισότητας του Minkowski. Είδαμε διάφορες εφαρμογές του θ. Fubini.

Προς το τέλος του μαθήματος προσπαθήσαμε, χωρίς να το προλάβουμε, να δείξουμε ότι αν $f \in L^1(\RR)$ και $g \in L^\infty(\RR)$ τότε ορίζεται η συνέλιξη $f*g$, ισχύει $\Linf{f*g} \le \Norm{f}_1 \Linf{g}$ (αυτά τα δείξαμε) και μάλιστα η $f*g$ είναι συνεχής. Η απόδειξη του τελευταίου πάει ως εξής.

Κάνοντας πράξεις έχουμε $$ \begin{align*} \Abs{f*g(x+h)-f*g(x)} & \le \Abs{ \int g(y) \left(f(x-y+h)-f(x-y)\right) \,dy}\\ & \le \Linf{g} \Norm{f(\cdot+h)-f(\cdot)}_1. \end{align*} $$ Όμως ο τελευταίος όρος τείνει στο 0 για $h \to 0$ όπως έχουμε δείξει ("συνέχεια της μεταφοράς στο $L^1$"). Παρατηρήστε επίσης ότι αφού το φράγμα δεν εξαρτάται από το $x$ έχουμε αποδείξει ότι η $f*g$ είναι ομοιόμορφα συνεχής στο $\RR$.

Πίνακας διάλεξης, 17 Δεκ 2021.
Video διάλεξης, 17 Δεκ 2021.

Δε, 20 Δεκ. 2021:

Είδαμε σήμερα διάφορες ιδιότητες που μπορεί να έχει η συνέλιξη δύο συναρτήσεων ανάλογα με το τι ιδιότητες υποθέτει κανείς για αυτές τις δύο συναρτήσεις. Είδαμε π.χ. ότι συνέλιξη με μια παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη. Ξεκινήσαμε την απόδειξη του θεωρήματος του Weierstrass για ομοιόμορφη προσέγγιση συνεχών συναρτήσεων (σε φραγμένο διάστημα) από πολυώνυμα, αλλά δεν τελειώσαμε την απόδειξη.

Πίνακας διάλεξης, 20 Δεκ 2021.
Video διάλεξης, 20 Δεκ 2021.

3ο φυλλάδιο ασκήσεων

Δε, 10 Ιαν 2022:

Τελειώσαμε σήμερα την απόδειξη του Landau για το θεώρημα του Weierstrass και κάναμε επίσης και την απόδειξη του Bernstein. Διαβάστε και τις δύο από τις σημειώσεις αρμονικής ανάλυσης. Επίσης λύσαμε τις 2 πρώτες ασκήσεις από το 3ο φυλλάδιο ασκήσεων.

Μπορείτε και εδώ να δείτε την απόδειξη του Bernstein για το θεώρημα Weierstrass (video από το μάθημα της Αρμονικής Ανάλυσης, 2019-20).

Πίνακας διάλεξης, 10 Ιαν 2022.
Video διάλεξης, 10 Ιαν 2022.

Πα, 14 Ιαν 2022:

Τελειώσαμε σήμερα τη λύση των ασκήσεων του 3ου φυλλαδίου.

Πίνακας διάλεξης, 14 Ιαν 2022.
Video διάλεξης, 14 Ιαν 2022.