Πραγματική Ανάλυση (Μ 210)

Μιχάλης Κολουντζάκης

Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, Λεωφόρος Κνωσού, 714 09 Ηράκλειο, E-mail: kolount AT gmail.com

Άνοιξη 2009-10


Περιεχόμενα

1 Ωράριο

Δευτέρα 3-5, Τετάρτη 3-5 στην αίθουσα Θ 201. Έναρξη μαθημάτων: 8/02/10. Λήξη εξαμήνου: 21/5/10.

Ώρες γραφείου: Τρίτη 10-12πμ και γενικά μπορείτε να με βρίσκετε τα πρωινά 10-12 στο γραφείο μου (Γ 111, στο προκατασκευασμένο κτήριο της Κνωσού).

2 Περιγραφή του μαθήματος

Θα δούμε τη θεωρία του μέτρου Lebesgue καθώς και θεωρία του ολοκληρώματος Lebesgue. Σε σχέση με το ολοκλήρωμα Riemann που έχετε γνωρίσει στα μαθήματα Απειροστικού Λογισμού και Ανάλυσης το ολοκλήρωμα Lebesgue είναι πολύ πιο εύχρηστο, υπάρχει για πολύ μεγαλύτερη κλάση συναρτήσεων και έχει πολύ πιο πλήρη και γενικεύσιμη θεωρία. Γι' αυτό και είναι το ολοκλήρωμα που χρησιμοποιείται σε όλα τα προχωρημένα μαθήματα ανάλυσης, διαφορικών εξισώσεων και πιθανοτήτων (σε πιο γενική μορφή στην τελευταία περίπτωση).

Για όσους σκοπεύουν να πάρουν προχωρημένα μαθήματα ανάλυσης, θεωρητικής και εφαρμοσμένης, και να προχωρήσουν λίγο παρακάτω στις σπουδές τους, η γνώση του μέτρου και του ολοκληρώματος Lebesgue είναι απολύτως απαραίτητη.

2.1 Βιβλίο

Θα χρησιμοποιήσουμε κυρίως τις σημειώσεις που έχει γράψει ο συνάδελφος Μιχάλης Παπαδημητράκης. και τις οποίες μπορείτε να τς βρείτε σε μορφή pdf εδώ.

Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε το βιβλίο W. Rudin, Αρχές μαθηματικής αναλύσεως, Leader Books.

3 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις

Καθ' όλη τη διάρκεια του εξαμήνου θα μοιράζεται κάθε εβδομάδα ένα φυλλάδιο ασκήσεων. Τις ασκήσεις αυτές θα πρέπει να τις λύνετε. Αυτός είναι και καλύτερος τρόπος να κατανοήσετε το περιεχόμενο του μαθήματος και να προετοιμαστείτε για τις εξετάσεις. Εάν δε μπορείτε να βρείτε τη λύση μόνοι σας τότε πρέπει τουλάχιστον να κατανοήσετε τη λύση κάποιου άλλου (συμφοιτητή σας, κείμενο από κάποιο βιβλίο, δικιά μου λύση).

Κάθε εβδομάδα επίσης, και συνήθως την Τετάρτη, για τα τελευταία 15-20 λεπτά του μαθήματος θα γράφετε ένα μικρό τεστ στο οποίο θα πρέπει να λύσετε μια άσκηση. Η άσκηση θα έχει επιλεγεί από το προηγούμενο φυλλάδιο (αυτό που σας μοιράστηκε την αμέσως προηγούμενη εβδομάδα), ίσως με ελαφρά παραλλαγή.

Οι βαθμολογίες σας σε αυτά τα τεστ (τα δύο χειρότερα τεστ για τον καθένα σας δε θα μετρήσουν) θα αντιπροσωπεύουν το 50% του βαθμού σας. Το άλλο μισό θα προέρχεται από την τελική εξέταση.

Εξαιρέσεις από τα υποχρεωτικά μικρά διαγωνίσματα: Όσοι έχουν πραγματικούς λόγους να μη μπορούν να δίνουν τα μικρά διαγωνίσματα μπορούν να ζητήσουν γραπτώς (ένα email αρκεί) να εξεταστούν μόνο στο τελικό διαγώνισμα μέχρι την Παρασκευή 5 Μαρτίου 2010. Θα πρέπει να εξηγήσουν τους λόγους.

Αυτό το βαθμολογικό σύστημα θα ισχύσει εφ' όσον ο αριθμός των φοιτητών που παρακολουθούν το μάθημα το επιτρέπει. Αν ο αριθμός αυτός αυξηθεί σε σημείο να μην επιτρέπει τη διεξαγωγή των μικρών αυτών τεστ στην αίθουσα διδασκαλίας, τότε το σύστημα θα αλλάξει και τα τεστ θα αντικατασταθούν από ενδιάμεσο διαγώνισμα για το 50% του βαθμού.

4 Ημερολόγιο Μαθήματος

Η σελίδα αυτή θα ενημερώνεται τουλάχιστον μετά από κάθε μάθημα και σκοπό έχει να μεταδίδει μερικές βασικές χρήσιμες πληροφορίες για το περιεχόμενο του μαθήματος (π.χ. τι να προσέξετε, υποδείξεις για λύσεις των ασκήσεων, κ.ά.) καθώς και για διαδικαστικά θέματα.

Σπανίως θα βγαίνουν ανακοινώσεις που αφορούν το μάθημα σε χαρτί. Παρακαλώ να συμβουλεύεστε αυτή τη σελίδα τουλάχιστον 2-3 φορές την εβδομάδα.

4.1 Δε, 8/2/10: Εισαγωγή. Διαστήματα και οι όγκοι τους.

Κάναμε μια μικρή εισαγωγή στο μέτρο Lebesgue. Σκεφτόμενοι το τι ιδιότητες πρέπει φυσιολογικά να έχει βγάλαμε διάφορα συμπεράσματα, όπως π.χ. ότι θα πρέπει όλα τα αριθμήσιμα σύνολα, όπως το σύνολο ${\mathbb{Q}}$ των ρητών, να έχουν μέτρο 0.

Έπειτα αρχίσαμε να θεμελιώνουμε σιγά-σιγά την έννοια του εξωτερικού μέτρου. Κατ' αρχήν ορίσαμε την έννοια του διαστήματος (ορθογωνίου) στο ${\mathbb{R}}^d$ (όπου $d$ είναι η διάσταση του Ευκλείδιου χώρου στον οποίο δουλεύουμε, και που για μας θα είναι κατά κανόνα 1 ή 2) ως σύνολο του τύπου

\begin{displaymath} I = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times \cdots \times [a_d, b_d], \end{displaymath}

των οποίων ο όγκος ορίζεται ως η ποσότητα

\begin{displaymath} V_d(I) = (b_1-a_1)(b_2-a_2)\cdots(b_d-a_d). \end{displaymath}

Είναι ακριβώς αυτή την έννοια του όγκου που θέλουμε να γενικεύσουμε στα «περισσότερα» υποσύνολα του ${\mathbb{R}}^d$ (οπότε και αντί τη λέξη «όγκος» θα χρησιμοποιούμε συνήθως τη λέξη «μέτρο»). Ξεκινήσαμε λοιπόν επιβεβαιώνοντας ότι ο όγκος των διαστημάτων έχει την πολύ βασική ιδιότητα της προσθετικότητας: αν τα $I, I_1, \ldots, I_N \subseteq {\mathbb{R}}^d$ είναι διαστήματα, τα $I_j$ ανά δύο δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία (είναι, όπως λέμε, «σχεδόν ξένα») και

\begin{displaymath} I = I_1 \cup \ldots \cup I_N, \end{displaymath}

τότε ισχύει

\begin{displaymath} V_d(I) = V_d(I_1) + \cdots + V_d(I_N). \end{displaymath}

Δείξαμε επίσης την ιδιότητα της «υποπροσθετικότητας»: αν $I \subseteq I_1 \cup \ldots \cup I_N$ τότε $V_d(I) \le V_d(I_1) + \cdots + V_d(I_N)$.

Διαβάστε από την §2.1 των σημειώσεων.

4.1.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 1

Το φυλλάδιο είναι εδώ σε μορφή PDF. Πρέπει να έχετε λύσει τις ασκήσεις έως την επόμενη Τετάρτη, 17/2/2010, οπότε και θα εξεταστείτε σε αυτό (δείτε παραπάνω στην περιγραφή του βαθμολογικού συστήματος).

Αν έχετε τυχόν ερωτήσεις για κάποιες από τις ασκήσεις, θα είμαι στο γραφείο μου την Τρίτη και Τετάρτη το πρωί 10-12.

4.1.2 Λίγα πράγματα για αριθμησιμότητα

Μπορείτε εδώ (σε μορφή PDF) να βρείτε ένα μικρό κείμενο με τα βασικά πράγματα περί αριθμησίμων συνόλων που θα χρειαστούμε στη διάρκεια του μαθήματος.

4.2 Τε, 10/2/10: σ-υποπροσθετικότητα του όγκου διαστημάτων. Εξωτερικό μέτρο.

Επαναλάβαμε τις βασικές γνώσεις περί συμπαγών συνόλων σε μετρικούς χώρους και ειδικότερα για τους Ευκλείδιους χώρους ${\mathbb{R}}^d$.

Χρησιμοποιήσαμε την έννοια της συμπάγειας για να συμπεράνουμε, χρησιμοποιώντας την πεπερασμένη προσθετικότητα του όγκου διαστημάτων, την άπειρη (αριθμήσιμη) ή σ-υποπροσθετικότητα: αν $I, I_1, I_2, \ldots$ είναι διαστήματα στο ${\mathbb{R}}^d$ και $I \subseteq I_1 \cup I_2 \cup \ldots$ τότε έπεται ότι

\begin{displaymath} V_d(I) \le \sum_{j=1}^\infty V_d(I_j). \end{displaymath}

Ορίσαμε τέλος την έννοια του εξωτερικού μέτρου $m_d^*(A)$ οποιουδήποτε συνόλου $A \subseteq {\mathbb{R}}^d$ και αποδείξαμε μερικά βασικά πράγματα για αυτό, όπως ότι το εξωτερικό μέτρο αριθμησίμων συνόλων είναι 0 και επίσης την πεπερασμένη υποπροσθετικότητα

\begin{displaymath} m_d^*(A \cup B) \le m_d^*(A) + m_d^*(B), \forall A, B \subseteq {\mathbb{R}}^d. \end{displaymath}

Διαβάστε από τις §2.1, 2 των σημειώσεων.

4.3 Τε, 17/2/10: Εξωτερικό μέτρο.

Σήμερα δείξαμε διάφορες ιδιότητες του εξωτερικού μέτρου: αυξητικότητα ή μονοτονία, σ-υποπροσθετικότητα. Δείξαμε επίσης ότι το εξωτερικό μέτρο διαστημάτων ισοούται με τον όγκο τους και ότι $m_d^*({\mathbb{R}}^d) = \infty$. Δείξαμε επίσης ότι το εξωτερικό μέτρο μιας ευθείας στο επίπεδο είναι $0$:

\begin{displaymath} m_2^*({\mathbb{R}}\times {\left\{{0}\right\}}) = 0. \end{displaymath}

Λύσαμε επίσης όλες τις ασκήσεις του 1ου φυλλαδίου.

4.3.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: 1ο διαγώνισμα

Δεν έγινε σήμερα όπως κανονικά θα γίνεται αλλά θα γίνει την Παρασκευή 19/2, στο διάστημα 3-4μμ, στην αίθουσα Θ206.

4.3.2 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 2

Το φυλλάδιο είναι εδώ σε μορφή PDF. Πρέπει να έχετε λύσει τις ασκήσεις έως την επόμενη Τετάρτη, 24/2/2010, οπότε και θα εξεταστείτε σε αυτό (δείτε παραπάνω στην περιγραφή του βαθμολογικού συστήματος).

Η τελευταία διορθωμένη έκδοση αναρτήθηκε εδώ την Κυριακή 21/2/2010, 21:45.

4.3.3 Μικρό διαγώνισμα Νο 1

Είχαμε την Παρασκευή 19/2/10 το πρώτο μας μικρό διαγώνισμα το οποίο είναι εδώ σε μορφή PDF με τις λύσεις.

Οι βαθμοί σας βρίσκονται εδώ σε μορφή PDF.

4.4 Δε, 22/2/10: Διάφορα για αριθμησιμότητα

Σήμερα είδαμε τις λύσεις του 1ου μικρού διαγωνίσματος. Επίσης είδαμε διάφορα πράγματα για αριθμησιμότητα. μεταξύ των οποίων και το διαγώνιο επιχείρημα με το οποίο αποδείξαμε ότι το σύνολο των ακολουθιών από 0 ή 1

\begin{displaymath} X = {\left\{{x=(x_1, x_2, \ldots): x_j \in {\left\{{0,1}\right\}}}\right\}}, \end{displaymath}

είναι υπεραριθμήσιμο (δηλ. δεν είναι αριθμήσιμο). Είδαμε επίσης γιατί το σύνολο $(0,1)$ (και κάθε διάστημα) είναι κι αυτό υπαραριθμήσιμο, μέσω του δυαδικού αναπτύγματος των πραγματικών αριθμών.

Είδαμε πώς λύνονται οι ασκήσεις του 2ου φυλλαδίου.

4.4.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 3

Το φυλλάδιο είναι εδώ σε μορφή PDF. Πρέπει να έχετε λύσει τις ασκήσεις έως την επόμενη Τετάρτη, 3/3/2010, οπότε και θα εξεταστείτε σε αυτό.

4.5 Τε, 24/2/10: Τριαδικό σύνολο Cantor. Μετρήσιμα σύνολα.

Είδαμε σήμερα το πώς κατασκευάζουμε το τριαδικό σύνολο του Cantor. Αυτό και άλλα πολλά που κατασκευάζονται με παρόμοιο τρόπο («σύνολα τύπου Cantor» όπως τα λέμε) είναι πάρα πολύ σημαντικά σύνολα στην Ανάλυση κυρίως (αλλά όχι μόνο) γιατί χρησιμοποιούνται πάρα πολύ συχνά σε παραδείγματα. Το σύνολο που κατασκευάσαμε στο μάθημα, και του οποίου τις ιδιότητες είδαμε, αποτελεί το πρώτο παράδειγμα συνόλου στην μία διάσταση (στις παραπάνω τέτοια παραδείγματα είναι σχεδόν προφανή) συνόλου που έχει μέτρο $0$ χωρίς να είναι αριθμήσιμο.

Είδαμε επίσης πότε ένα σύνολο $E \subseteq {\mathbb{R}}^d$ ονομάζεται μετρήσιμο: αν για κάθε $A \subseteq {\mathbb{R}}^d$ ισχύει

\begin{displaymath} m_d^*(A) = m_d^*(A \cap E) + m_d^*(A \cap E^c). \end{displaymath}

Είδαμε ότι το κενό και όλος ο χώρος είναι μετρήσιμα όπως και ότι όλα τα σύνολα μέτρου 0 είναι μετρήσιμα. Είδαμε επίσης ότι το σύνολο των μετρησίμων συνόλων είναι κλειστό ως προς τις συνήθεις συνολοθεωρητικές πράξεις (συμπληρώματα, τομές και ενώσεις), είναι δηλ. το σύνολο των μετρησίμων συνόλων μια άλγεβρα συνόλων. Θα δούμε αργότερα ότι είναι και σ-άλγεβρα, ότι μπορούμε δηλ. να επιτρέψουμε το πλήθος των συμμετεχόντων συνόλων σε μια συνολοθεωρητική πράξη να είναι και άπειρο αιρθμήσιμο, όχι αναγκαστικά πεπερασμένο.

Διαβάστε την §2.4 και μέρος της §2.3. Κοιτάξτε και τις αντίστοιχες ασκήσεις πίσω, όχι μόνο το φυλλάδιο που σας έδωσα.

4.5.1 Μικρό διαγώνισμα Νο 2

Είχαμε την Τετάρτη 24/2/10 το δεύτερο μικρό διαγώνισμα το οποίο είναι εδώ σε μορφή PDF με τις λύσεις.

Οι βαθμοί σας βρίσκονται εδώ σε μορφή PDF.

4.5.2 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 4

Το φυλλάδιο είναι εδώ σε μορφή PDF. Στο φυλλάδιο αυτό δε θα εξεταστείτε με διαγώνισμα αλλά ο καθένας από σας έχει αναλάβει να φέρει λυμένη κάποια άσκηση (την οποία έχω επιλέξει εγώ) έως την Παρασκευή 12/3/2010.

4.6 Δε, 1/3/10: Τριαδικό σύνολο Cantor. 3ο φυλλάδιο ασκήσεων.

Μιλήσαμε κατ' αρχήν για την ιδιότητα του συνόλου Cantor να ορίζεται ως το σύνολο όλων εκείνων των πραγματικών αριθμών στο $[0,1]$ που έχουν τριαδικό ανάπτυγμα που δεν περιέχει το ψηφίο 1.

Έπειτα ασχοληθήκαμε με τις ασκήσεις του φυλλαδίου 3.

4.7 Τε 3/3/10: Τα μετρήσιμα σύνολα ως σ-άλγεβρα

Σήμερα δείξαμε ότι τα μετρήσιμα σύνολα αποτελούν μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του ${\mathbb{R}}^d$. Δείξαμε επίσης την σ-προσθετικότητα: αν $E_n$ είναι μετρήσιμα σύνολα, ανά δύο ξένα, τότε $m(\cup E_n) = \sum m(E_n)$.

Είδαμε επίσης, ως συνέπεια αυτού, ότι αν έχουμε μια αύξουσα ακολουθία μετρησίμων συνόλων $E_n \subseteq E_{n+1}$ τότε $m(\cup E_n) = \lim m(E_n)$. Είδαμε επίσης την ανάλογη πρόταση για φθίνουσες τομές συνόλων και το γιατί χρειάζεται μια επιπλέον συνθήκη για να ισχύει.

Διαβάστε την §2.3.

4.7.1 Μικρό διαγώνισμα Νο 3

Είχαμε την Τετάρτη 3/3/10 το τρίτο μικρό διαγώνισμα το οποίο είναι εδώ σε μορφή PDF με τις λύσεις.

Οι βαθμοί σας βρίσκονται εδώ σε μορφή PDF.

4.8 Δε 8/3/10: Περισσότερα για σ-άλγεβρες συνόλων

Σήμερα δώσαμε διάφορα παραδείγματα από σ-άλγεβρες υποσυνόλων ενός συνόλου $X$. Επίσης λύσαμε τα προβλήματα του 4ου φυλλαδίου ασκήσεων.

4.8.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 5

Το φυλλάδιο είναι εδώ σε μορφή PDF.

4.9 Τε, 10/3/10: Borel σύνολα. Κλειστά μέσα σε μετρήσιμα σύνολα

Σήμερα μιλήσαμε αρκετά για τη σ-άλγεβρα που παράγεται από τα ανοιχτά σύνολα στο ${\mathbb{R}}^d$, τα λεγόμενα σύνολα Borel. Μιλήσαμε και λίγο παραπάνω για τις δύο ειδικές κλάσεις Borel συνόλων, τα σύνολα τύπου $G_\delta$ (αριθμήσιμες τομές ανοιχτών συνόλων) και τα σύνολα τύπου $F_\sigma$ (αριθμήσιμες ενώσεις κλειστών συνόλων).

Προσπάθησα επίσης (ανεπιτυχώς) να δώσω την απόδειξη του ότι μέσα σε κάθε μετρήσιμο σύνολο $A \subseteq {\mathbb{R}}^d$ και κάθε $\epsilon>0$ υπάρχει ένα κλειστό σύνολο $F$ τ.ώ. $m(A\setminus F) \le \epsilon$.

Μπορείτε να δείτε μια καθαρή απόδειξη εδώ σε μορφή PDF. Το πρόβλημα 3 στο 5ο φυλλάδιο είναι επίσης σχετικό.

4.9.1 Ασκήσεις για το σπίτι από το φυλλάδιο Νο 4

Οι βαθμοί σας είναι εδώ σε μορφή PDF.

4.10 Δε, 15/3/10: Ασκήσεις 5ου φυλλαδίου

Σήμερα μιλήσαμε για το θεώρημα που περιγράφεται εδώ και επίσης για τις ασκήσεις του 5ου φυλλαδίου, τις οποίες και συζητήσαμε όλες.

Μιλήσαμε επίσης γρήγορα για το πώς μεταβάλλεται το μέτρο ενός συνόλου $E \subseteq {\mathbb{R}}^d$ κάτω από ένα αφφινικό μετασχηματισμό, ένα μετασχηματισμό ${\mathbb{R}}^d \to {\mathbb{R}}^d$ δηλ. μορφής

\begin{displaymath} x \to A x + b \end{displaymath}

όπου $Ax$ παριστάνει ένα γραμμικό μετασχηματισμό και $b \in {\mathbb{R}}^d$ είναι ένα σταθερό διάνυσμα.

4.10.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα την Τετάρτη 24/3/10

Το μάθημα της Τετάρτης 24/3/10 αναβάλλεται λόγω απουσίας μου.

4.10.2 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 6

Το φυλλάδιο είναι εδώ σε μορφή PDF.

4.11 Τε, 17/3/10: Μη μετρήσιμα σύνολα. Μετρήσιμες συναρτήσεις.

Αποδείξαμε σήμερα ότι υπάρχουν σύνολα στο ${{\mathbb{R}}}$ τα οποία δεν είναι μετρήσιμα. (Πρόταση 1.1 στην Εισαγωγή των σημειώσεών σας.)

Ορίσαμε την έννοια της μετρήσιμης συνάρτησης και δείξαμε ότι πάρα πολλά παραδείγματα συναρτήσεων είναι μετρήσιμα και ότι η μετρησιμότητα συναρτήσεων διατηρείται από τις αλγεβρικές και άλλες πράξεις καθώς και από οριακές διαδικασίες.

Διαβάστε την §3.1.

4.11.1 Ασκήσεις για το σπίτι από το φυλλάδιο Νο 5

Οι βαθμοί σας είναι εδώ σε μορφή PDF.

4.12 Δε, 22/3/10: Μετρήσιμες συναρτήσεις. Η έννοια του σ.π.

Είδαμε ξανά ορισμένα πράγματα για μετρήσιμες συναρτήσεις και ορίσαμε τι σημαίνει να ισχύει κάτι σχεδόν παντού σ' ένα σύνολο $A \subseteq {\mathbb{R}}^d$. Αναφέραμε το θεώρημα που λέει ότι για να είναι μια φραγμένη συνάρτηση Riemann ολοκληρώσιμη πρέπει και αρκεί να είναι συνεχής σχεδόν παντού. Το εφαρμόσαμε αυτό σε διάφορες συναρτήσεις, π.χ. στη συνάρτηση που είναι 0 στους άρρητους και στο 0 και ίση με $1/q$ στον ρητό $p/q$, με $(p,q)=1$ (μέγιστο κοινό διαιρέτη 1).

Τη Δευτέρα μετά τις διακοπές του Πάσχα θα πρέπει να φέρετε γραμμένες τις ασκήσεις του τελευταίου φυλλαδίου.

4.13 Δε, 12/4/10: Απλές συναρτήσεις και το ολοκλήρωμά τους

Ορίσαμε το τί σημαίνει απλή συνάρτηση (συνάρτηση που παίρνει πεπερασμένες το πλήθος τιμές) σε ένα σύνολο $A \subseteq {\mathbb{R}}^d$ και δείξαμε ότι οι απλές συναρτήσεις είναι κλειστές κάτω από τις συνηθισμένες αλγεβρικές πράξεις. Δείξαμε επίσης ότι κάθε μη αρνητική συνάρτηση μπορεί να προσεγγισθεί κατά αύξοντα τρόπο από μια ακολουθία μη αρνητικών απλών συναρτήσεων. Τέλος ορίσαμε το ολοκλήρωμα μιας μη αρνητικής απλής μετρήσιμης συνάρτησης ορισμένης πάνω σε ένα μετρήσιμο σύνολο $A \subseteq {\mathbb{R}}^d$

\begin{displaymath} f(x) = \sum_{j=1}^N c_j \chi_{A_j}(x), (c_j \in [0, +\infty], A_j \subseteq A), \end{displaymath} (1)

ως την ποσότητα

\begin{displaymath} \int_A f = \sum_{j=1}^N c_j m(A_j). \end{displaymath}

Δείξαμε ότι αυτή η ποσότητα εξαρτάται μόνο από τη συνάρτηση $f$ και όχι από το πώς έχουμε επιλέξει να τη γράψουμε στη μορφή (1).

4.13.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 7

Το φυλλάδιο είναι εδώ σε μορφή PDF.

Θα εξεταστείτε σε αυτό με quiz την Τετάρτη 21/4/10.

Για τα ολοκληρώματα του Προβλήματος 4 ή και αλλού μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το γεγονός ότι αν έχουμε μια συνάρτηση, συνεχή σε κλειστό διάστημα, τότε το ολοκλήρωμα Riemann της υπάρχει (και το υπολογίζουμε με τους συνηθισμένους τρόπους) και συμπίπτει με το ολοκλήρωμα Lebesgue. Ο τρόπος να αποδείξει κανείς κάτι τέτοιο, στην περίπτωση κατ' αρχήν που η συνάρτηση είναι μη αρνητική στο διάστημα, είναι να παρατηρήσει ότι οι κλιμακωτές συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται στον ορισμό του ολοκληρώματος Riemann είναι και απλές και άρα το όριο είναι το ολοκλήρωμα Lebesgue.

4.14 Τε, 14/4/10: Το ολοκλήρωμα μετρήσιμων συναρτήσεων

Είδαμε πώς ορίζεται το ολοκλήρωμα μετρήσιμων συαρτήσεων. Κατ' αρχήν το ορίσαμε για μη αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις, παίρνοντας μια αύξουσα ακολουθία απλών που συγκλίνουν σε αυτές και το όριο των ολοκληρωμάτων αυτών των απλών συναρτήσεων. Δείξαμε ότι αυτό είναι καλά ορισμένο και έπειτα επεκτείναμε τον ορισμό μας και σε προσημασμένες συναρτήσεις χρησιμοποιώντας το θετικό και το αρνητικό τους κομμάτι. Αποδείξαμε ότι το ολοκλήρωμα Lebesgue ικανοποιεί τις συνηθισμέμες αλγενρικές ιδιότητες και ιδιότητες μονοτονίας.

4.15 Δε, 19/4/10: Η σχέση με το ολοκλήρωμα Riemann. Λύση ασκήσεων.

Αποδείξαμε ότι όταν έχουμε μια συνεχή συνάρτηση σε ένα φραγμένο κλειστό διάστημα τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα Lebesgue της συνάρτησης πάνω στο διάστημα απλά υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα Riemann της συνάρτησης (με τους κανόνες που έχουμε μάθει στον Απειροστικό Λογισμό).

Λύσαμε τις περισσότερες από τις ασκήσεις του τελευταίου φυλλαδίου.

4.15.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 8

Το φυλλάδιο είναι εδώ σε μορφή PDF.

Θα εξεταστείτε σε αυτό με quiz την Τετάρτη 28/4/10.

4.16 Τε, 21/4/10: Οριακά θεωρήματα

Δείξαμε σήμερα το θεώρημα μονότονης σύγκλισης του Lebesgue καθώς και το λήμμα του Fatou.

4.16.1 Μικρό διαγώνισμα Νο 4

Είχαμε την Τετάρτη 21/4/10 το 4o μικρό διαγώνισμα το οποίο είναι εδώ σε μορφή PDF με τις λύσεις.

Οι βαθμοί σας είναι εδώ σε μορφή PDF.

4.17 Δε, 26/4/10: Εφαρμογές θεωρήματος μονότονης σύγκλισης και λύση ασκήσεων

Με την ευκαιρία της λύσης των ασκήσεων του 8ου φυλλαδίου είδαμε διάφορες εφαρμογές του ΘΜΣ.

4.18 Τε, 28/4/10: Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης. Διάφορες κατασκευές.

Αποδείξαμε το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης, ένα από τα βασικότερα και πλέον χρήσιμα θεωρήματα της θεωρίας μέτρου και είδαμε μερικές εφαρμογές του.

Κατασκευάσαμε επίσης διάφορες ακολουθίες συναρτήσεων με διάφορες ιδιότητες σύγκλισης. Π.χ. κατασκευάσαμε μια ακολουθία μη αρνητκών συναρτήσεων στο $[0,1]$ που συγκλίνει κατά σημείο στο μηδέν αλλά τα ολοκληρώματά τους συγκλίνουν στο άπειρο.

4.18.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 9

Το φυλλάδιο είναι εδώ σε μορφή PDF.

Θα εξεταστείτε σε αυτό με quiz την Τετάρτη 12/5/10.

4.19 Δε, 3/5/10: Εφαρμογές θεωρήματος κυριαρχημένης σύγκλισης. Χώροι $L^p$.

Είδαμε διάφορες εφαρμογές του θεωηματος κυριαρχημένης σύγκλισης.

Ορίσαμε τους χώρους $L^p(A)$, $1\le p \le \infty$, και αναφέραμε μερικές βασικές ιδιότητες αυτών, όπως για παράδειγμα ότι αν το $A$ έχει πεπερασμένο μέτρο τότε $L^p(A) \subseteq L^q(A)$ αν $p>q$. Αποδείξαμε επίσης την ανισότητα Cauchy-Schwartz όπως και την ανισότητα Hölder (μένει ακόμη να αποδειχτεί η ανισότητα του Young για να είναι πλήρης η απόδειξη της ανισότητας Hölder).

4.19.1 Μικρό διαγώνισμα Νο 5

Είχαμε την Δευτέρα 3/5/10 το 5o μικρό διαγώνισμα το οποίο είναι εδώ σε μορφή PDF με τις λύσεις.

Οι βαθμοί σας είναι εδώ σε μορφή PDF.

4.20 Τε, 5/5/10: Χώροι $L^p$.

Σήμερα μιλήσαμε αρκετά για το ${\rm ess sup}$ μιας συνάρτησης που ορίζεται ως το inf των ουσιωδώς άνω φραγμάτων της $f:A\to{\mathbb{R}}$. Ένας αριθμός $M$ είναι ουσιώδες άνω φράγμα για την $f$ αν υπάρχει σύνολο $E \subseteq A$ μέτρου 0 τ.ώ. $f(x) \le M$ για κάθε $x \in A\setminus E$. Αποδεικνύεται ότι το infimum αυτό είναι κι αυτό ουσιώδες άνω φράγμα.

Ορίσαμε τους χώρους $L^p(A)$ για $1\le p \le \infty$ και δείξαμε ότι είναι γραμμικοί χώροι. Ορίσαμε τις $L^p$ νόρμες ${\left\Vert{f}\right\Vert}_p$ συναρτήσεων $f:A \to \overline{{\mathbb{R}}}={\mathbb{R}}\cup{\left\{{-\infty,\infty}\right\}}$ διατυπώσαμε την ανισότητα του Hölder με νόρμες (οπότε συμπεριλαμβάνεται και η περίπτωση των $p=1, q=\infty$ ως εξής:

\begin{displaymath} \int_A {\left\vert{fg}\right\vert} \le {\left\Vert{f}\right\Vert}_p {\left\Vert{g}\right\Vert}_q, \end{displaymath}

όπου $1\le p,q\le\infty$ και $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Τελειώσαμε την απόδειξη της ανισότητας του Hölder δίνοντας δύο διαφορετικές αποδείξεις της ανισότητας του Young

\begin{displaymath} ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}, a,b>0, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1. \end{displaymath}

Μιλήσαμε για κυρτές συναρτήσεις.

Τέλος, χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Hölder δείξαμε την ανισότητα του Minkowski (τριγωνική ανισότητα για τις $L^p$ νόρμες):

\begin{displaymath} {\left\Vert{f+g}\right\Vert}_p \le {\left\Vert{f}\right\Vert}_p + {\left\Vert{g}\right\Vert}_p. \end{displaymath}

Για τους χώρους $L^p$ ακολουθούμε το βιβλίο του A. Weir, Lebesgue integration and measure, Cambridge Univ. Press.

4.21 Δε, 10/5/10: Είδη σύγκλισης και παραδείγματα

Μιλήσαμε για τα διάφορα είδη σύγκλισης μιας ακολουθίας συναρτήσεων $f_n$ σε μια συνάρτηση $f$ στο ίδιο πεδίο ορισμού. Συγκεκριμένα μιλήσαμε για

Σύγκλιση σχεδόν παντού
Εδώ υπάρχει ένα σύνολο μέτρου 0 στο πεδίο ορισμού τέτοιο ώστε αν το $x$ δεν ανήκει σε αυτό τότε $f_n(x) \to f(x)$.
Σύγκλιση σε νόρμα
Αυτό σημαίνει ότι ${\left\Vert{f_n-f}\right\Vert}_p \to 0$.
Σύγκλιση κατά μέτρο
Για κάθε $\epsilon>0$ το μέτρο του συνόλου των $x$ για τα οποία ισχύει ${\left\vert{f_n(x)-f(x)}\right\vert}>\epsilon$ τείνει στο 0 με το $n$.
Είδαμε ότι η σύγκλιση κατά νόρμα συνεπάγεται σύγκλιση κατά μέτρο και είδαμε επίσης παραδείγματα όπου ισχύει ένα είδος σύγκλισης αλλά όχι άλλο.

4.22 Τε, 12/5/10: Πληρότητα και διάφορα πυκνά σύνολα συναρτήσεων

Είδαμε ότι για $1\le p \le \infty$ ο χώρος $L^p([0,1])$ είναι πλήρης: κάθε ακολουθία συναρτήσεων $f_n \in L^p([0,1])$ που είναι ακολουθία Cauchy στη μετρική $L^p$ συγκλίνει κατά νόρμα σε κάποια συνάρτηση $f \in L^p([0,1])$.

Επίσης είδαμε ότι σε κάθε χώρο $L^p([0,1])$ (για $1\le p < \infty$) τα εξής σύνολα συναρτήσεων είναι πυκνά στον χώρο: (α) Οι απλές συναρτήσεις, (β) οι κλιμακωτές συναρτήσεις και (γ) οι συνεχείς συναρτήσεις.

4.22.1 Μικρό διαγώνισμα Νο 6

Είχαμε την Τετάρτη 12/5/10 το 6o μικρό διαγώνισμα το οποίο είναι εδώ σε μορφή PDF με τις λύσεις.

Οι βαθμοί σας είναι εδώ σε μορφή PDF.

4.22.2 Βαθμολογία διαγωνισμάτων και ασκήσεων πλήρης

Οι βαθμοί σας είναι εδώ σε μορφή PDF.

4.23 Δε, 17/5/10: Χώρος Hilbert

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τον χώρο $L^2(A)$, όπου $A \subseteq {\mathbb{R}}^2$ ένα μετρήσιμο σύνολο. Ορίσαμε το εσωτερικό γινόμενο $(f,g)=\int_A fg$ και είδαμε τις απλές αλγεβρικές ιδιότητες που ικανοποιεί, και πάνω στις οποίες αποκλειστικά στηριχτήκαμε στο υπόλοιπο του μαθήματος. Είδαμε πως η σχέση ${\left\Vert{f}\right\Vert}^2=(f,f)$ οδηγεί σε απλές αλγεβρικές αποδείξεις του πυθαγορείου θεωρήματος και του νόμου του παραλληλογράμμου. Αποδείξαμε την ύπαρξη μοναδικού εγγύτερου σημείου σε ένα $f \in L^2$ από ένα κλειστό κυρτό σύνολο $S \subset L^2$ και το χρησιμοποιήσαμε αυτό για να ορίσουμε την προβολή στοιχείου του $L^2$ σε κλειστό γραμμικό υπόχωρο $M \subset L^2$.

Αυτό είναι το τελευταίο μάθημα του εξαμήνου. Θα υπάρξει όμως και κάποια συνάντηση λίγο πριν τον τελικό του μαθήματος, η οποία θα ανακοινωθεί εδώ.

4.23.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 10

Το φυλλάδιο είναι εδώ σε μορφή PDF.

4.23.2 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Έκτακτο μάθημα

Την Πέμπτη 10/6/2010 στην αίθουσα Γ 104, ώρες 10-12.

4.24 Πέμπτη 10/6/10: Λύση ασκήσεων

Σήμερα λύσαμε τις ασκήσεις του τελευταίου φυλλαδίου.

4.25 Τετάρτη 16/6/10: Τελικό Διαγώνισμα

Είναι εδώ σε μορφή PDF.

Τελικοί βαθμοί εδώ σε μορφή PDF.

4.26 Παρασκευή 10/9/10: Διαγώνισμα Σεπτεμβρίου

Το διαγώνισμα είναι εδώ σε μορφή PDF και οι βαθμοί εδώ σε μορφή PDF.

Mihalis Kolountzakis 2010-09-20