\( \newcommand{\Ds}{\displaystyle} \newcommand{\PP}{{\mathbb P}} \newcommand{\RR}{{\mathbb R}} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\CC}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\NN}{{\mathbb N}} \newcommand{\TT}{{\mathbb T}} \newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Abs}[1]{{\left|{#1}\right|}} \newcommand{\Floor}[1]{{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}} \newcommand{\Ceil}[1]{{\left\lceil{#1}\right\rceil}} \newcommand{\sgn}{{\rm sgn\,}} \newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}} \newcommand{\Norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}} \newcommand{\Prob}[1]{{{{\mathbb P}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\Mean}[1]{{{{\mathbb E}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\cis}{{\rm cis}\,} \newcommand{\one}{{\mathbf 1}} \renewcommand{\Re}{{\rm Re\,}} \renewcommand{\Im}{{\rm Im\,}} \renewcommand{\arg}{{\rm arg\,}} \renewcommand{\Arg}{{\rm Arg\,}} \renewcommand{\deg}{{\rm deg\,}} \newcommand{\ft}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\FT}[1]{\left(#1\right)^\wedge} \newcommand{\Lone}[1]{{\left\|{#1}\right\|_{1}}} \newcommand{\Linf}[1]{{\left\|{#1}\right\|_\infty}} \)

1. 9 Φεβ. 2024: Το τελικό διαγώνισμα θα γίνει Παρασκευή 16/2/2024, 9-11, στην Α208.
2. 14 Δεκ. 2023: Το μάθημα της Πέμπτης 21/12/2023 δε θα γίνει. Επίσης η τελική εξέταση για όσους θέλουν να τη δώσουν θα γίνει την πρώτη ή δεύτερη εβδομάδα μαθημάτων του εαρινού εξαμήνου.
3. 23 Νοε. 2023: Λόγω έκτακτου κωλύματος του διδάσκοντα το μάθημα της Παρασκευής, 24 Νοεμβρίου δε θα γίνει.
4. 14 Νοε. 2023: Αναπληρώσεις μαθημάτων θα γίνουν για τρεις Παρασκευές, 1-3, από την Πα. 24/11/2023, στην αίθουσα Α208.
5. 2 Νοε. 2023: Μπορείτε να βρείτε εδώ μια λίστα με προβλήματα τα οποία θέλω να λύσετε (ή, έστω, να προσπαθήσετε σοβαρά) μέχρι τις 13 Νοεμβρίου οπότε και θα έχουμε την επόμενή μας διάλεξη.
6. 3 Οκτ. 2023: Στο διάστημα 1 Νοεμβρίου έως 13 Νοεμβρίου δε θα γίνουν μαθήματα λόγω απουσίας μου. Οι διαλέξεις θα αναπληρωθούν αργότερα.
7. 26 Σεπ. 2023: Αρχίζουν οι διαλέξεις.

Τρ 1-3, Πέ 1-3.
Αίθουσα: A208

Ώρες γραφείου διδάσκοντα: Τρ 10-11.

Στο μάθημα αυτό θα λύνουμε προβλήματα. Πολλά προβλήματα. Από διάφορους τομείς των Μαθηματικών, καθαρών και εφαρμοσμένων, αλλά κυρίως προβλήματα στοιχειώδη, που δε θέλουν κάποια ιδιαίτερη γνώση για να τα καταλάβει κανείς, τουλάχιστον το τι ζητάνε. Αυτό φυσικά δε σημαίνει ότι αυτά είναι εύκολα προβλήματα. Επίσης, η λύση κάποιων από αυτά τα προβλήματα θα μας οδηγεί να εισαγάγουμε κάποιες νέες έννοιες των Μαθηματικών. Από αυτή την άποψη το μάθημα ξεφεύγει από τα στοιχειώδη και διαφέρει ουσιαστικά από ασκήσεις τύπου "Ολυμπιάδων". Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι να βλέπουμε και νέες έννοιες, όχι μόνο κόλπα στη λύση προβλημάτων.

Μπορείτε εδώ να δείτε τη σελίδα του μαθήματος την τελευταία φορά που το δίδαξα.

Δε θα στηριζόμαστε σε κάποιο συγκεκριμένο βιβλίο ή σημειώσεις. Θα προσπαθήσω για κάθε θέμα από αυτά που θα προκύπτουν στη συζήτηση να βάζω δείκτες στη βιβλιογραφία (κυρίως στα Αγγλικά θα είναι αυτή). Είναι επίσης ουσιαστικό οι φοιτητές να κρατάνε και τις δικές τους σημειώσεις στη διάρκεια του μαθήματος.

Η συμμετοχή στις διαλέξεις είναι απαραίτητη. Σκοπός του μαθήματος είναι να γίνεται κάποια συζήτηση μέσα στην αίθουσα και να προτείνονται λύσεις από τους φοιτητές σε όσα ερωτήματα φυσιολογικά προκύπτουν κατά τη διάρκεια του μαθήματος.

Σημαντικό μέρος του βαθμού σας θα προέλθει από τη συμμετοχή σας. Όσοι από σας συμμετέχετε στο μάθημα και έχετε ιδέες που θα βοηθούν στη λύση κάποιων προβλημάτων θα αμοίβεστε (όταν έχετε κάποιες καλές ιδέες) με μία ή παραπάνω καραμέλες (ή άλλο πρόσφορο γλύκισμα), και η αμοιβή σας θα καταγράφεται.

Αν κατά τη διάρκεια του εξαμήνου μαζέψετε αρκετές καραμέλες (ο ακριβής αριθμός θα προσδιοριστεί κατά τη διάρκεια του εξαμήνου) τότε θα περνάτε αυτόματα το μάθημα με βαθμό 5. Αν θέλετε μεγαλύτερο βαθμό τότε θα πρέπει επιπλέον να συμμετάσχετε στην τελική εξέταση.

Τρ, 26 Σεπ. 2023

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τα παρακάτω προβλήματα.

1. Ανακάτεμα δύο ποτηριών με διαφορετικά υγρά
2. $N$ άτομα πάνε σε ένα πάρτυ και ανταλλάσουν χειραψίες μεταξύ τους. Δείξτε ότι υπάρχουν δύο άτομα που ανταλλάσουν τον ίδιο αριθμό χειραψιών.
3. Πώς να κρεμάσετε ένα κάδρο από δύο καρφιά
4. Έρευνα: έχετε απατήσει τη/ο σύντροφό σας αυτό το καλοκαίρι;
5. Διχοτόμηση ενός χωραφιού σχήματος Γ
6. Αν ένα πολυώνυμο $f(x)$ είναι πάντα θετικό τότε υπάρχει $c>0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in \RR$ ισχύει $f(x) \ge c$.
7. Υπάρχει πολυώνυμο $f(x, y)$ δύο πραγματικών μεταβλητών που είναι πάντα θετικό και που μπορεί να πάρει οσοδήποτε μικρές θετικές τιμές. Λύση: Ένα τέτοιο πολυώνυμο είναι το $f(x, y)=x^2+(1-xy)^2$.

Μοιράστηκαν 4 καραμέλες.

Πέ, 28 Σεπ. 2023

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τα παρακάτω προβλήματα.

1. Δε γίνεται να γεμίσετε μια κομμένη σκακιέρα με ντόμινα
2. Ο συντομότερος δρόμος από ένα σημείο ενός τοίχουν προς ένα σημείο του δαπέδου.
3. Έχουμε μια $2^n\times 2^n$ σκακιέρα που ένα από τα τετραγωνάκια της λείπει. Δείξαμε ότι όπου και να είναι αυτό το τετραγωνάκι το υπόλοιπο που απομένει (και μόνο αυτό) μπορεί να πλακοστρωθεί με πλακάκια σχήματος $L$ (δηλ. από τρία τετραγωνάκια το κάθε πλακάκι). Η απόδειξή μας ήταν με επαγωγή ως προς το $n$
4. Ένας κυκλικός αυτοκινητόδρομος με $n$ βενζινάδικα
5. Έχουμε 2 m σχοινί και θέλουμε να πιάσουμε τα δύο άκρα με τα χέρια μας και χωρίς να τα αφήσουμε να πετύχουμε στο τέλος το σχοινί να δεθεί κόμπο.

Δόθηκε 1 καραμέλα.

Τρ, 3 Οκτ. 2023

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τα παρακάτω προβλήματα.

1. Πώς να βρούμε τα κάλπικα νομίσματα.
2. Δείξαμε ότι αν ένα πολύγωνο $P$ περιέχει στο εσωτερικό του ένα κυρτό πολύγωνο $Q$ τότε η περίμετρος του $Q$ είναι $\le$ από την περίμετρο του $Q$.
3. A New York story. A young man lives in Manhattan near a subway station. He has two girl friends, one in Brooklyn, one in The Bronx. To visit the girl in Brooklyn he takes a train on one side of the platform; to visit the girl in The Bronx he takes a train on the other side of the same platform. Since he likes both girls equally well, he simply takes the first train that comes along. The young man reaches the subway platform at a random moment each Saturday afternoon. Brooklyn and Bronx trains run every 10 minutes. For some reason he finds himself spending most of his time with the girl in Brooklyn: in fact on the average he goes there nine times out of ten. Why does this happen?
4. Δύο αυτοκίνητα που είναι 100 χλμ μακριά το ένα από το άλλο αρχίζουν να κινούνται το ένα προς το άλλο (βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία) το αριστερό αυτοκίνητο με 20 χλμ/ώρα και το δεξί με 30 χλμ/ώρα. Πάνω στο δεξί αυτοκίνητα λιάζεται μια μύγα που τρομάζει όταν ξεκινάει το αυτοκίνητο και αρχίζει να κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα 40 χλμ/ώρα. Κάποια στιγμή προσκρούει στο αριστερό αυτοκίνητο και αρχίζει να κινείται προς τα δεξιά με την ίδια ταχύτητα. Όταν προσκρούσει ξανά στο δεξί αυτοκίνητο αντιστρέφει και πάλι τη φορά της κίνησής της, κ.ο.κ, μέχρις να συνθλιβεί ανάμεσα στα δύο αυτοκίνητα. Τι απόσταση κάλυψε συνολικά η μύγα μέχρι το τέλος της;
5. Κάθε φυσικός αριθμός $n \ge 12$ μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός του 4 και του 5 με μη αρνητικούς ακέραιους συντελεστές.

Δόθηκαν 6 καραμέλες.

Πέ, 5 Οκτ. 2023

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τα παρακάτω προβλήματα.

1. Άθροισμα διαστάσεων δύο ορθογώνιων παραλληλεπιπέδων που το ένα περιέχεται μέσα στο άλλο
2. Έχουμε τυλίξει ένα σχοινί γύρω από τον ισημερινό της γης, σφιχτά ώστε το σχοινί να είναι ακριβώς πάνω στο έδαφος (υποθέτουμε ότι η γη είναι μια τέλεια σφαίρα). Κόβουμε το σχοινί σε ένα σημείο και προσθέτουμε ένα μέτρο στο μήκος του. Στη συνέχεια ανυψώνουμε το σχοινί αυτό πάνω από τον ισημερινό, κατά το ίδιο μήκος παντού, ώστε να είναι και πάλι τεντωμένο. Κατά πόσο σηκώθηκε;
3. Διακόπτες και λάμπες
4. Πώς να εξαφανίσετε ένα σημείο από τον κύκλο
5. Έχουμε ένα σωρό από άπειρα τούβλα, όλα ίδια μεταξύ τους και με διαστάσεις 10cm x 10cm x 30cm. Δείξτε πώς μπορεί κανείς να κατασκευάσει μια στήλη από τούβλα, ένα τούβλο σε κάθε επίπεδο που στηρίζεται στο από κάτω τούβλο, χωρίς κάποια συνδετική ύλη ανάμεσά τους (π.χ. τσιμέντο) έτσι ώστε (α) η στήλη αυτή να ισορροπεί και να μην πέφτει και (β) αν την προβάλουμε κατακόρυφα στο πάτωμα τότε καλύπτει ένα μήκος πάνω από 100m. Το πρόβλημα αυτό δεν το τελειώσαμε.

Δόθηκαν 5 καραμέλες.

Τρ, 10 Οκτ. 2023

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τα παρακάτω προβλήματα.

1. Έχουμε $N$ πόλεις, κάθε δύο από τις οποίες ενώνονται μεταξύ τους με έναν απ' ευθείας μονόδρομο. Δείξτε ότι όποιες και να είναι οι κατευθύνσεις αυτών των μονόδρομων πάντα υπάρχει τρόπος να κινηθούμε πάνω σε αυτό το δίκτυο δρόμων ώστε να περάσουμε ακριβώς μια φορά από κάθε πόλη. Αυτό το πρόβλημα δεν το λύσαμε μέσα στην τάξη. Οι φοιτητές θα πρέπει να το σκεφτούν μόνοι τους και θα το συζητήσουμε την επόμενη φορά.
2. Μια στήλη από τούβλα
3. Νομίσματα πάνω σε ένα τραπέζι
4. Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε δύο ξένα μεταξύ τους υποσύνολα $A, B \subseteq {\left\{{1, 2, 3, \ldots, n}\right\}}$;
5. Δείξαμε ότι αν $k\le n/2$ τότε $k!^2$ διαιρεί το $n!$.
6. Αποδείξαμε ότι δεν υπάρχει ακολουθία αριθμών $x_n$ που στις τιμές της να συμπεριλαμβάνονται όλοι οι αριθμοί στο διάστημα $(0,1)$. Με άλλα λόγια δείξαμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν είναι αριθμήσιμο, είναι, όπως λέμε, υπεραριθμήσιμο. Στην αρχή είδαμε το ίδιο πρόβλημα στην εξής μορφή: αν έχουμε ένα άπειρο δυαδικό δέντρο τότε το σύνολο των κλαδιών του είναι υπεραριθμήσιμο. Ορίσαμε τι σημαίνει μια υπολογίσιμη συνάρτηση $\phi:{\mathbb{N}}\to{\mathbb{N}}$ και αποδείξαμε ότι το πλήθος των υπολογισίμων συναρτήσεων, που είναι το πολύ το πλήθος των προγραμμάτων που υπάρχουν, είναι αριθμήσιμο. Αφού το πλήθος των συναρτήσεων είναι υπεραριθμήσιμο έπεται οτι υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι υπολογίσιμες. Αν σας ενδιαφέρει μπορείτε να διαβάσετε μερικά παραπάνω πράγματα γι' αυτές τις έννοιες στο βιβλίο αυτό, §1.8 και Κεφ. 10.

Δόθηκαν 6 καραμέλες.

Πέ, 12 Οκτ. 2023

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τα παρακάτω προβλήματα.

1. Είδαμε πώς να υπολογίσουμε μια δύναμη ενός αριθμού $a^n$ με πολύ λίγες πράξεις (ουσιαστικά τετραγωνίζοντας με τον κατάλληλο τρόπο). Έπειτα είδαμε πώς μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την ίδια ιδέα για να υπολογίσει το $n$-οστό όριο μιας αναδρομικής ακολουθίας, π.χ. της $$ x_1 = 3, x_2 = -3, x_3 = 5, \text{ και για } n \ge 4: x_n = 4x_{n-1}+5x_{n-2}-2x_{n-3}, $$ με πολύ λιγότερες από $n$ πράξεις που είναι η προφανής μέθοδος (με υπολογισμό δηλ. όλων των ενδιάμεσων όρων της ακολουθίας). Δείτε και εδώ.
2. Το πέμπτο χαρτί
3. Δείξαμε ότι κάθε δύο ισεμβαδικά πολύγωνα στο επίπεδο μπορούν να κοπούν σε πεπερασμένα κομμάτια το καθένα ώστε συνολικά τα κομμάτια αυτά να είναι ίδια. Ισοδύναμα, μπορούμε να κόψουμε το ένα πολύγωνο σε πεπερασμένα στο πλήθος κομμάτια και να πάρουμε το άλλο πολύγωνο συναρμολογώντας τα διαφορετικά. Δείξαμε κατ' αρχήν ότι μπορούμε να κόψουμε ένα τρίγωνο και να φτιάξουμε ένα ορθογώνιο. Έπειτα δείξαμε ότι μπορούμε πάντα να κόψουμε ένα ορθογώνιο και να φτιάξουμε ένα άλλο με ότι πλευρά θέλουμε (φτάνει να είναι μικρότερη μιας από τις πλευρές του). Έτσι μπορούμε πάντα ξεκινώντας από δύο ισεμβαδικά πολύγωνα να τα ταυτίσουμε με το ίδιο σχήμα, άρα και μεταξύ τους.

Δόθηκαν 8 καραμέλες.

Τρ, 17 Οκτ. 2023

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τα παρακάτω προβλήματα.

1. Πώς να μετρήσετε το χρόνο με 2 φυτίλια.
2. Παιχνίδι μ' ένα τόπι.
3. Δείξαμε ότι η ακολουθία $1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{n}-\log n$ συγκλίνει.
4. Δείξαμε ότι αν $f:[0, +\infty) \to [0, +\infty)$ είναι φθίνουσα και $\int_0^\infty f(x)\,dx \lt \infty$ τότε $\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0$.
5. Τρείς πόρτες έχει η ζωή.. Στην ίδια σελίδα δείτε και το παρακάτω πρόβλημα που επίσης συζητήσαμε:

   Στα χέρια μου έχω ένα ποσό και το διπλάσιό του. Δεν ξέρετε ποιο είναι αυτό το ποσό. Επιλέγετε στην τύχη ένα από τα δύο μου χέρια, το ανοίγω και βλέπετε ένα ποσό, ας πούμε 1 ευρώ. Και σας δίνω τη δυνατότητα να πάρετε το 1 ευρώ ή να πάρετε αυτό που είναι στο άλλο χέρι (πριν σας το ανοίξω φυσικά).

Δόθηκαν 3 καραμέλες.

Πέ, 19 Οκτ. 2023

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τα παρακάτω προβλήματα.

1. Δίδεται ένα ορθογώνιο $T$ με τις πλευρές του παράλληλες προς τους άξονες του επιπέδου. Υποθέτουμε πως μπορούμε να γράψουμε το $T$ σαν ένωση κάποιων ορθογωνίων $T_1, \ldots, T_n$, επίσης με τις πλευρές παράλληλες προς τους άξονες, και με ξένα εσωτερικά. Υποθέτουμε επίσης πως για κάθε $T_i$ η μία ή η άλλη πλευρά του έχει ακέραιο μήκος. Δείξτε ότι η μια ή η άλλη πλευρά του $T$ έχει ακέραιο μήκος.
2. Τύπος για εμβαδό πολυγώνου. Δείτε επίσης και εδώ.
3. Να βρεθεί μια συνεχής συνάρτηση $f:[0, 1] \to [0, 1]$ τέτοια ώστε για κάθε $y \in [0, 1]$ να υπάρχουν άπειρα $x \in [0, 1]$ με $f(x)=y$.

Δόθηκαν 3 καραμέλες.

Τρ, 24 Οκτ. 2023

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τα παρακάτω προβλήματα.

1. Δίδεται ένας $m \times n$ πίνακας $A$. Μπορούμε να αλλάξουμε τα πρόσημα όλων των στοιχείων του $A$ που ανήκουν στην ίδια γραμμμή. Επίσης μπορούμε να αλλάξουμε τα πρόσημα όλων των στοιχείων του $A$ που ανήκουν στην ίδια στήλη. (Με άλλα λόγια μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε επί -1 όποια γραμμμή ή στήλη του $A$ θέλουμε.) Δείξτε ότι με αυτές τις πράξεις στη διάθεσή μας μπορούμε να φέρουμε τον $A$ σε μια κατάσταση όπου το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής και κάθε στήλης είναι $\ge 0$.
2. Περιττό πλήθος στρατιωτών στο επίπεδο βρίσκονται όλοι σε διαφορετικές αποστάσεις μεταξύ τους. Ο καθένας τους έχει εντολή να κοιτάει τον πλησιέστερο στρατιώτη σε αυτόν. Δείξτε ότι υπάρχει κάποιος στρατιώτης που δεν τον κοιτάει κανείς.
3. Σε ένα τελωνείο φτάνει ένα έγγραφο που ζητά να γίνονται τυχαίοι έλεγχοι στα εισερχόμενα για τυχόν απαγορευμένα εμπορεύματα. Για λόγους νομικούς η διοίκηση ζητά να κρατούνται για έλεγχο κάθε μέρα «100 αντικείμενα επιλεγμένα απολύτως τυχαία από τα αντικείμενα της ημέρας«. Ο διευθυντής του τελωνείου είναι πολύ προβληματισμένος αφού δεν ξέρει πώς να επιλέξει αυτά τα 100 αντικείμενα τυχαία χωρίς να περιμένει να μπουν μέσα όλα τα εμπορεύματα της ημέρας. Αν ήξερε στην αρχή της ημέρας πόσα αντικείμενα θα μπουν θα μπορούσε να κάνει την τυχαία επιλογή του το πρωί, και να ξέρει ποια αντικείμενα θα πρέπει να κρατήσει για έλεγχο και ποια να διεκπεραιώσει αμέσως.

   Όμως δεν ξέρει. Κατά τη διάρκεια της ημέρας φθάνουν αντικείμενα για επεξεργασία στην υπηρεσία του απροειδοποίητα και δεν έχει χώρο να κρατήσει πάνω από 100 αντικείμενα στην αποθήκη του. Τι θα πρέπει να κάνει;

   Δείτε και εδώ.

Δόθηκαν 4 καραμέλες.

Πέ, 26 Οκτ. 2023

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τα παρακάτω προβλήματα.

1. Ο αποτελεσματικός ηλεκτρολόγος
2. Ευθύγραμμες συνδέσεις ανάμεσα σε πράσινα και κόκκινα σημεία
3. Το τραπέζι του μπιλιάρδου
4. Αποδείξαμε ότι υπάρχουν οσοδήποτε μεγάλα διαστήματα χωρίς πρώτους αριθμούς
5. Είδαμε ότι άν έχουμε ένα πείραμα που παράγει τυχαία $k$ αριθμούς από $n$ τότε αν κάθε $k$-άδα είναι ισοπίθανη έπεται ότι κάθε αριθμός έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί. Είδαμε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει: μπορεί όλοι οι αριθμοί να επιλέγονται με ίση πιθανότητα αλλά να μην είναι όλες οι $k$-άδες ισοπίθανες.

Δόθηκαν 9 καραμέλες.

Τρ, 31 Οκτ. 2023

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τα παρακάτω προβλήματα.

1. Τα σημεία του επιπέδου είναι όλα βαμμένα με τρία χρώματα, πράσινο, κόκκινο ή μπλέ. Δείξτε ότι, όποιος και να είναι αυτός ο χρωματισμός, υπάρχουν δύο σημεία σε απόσταση 1 μεταξύ τους που έχουν το ίδιο χρώμα.
2. Δεν υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο στο επίπεδο οι κορυφές του οποίου να έχουν ακέραιες συντεταγμένες.
3. Λύσαμε διάφορα προβλήματα κατασκευής μιας ακολουθίας συναρτήσεων που να έχει διάφορες φαινομενικά αντιφατικές ιδιότητες.
   • Να κατασκευαστεί μια ακολουθία συναρτήσεων $f_n:(0,1) \to {\mathbb{R}}^+$ τέτοια ώστε (α) για κάθε $x \in (0,1)$ να ισχύει $\lim_n f_n(x) = 0$ και (β) να ισχύει $\lim_n \int_0^1 f_n(x) dx = \infty$.
   • Να κατασκευαστεί μια ακολουθία συναρτήσεων $f_n:(0,1) \to {\mathbb{R}}^+$ τέτοια ώστε για κάθε $x \in (0,1)$ να ισχύει $\liminf_n f_n(x) = 0$ και $\limsup_n f_n(x)=1$.
   • Όπως το προηγούμενο αλλά με την επιπλέον προϋπόθεση $\lim_n \int_0^1 f_n(x) dx = 0$.

Δόθηκαν 7 καραμέλες.

Τρ, 14 Νοε. 2023

Σήμερα λύσαμε τα πρώτα 12 προβλήματα από το φυλλάδιο ασκήσεων.

Δόθηκαν 11 καραμέλες.

Πέ, 16 Νοε. 2023

Σήμερα λύσαμε τα προβλήματα 13-17 από το φυλλάδιο ασκήσεων. Επίσης

1. Δείξαμε ότι αν $x>0$ τότε υπάρχει υπακολουθία των φυσικών αριθμών $$ 1 \le n_1 \lt n_2 \lt \cdots $$ τέτοια ώστε $x = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n_k}$. Το ίδιο μπορούμε να κάνουμε αν στη θέση της ακολουθίας $1/n$ έχουμε οποιαδήποτε ακολουθία $c_n \gt 0$ με $c_n \to 0$ και $\sum_n c_n = +\infty$.
2. Αν $a_n \to a$ και $\mu_n = \frac{a_1+\cdots+a_n}{n}$ είναι η ακολουθία των μέσων όρων της $a_n$ τότε $\mu_n \to a$. Δεν ισχύει το αντίστροφο: η $\mu_n$ μπορεί να συγκλίνει χωρίς η $a_n$ να συγκλίνει.
3. Αν $c_n \to +\infty$ βρήκαμε $a_n \ge 0$ τέτοια ώστε να ισχύει $$ \sum_n a_n \lt \infty \text{ αλλά } \sum_n c_n a_n = +\infty. $$
4. Αν $K \subseteq [0, 1]$ κλειστό σύνολο δείξαμε πώς να βρούμε μια ακολουθία $a_n$ που να έχει ως σημεία συσσώρευσης ακριβώς τα στοιχεία του $K$.

Δόθηκαν 8 καραμέλες.

Τρ, 21 Νοε. 2023

Σήμερα λύσαμε τα προβλήματα 18-21 από το φυλλάδιο ασκήσεων. Επίσης αρχίσαμε, αλλά δεν τελειώσαμε, το παρακάτω πρόβλημα:

You and a fellow prisoner are imprisoned in a dungeon and are facing execution. As is usual in these problems, the prison warden has both a love of recreational mathematics and an unusual amount of judicial latitude when it comes to deciding your fate. They want to give you and your cellmate a chance of freedom but don’t want to make it too easy for you.

They have a chessboard where each square is covered by a coin — either heads or tails. Moreover it’s a special chess board with a hidden compartment in each square. A single one of these squares contains a symbolic key to the jail and freedom for you and your cell companion. You will know which square contains the key and your fellow prisoner has to guess.

The rules are as follows: (1) You and your cellmate can discuss how to encode a message using the chessboard but the prison warden can hear and understand everything that you say. (2) Once you have decided on a system, your companion leaves the room. (3) You observe the prison warden hiding the key in one square and then arranging the 64 coins as heads or tails however they deem fit — presumably trying to frustrate your system. (4) You then turn over exactly one coin on the chess board and leave the room. (5) Your companion re-enters the room, without having any opportunity to see or communicate with you. He observes the chessboard and the arrangement of coins and points to the square where he believes the key and freedom reside. (6) Nothing sneaky is allowed on pain of immediate death i.e. This is a pure logic problem- there is no meta game. Paper and Pencil, calculator and plenty of time are available to you and your cellmate if necessary.

Δόθηκαν 5 καραμέλες.

Πέ, 23 Νοε. 2023

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

1. Τελειώσαμε το πρόβλημα με τους φυλακισμένους που είχαμε ξεκινήσει την προηγούμενη φορά.
2. Πρόβλημα 23 του φυλλαδίου και παραλλαγές.
3. Κινούμενα κενά.

Δόθηκαν 6 καραμέλες.

Τρ, 28 Νοε. 2023

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

1. Προβλήματα 24, 26 του φυλλαδίου.
2. Ανασχηματισμός και οικονομία.
3. Υπουργικό συμβούλιο

Δόθηκαν 3 καραμέλες.

Πέ, 30 Νοε. 2023

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

1. Έστω $k$ ένας φυσικός αριθμός και μια λογική έκφραση $$ C_1 \wedge \cdots \wedge C_n $$ όπου κάθε ένα από τα $C_i$, $i=1,\ldots,n$, είναι της μορφής $$ y_1 \vee \cdots \vee y_k $$ όπου κάθε $y_j$ είναι είτε $x_\nu$ είτε $\overline{x_\nu}$. Τα $x_\nu$, $\nu=1,2,\ldots$, είναι λογικές μεταβλητές, είναι δηλ.\ είτε αληθείς είτε ψευδείς. Παράδειγμα μιας τέτοιας έκφρασης με $k=3$ είναι η $$ (x_1 \vee \overline{x_2} \vee x_3) \wedge (\overline{x_1} \vee x_3 \vee x_4). $$ Αν $n\lt 2^k$ δείξτε ότι η λογική έκφραση είναι ικανοποιήσιμη, μπορούμε δηλ.\ να αναθέσουμε τιμές (αληθής ή ψευδής) σε κάθε μια από τις λογικές μεταβλητές $x_\nu$ ώστε κάθε ένα από τα $C_j$ να είναι αληθές.
2. Ένας τρόπος να περιγράψει κανείς ένα σύνολο σημείων $A \subseteq {\mathbb R}^n$ είναι μέσω κάποιων πολυωνυμικών εξισώσεων που το ορίζουν: $$ A = \{x \in {\mathbb R}^n: f_i(x) = 0, \forall i=1,2,\ldots,k\} $$ όπου τα $f_i(x)$ είναι κάποια πολυώνυμα ως προς τις μεταβλητές $x=(x_1,\ldots,x_n)$. Για παράδειγμα το παρακάτω πολυωνυμικό σύστημα στο ${\mathbb R}^3$ περιγράφει κάποιο κύκλο στο χώρο: $$ x^2+y^2+z^2-1 = 0,\ x+y+z = 0. $$ Φυσικά δεν περιγράφονται όλα τα σύνολα με αυτό τον τρόπο. Δείξτε ότι αν τα σύνολα $A, B \subseteq {\mathbb R}^n$ περιγράφονται με αυτό τον τρόπο (είναι δηλ.\ το καθένα από αυτά το σύνολο λύσεων κάποιου συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων) τότε και η ένωση $A \cup B$ περιγράφεται κατ' αυτό τον τρόπο. (Είναι πολύ ευκολότερο να δείτε ότι η τομή $A \cap B$ περιγράφεται από κάποιο πολυωνυμικό σύστημα.)
3. Ας είναι $\alpha \in \RR\setminus\QQ$ ένας άρρητος πραγματικός και $A=\Set{n\alpha: n\in\ZZ}$ το σύνολο όλων των ακεραίων πολλαπλασίων του. Συμβολίζουμε με $\Set{x} = x-\Floor{x}$ το κλασματικό μέρος του πραγματικού $x$. Δείξτε ότι το σύνολο $$ \Set{\Set{x}: x\in A} $$ είναι πυκνό στο $[0,1]$.
4. Δείξτε ότι ανάμεσα σε κάθε δυο θετικούς πραγματικούς υπάρχει ένας αριθμός τής μορφής $2^n\cdot3^m$, όπου $n,m\in\mathbb Z$.

Πα, 1 Δεκ. 2023

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

1. Βρήκαμε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $[0, 1]$ που η παράγωγός της δεν είναι συνεχής στο 0.
2. Δείξαμε ότι κάθε πολυώνυμο $p(x)$ που παίρνει ακέραιες τιμές για κάθε ακέραιο $x$ γράφεται ως ακέραιος γραμμικός συνδυασμός των πολυωνύμων ${x\choose k} = \frac{(x(x-1)\cdots(x-k+1)}{k!}$ ($k=0, 1, 2, \ldots$). (Τέτοια πολυώνυμα τα ονομάζουμε ακεραιότιμα (integer-valued).)
3. Λέμε ότι το σύνολο $A$ εμφυτεύται στο σύνολο $B$ αν υπάρχει 1-1 συνάρτηση $A \to B$. Δείξαμε ότι αν το σύνολο $A$ εμφυτεύεται στο σύνολο $B$ και το $B$ υμφυτεύεται στο $A$ τότε υπάρχει 1-1 και επί συνάρτηση $A \to B$.
4. Δείξαμε ότι αν ο ανοιχτός μοναδιαίος δίσκος γράφεται ως ένωση μιας ακολουθίας κλειστών δίσκων τότε το άθροισμα των ακτίνων αυτών είναι $+\infty$ (αλλά το άθροισμα των εμβαδών αυτών μπορεί να είναι πεπερασμένο).

Δόθηκαν 2 καραμέλες.

Τρ, 5 Δεκ. 2023

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

1. Δείξαμε ότι $\RR$ και $\RR^2$ είναι ισοπληθικά σύνολα.
2. Δείξαμε ότι $\RR$ και το σύνολο όλων των πραγματικών ακολουθιών είναι ισοπληθικά σύνολα.
3. Δείξαμε ότι $\RR$ και το σύνολο όλων των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων πάνω στο $\RR$ είναι ισοπληθικά σύνολα.
4. Είδαμε ότι υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια υποσυνόλων των φυσικών αριθμών τέτοια ώστε η τομή κάθε δύο από αυτά να είναι πεπερασμένη.
5. Δείξαμε ότι για κάθε σύνολο $X$ το δυναμοσύνολό του έχει αυστηρά μεγαλύτερο πληθάριθμο από το $X$.

Δόθηκαν 2 καραμέλες.

Πέ, 7 Δεκ. 2023

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

1. Διατυπώσαμε και αποδείξαμε το Θεώρημα του Γάμου (Θεώρημα του Hall) (δείτε π.χ. εδώ και εδώ).
2. Είδαμε ότι ένα $r$-κανονικό διμερές γράφημα έχει πάντα ένα πλήρες ταίριασμα (εφαρμογή του Θεωρήματος του Γάμου).
3. Είδαμε ποιο είναι το συμπέρασμα αν χαλαρώσουμε τη συνθήκη του Hall από $\Abs{N(A)} \ge \Abs{A}$ σε $\Abs{N(A)} \ge \Abs{A}-1$ για κάθε $A \subseteq X$.
4. Εφαρμόσαμε το Θεώρημα του Γάμου στο πρόβλημα "Τραπουλόχαρτα σε σωρούς".

Δόθηκαν 2 καραμέλες.

Πα, 8 Δεκ. 2023

Ασχοληθήκαμε σήμερα με την έννοια της συμπάγειας υπό την εξής μορφή: υποθέσαμε γνωστό το θεώρημα των 4 χρωμάτων για πεπερασμένους επίπεδους χάρτες (κάθε χάρτης στο επίπεδο που απεικονίζει ένα πεπερασμένο αριθμό από χώρες μπορεί να χρωματιστεί με 4 χρώματα ώστε χώρες που έχουν κοινό σύνορο να έχουν διαφορετικά χρώματα) και αποδείξαμε το ίδιο θεώρημα για άπειρους χάρτες.

Ασχοληθήκαμε επίσης με πιθανοθεωρητικές μεθόδους επαλήθευσης ισότητας. Δείτε (α) τον έλεγχο ισότητας πολυωνύμων και (β) τον έλεγχο γινομένου πινάκων από εδώ.

Τρ, 12 Δεκ. 2023

Λύσαμε τα παρακάτω προβλήματα:

1. Βρείτε ακολουθία $f_n:[0, 1]\to\RR$, παραγωγίσιμες, με $f_n \to f$ ομοιόμορφα και $f$ όχι παραγωγίσιμη σε όλο το $[0, 1]$.
2. Βρείτε ακολουθία $f_n:[0, 1]\to\RR$, παραγωγίσιμες, με $f_n \to f$ ομοιόμορφα και $f$ παραγωγίσιμη σε όλο το $[0, 1]$ αλλά χωρίς $f_n \to f$.
3. Βρείτε ακολουθία $f_n:[0, 1]\to\RR$, Riemann ολοκληρώσιμες, $f_n \to f$ κατά σημείο και $f$ όχι Riemann ολοκληρώσιμη. Δείξαμε ότι αυτό δε γίνεται αν $f_n \to f$ ομοιόμορφα.
4. Αν $f_n:[0, 1] \to \RR$ τ.ώ. $f_n'$ συνεχής, $f_n' \to \phi$ ομοιόμορφα τότε η ακολουθία $f_n$ συγκλίνει, επίσης ομοιόμορφα. Δείξαμε ότι αυτό δεν ισχύει αν το $[0, 1]$ αντικατασταθεί με το $[0, +\infty)$.
5. Αν $f_n \to f$ ομοιόμοφα στο $A$, $x, x_n \in A$ με $x_n \to x$ τότε $f_n(x_n) \to f(x)$. Δείξαμε ότι η προϋπόθεση της ομοιόμορφης σύγκλισης είναι απαραίτητη.

Δόθηκε 1 καραμέλα.

Πέ, 14 Δεκ. 2023

Δείξαμε πώς κατασκευάζουμε μια καμπύλη του Peano, μια συνεχή συνάρτηση δηλ. $f:[0, 1] \to [0, 1]^2$ η οποία είναι επί.

Τρ, 19 Δεκ. 2023

Δεν έγινε μάθημα σήμερα.