ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÊÑÇÔÇÒ - ÔÌÇÌÁ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÙÍ

ÔåëéêÞ ÅîÝôáóç ãéá ôï ìÜèçìá È. ÐéèáíïôÞôùí

ÄéäÜóêùí: Ìé÷Üëçò ÊïëïõíôæÜêçò

1. Ñß÷íïõìå Ýíá óõíçèéóìÝíï æÜñé 100 öïñÝò êáé áèñïßæïõìå ôá áðïôåëÝóìáôá. Êáôüðéí ôåôñáãùíßæïõìå ôï Üèñïéóìá. Ðïéá ç ìÝóç ôéìÞ áõôÞò ôçò ðïóüôçôáò;

2. Äåßîôå ìå óõíäõáóôéêü åðé÷åßñçìá (÷ùñßò ðñÜîåéò) üôé ãéá êÜèå $n=1,2,\ldots$, êáé $k=0,1,\ldots,n$ éó÷ýåé

$${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}.$$

3. Ïé ÔÌ $X$ êáé $Y$ åßíáé áíåîÜñôçôåò êáé ìå êáôáíïìÞ Poisson êáé ðáñÜìåôñï $\lambda$. Íá âñåèåß ç ðõêíüôçôá ðéèáíüôçôáò ôçò $Z = X+Y$.

4. Ïé ÔÌ $X$ êáé $Y$ åßíáé áíåîÜñôçôåò êáé ìå ôõðéêÞ êáíïíéêÞ êáôáíïìÞ. Íá âñåèåß ç ìÝóç áðüóôáóç ôïõ óçìåßïõ $(X,Y)$ áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí.

5. Ç êïéíÞ ðõêíüôçôá ðéèáíüôçôáò ôïõ æåýãïõò $X, Y$ åßíáé ç $f(x,y) = Cx^{-2}y^{-2}$, üôáí $x, y \ge 2$ áëëéþò åßíáé 0. Ðïéá ç ôéìÞ ôçò óôáèåñÜò $C$;Ðïéá ç ðõêíüôçôá ðéèáíüôçôáò ôçò $X$;

6. Ôï óçìåßï $(X,Y)$ åßíáé ïìïéüìïñöá êáôáíåìçìÝíï óôï ìïíáäéáßï äßóêï $D$ ìå êÝíôñï ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí. Ðïéá ç ìÝóç áðüóôáóç áõôïý áðü ôï $(0,0)$;

7. ÌÝóá óå Ýíá êïõôß âñßóêïíôáé $N$ âþëïé ðïõ öÝñïõí ôá âÜñç $1,2,\ldots,N$. ÔñáâÜìå äýï áðü áõôïýò óôçí ôý÷ç (÷ùñßò åðáíÜèåóç) ìå âÜñç $X$ ï ðñþôïò êáé $Y$ ï äåýôåñïò. Ðïéá ç ðéèáíüôçôá ${{\bf {Pr}}\left[{X = i, Y=j}\right]}$; Ðïéá ç ìÝóç ôéìÞ ${\bf E}\left[XY\right]$;

8. ¸÷ïõìå $N$ áíôéêåßìåíá ìå ïíüìáôá $1,2,\ldots,N$ ôïðïèåôçìÝíá óôéò èÝóåéò $1,2,\ldots,N$. ÁõôÜ áíáäéáôÜóóïíôáé ôõ÷áßá. ¸óôù $X$ ôï ðëÞèïò áõôþí ðïõ ðáñáìÝíïõí óôç èÝóç ôïõò ìåôÜ ôçí áíáäéÜôáîç. Ðïéá ç ìÝóç ôéìÞ ôïõ $X$; Äåßîôå üôé, ãéá $n=1,2,\ldots$, Ý÷ïõìå ${{\bf {Pr}}\left[{X \ge n}\right]} \le {1 \over n}.$

Ç äéÜñêåéá ôçò åîÝôáóçò åßíáé 3 þñåò. ¼ëåò ïé óçìåéþóåéò ðñÝðåé íá åßíáé êëåéóôÝò. ÊáëÞ åðéôõ÷ßá. ÇñÜêëåéï, 31 Éáí. 2002