7. Κοινή κατανομή δύο ή περισσοτέρων ΤΜ

Συγκεντρωμένες μερικές βασικές ιδιότητες της δεσμευμένης μέσης τιμής βρίσκονται παρακάτω. Οι αποδείξεις δε συμπεριλαμβάνονται παρά μόνο η διαισθητική (και πολύ σημαντική) αιτιολόγηση των κανόνων αυτών. Επίσης έχουν παραλειφθεί οι διάφορες υποθέσεις ύπαρξης μέσων τιμών. Μπορείτε π.χ. να περιοριστείτε σε ΤΜ που παίρνουν πεπερασμένες το πλήθος τιμές μόνο, στην οποία περίπτωση όλες οι απαιτούμενες μέσες τιμές υπάρχουν αφού δεν τίθεται θέμα συγκλισης κάποιας σειράς.

1. Η ποσότητα $\Mean{X | Y}$ δεν είναι εν γένει σταθερά αλλά μια ΤΜ που επίσης είναι συνάρτηση της ΤΜ $Y$ $$ \Mean{X | Y} = \phi(Y), $$ όπου $\phi(a) = \Mean{X | Y=a}$ (η τελευταία μέση τιμή είναι η μέση τιμή της $X$ υπό τη δέσμευση $Y=a$).
2. Η ΤΜ $\Mean{X | Y}$ είναι σταθερή μέσα σε κάθε ενδεχόμενο της μορφής $Y=a$.
3. Σκεφτόμαστε την ποσότητα $\Mean{X | Y}$ ως τη μέση τιμή της $X$ αν γνωρίζουμε την $Y$. Αυτός είναι και συνήθως ο τρόπος με τον οποίο την υπολογίζουμε.
4. Η πολύ σημαντκή γραμμικότητα της μέσης τιμής ισχύει και για τη δεσμευμένη μέση τιμή $$ \Mean{\lambda X+\mu Y | Z} = \lambda \Mean{X|Z} + \mu \Mean{Y | Z}, $$ όπου $X, Y, Z$ είναι ΤΜ και $\lambda, \mu$ αριθμοί. Ομοίως εξακολουθεί να ισχύει και η μονοτονία: αν $X\le Y$ πάντα τότε επίσης ισχύει πάντα: $$ \Mean{X | Z} \le \Mean{Y | Z}. $$
5. Για κάθε ΤΜ $X$ ισχύει $$ \Mean{X | X} = X. $$ Με απλά λόγια, αν κάποιος μας έχει πληροφορήσει για το ποια είναι η τιμή της ΤΜ $X$, έστω $a$, και μας ρωτήσουν, υπό αυτές τις συνθήκες, ποια είναι η μέση τιμή της $X$, τότε φυσικά η απάντηση είναι $a$.
6. Αν $X, Y$ είναι ανεξάρτητες τότε $$ \Mean{X | Y} = \Mean{X}. $$ Δηλ. αν γνώση της $Y$ δεν επηρεάζει καθόλου την κατανομή της $X$ (αυτό σημαίνει ανεξαρτησία) τότε η γνώση της $Y$ δεν επηρεάζει και τη μέση τιμή της $X$.
7. Αν η ΤΜ $Z$ είναι συνάρτηση της ΤΜ $Y$, $Z = f(Y)$, τότε $$ \Mean{Z X | Y} = Z \Mean{X | Y}. $$ Αυτό γιατί αν κάποιος μας πληροφορήσει για την τιμή της $Y$ τότε μας έχει αυτόματα πει ποια είναι η τιμή της $Z$, οπότε η $Z$ αντιμετωπίζεται πλέον ως σταθερά, και άρα βγαίνει έξω από τη μέση τιμή. Συνέπεια αυτού είναι και το: $$ \Mean{ \Mean{X | Y} | Y} = \Mean{X | Y}. $$
8. Αν $X, Y$ ΤΜ τότε ισχύει $$ \Mean{ \Mean{X | Y} } = \Mean{X}. $$ Γι' αυτόν τον τελευταίο κανόνα δε γνωρίζω κάποια διαισθητικά φανερή αιτιολόγηση. Η απόδειξη πάντως δεν είναι δύσκολη και φαίνεται στο επόμενο video.

Η δεσμευμένη διασπορά της $X$ ως προς $Y$, κατ' αναλογία με την περίπτωση όπου δεν υπάρχει δέσμευση, ορίζεται ως $$ \sigma^2(X | Y) = \Mean{ (X-\Mean{X|Y})^2 | Y}. $$ Παριστάνει το ποια είναι η διασπορά της $X$ αν γνωρίζουμε την τιμή που έχει η $Y$, και είναι μια ΤΜ που είναι συνάρτηση της $Y$.

Ισχύει ο τύπος ολικής διασποράς: $$ \sigma^2(X) = \sigma^2(\Mean{X | Y}) + \Mean{ \sigma^2(X|Y) }. $$