6. Διασπορά και ανισότητες απόκλισης

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ρίχνουμε ένα συμμετρικό ζάρι και έστω $X$ το αποτέλεσμα που φέρνουμε.

   Ποια η διασπορά του $X$;
   E1:        

   Ποια η τυπική απόκλιση του $X$;
   E2:        

2. Ρίχνουμε ένα νόμισμα που φέρνει κορώνα με πιθανότητα $p$. Η ΤΜ $X$ ορίζεται να ισούται με 1 αν το νόμισμα φέρει κορώνα και 0 αλλιώς.

   Ποια η διασπορά της $X$ αν $p=0.2$;
   E3:        

   Για ποια τιμή του $p$ μεγιστοποείται η διασπορά του $X$;
   E4:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ρίχνουμε ένα συμμετρικό ζάρι $Ν$ φορές και έστω $X$ το άθροισμα των αποτελεσμάτων που φέρνουμε.

   Ποια η μέση τιμή του $X$ αν $N=10$;
   E5:        

   Ποια η τυπική απόκλιση του $X$ αν $N=10$;
   E6:        

   Ποια η μέση τιμή του $X$ αν $N=100$;
   E7:        

   Ποια η τυπική απόκλιση του $X$ αν $N=100$;
   E8:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ένα νόμισμα φέρνει κορώνα με πιθανότητα $p=0.2$. Ρίχνουμε συνεχώς το νόμισμα μέχρι να φέρουμε συνολικά δύο κορώνες. Έστω $X$ ο αριθμός των φορών που το ρίχνουμε.

   Κατά μέσο όρο πόσες φορές το ρίχνουμε; (Ποια είναι δηλ. η $\Mean{X}$;)
   E9:        

   Ποια η τυπική απόκλιση της $X$;
   E10:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Η ΤΜ $Y$ παίρνει μόνο ακέραιες μη αρνητικές και άρτιες τιμές και ισχύει $$\Ds\Prob{Y=k} = \frac{C\cdot 8^k}{(k/2)!},$$ αν $k\ge 0$ και άρτιο, για κατάλληλη σταθερά $C>0$.

   Ποια η μέση τιμή της $Y$;
   E11:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Οι ΤΜ $X_1, X_2, \ldots, X_{21}$ είναι ανεξάρτητες και παίρνουν η κάθε μία τις τιμές $\pm 1$ με πιθανότητα 1/2.

   Ορίζουμε την ΤΜ $Y=\sum_{j=1}^{21} j\cdot X_j$.

   Ποια η διασπορά της;
   E12:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Οι ΤΜ $X_1, X_2, \ldots, X_{126}$ είναι ανεξάρτητες και ισόνομες. Η $X_1$ παίρνει τη τιμή -1 με πιθανότητα 3/5 και τις τιμές 1 και 2 με πιθανότητα 1/5 την κάθε μία.

   Ορίζουμε $Y=X_1+X_2+\cdots+X_{126}$.

   Ποια η μέση τιμή της $Y^3$;
   E13:        

2. Στο ανάπτυγμα του $(x_1+x_2+\cdots+ x_{40})^4$ πόσα μονώνυμα υπάρχουν της μορφής $x_i^2 x_j^2$ (με $i \neq j$);

   Δηλαδή αν προσθέσουμε τους συντελεστές όλων αυτών των μονονύμων ποιο είναι το άθροισμα;

   Π.χ. στο ανάπτυγμα του $(x_1+x_2+x_3)^4$ ο ζητούμενος αριθμός είναι 18.
   E14:        

3. Οι ΤΜ $X_1, X_2, \ldots, X_{28}$ είναι ανεξάρτητες και ισόνομες και η $X_1$ παίρνει την τιμή -1 με πιθανότητα 3/5 και τις τιμές 1 και 2 με πιθανότητα 1/5 την κάθε μία.

   Ορίζουμε $Y = X_1+X_2+\cdots+X_{28}$.

   Ποια η μέση τιμή της $Y^4$;
   E15:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Σε μια υπηρεσία ο μέσος χρόνος αναμονής είναι 12 λεπτά. Έστω $p$ η πιθανότητα να χρειαστεί να περιμένουμε τουλάχιστον 26 λεπτά.

   Ποιο είναι το καλύτερο άνω φράγμα που μπορείτε να δώσετε για την πιθανότητα με αυτή την πληροφορία;
   E16:        

2. Ας είναι $X$ μια ΤΜ και έστω $Y=e^X$, που είναι μια μη αρνητική ΤΜ. Αν γνωρίζετε ότι $\Mean{Y}=2$ τότε, με βάση την ανισότητα του Markov, δώστε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα $$\Prob{X\ge 5}.$$
   E17:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Σε μια υπηρεσία ο μέσος χρόνος αναμονής είναι 23 λεπτά με τυπική απόκλιση 3 λεπτά. Ας είναι $p$ η πιθανότητα ο χρόνος εξυπηρέτησης μας να διαφέρει από το μέσο χρόνο κατά τουλάχιστον 11 λεπτά.

   Ποιο είναι το ελάχιστο άνω φράγμα που μπορείτε να δώσετε για την πιθανότητα $p$ με αυτή την πληροφορία μόνο;
   E18:        

2. Μια μη αρνητική ΤΜ $X$ ικανοποιεί τη σχέση $$\Mean{e^X} = 16.$$

   Αν $p$ η πιθανότητα η ΤΜ να είναι τουλάχιστον 8 τότε ποιο είναι το ελάχιστο άνω φράγμα που μπορείτε να δώσετε για την πιθανότητα $p$ με αυτή την πληροφορία;
   E19:        

3. Η ΤΜ $X$ έχει μέση τιμή 0 και ισχύει $$\Prob{-14 \le X \le 14} \le 0.66.$$

   Ποιο είναι το μέγιστο κάτω φράγμα που μπορείτε να δώσετε για την τυπική απόκλιση της $X$ με αυτή την πληροφορία;
   E20: