5.37 Πυκνότητα πιθανότητας αθροίσματος ανεξαρτήτων ΤΜ - Τρ, 27/11/2001

Κατ' αναλογία με τη διακριτή περίπτωση ορίσαμε τη συνέλιξη δύο συναρτήσεων $f,g:{\mathbf R}\to{\mathbf R}$, που πληρούν

$$\int_{-\infty}^\infty{\left\vert{f(x)}\right\vert} dx,\ \int_{-\infty}^\infty{\left\vert{g(x)}\right\vert} dx < \infty,$$

ως τη συνάρτηση $f*g:{\mathbf R}\to{\mathbf R}$ που ορίζεται από

$$f*g(x) = \int_{-\infty}^\infty f(t) g(x-t) dt.$$

Είδαμε διάφορες ιδιότητες της συνέλιξης, όλες τους ανάλογες αυτών της διακριτής περίπτωσης, και δείξαμε τέλος ότι αν $X$ και $Y$ είναι δύο ανεξάρτητες ΤΜ με πυκνότητες τότε η πυκνότητα της $X+Y$ δίδεται από τον τύπο

$$f_{X+Y}(x) = (f_X*f_Y)(x).$$

Υπολογίσαμε διάφορα παραδείγματα από το βιβλίο.