5.19 Ροπές ΤΜ ανώτερης τάξης, διασπορά, ανισότητα Chebyshev - Πέ, 25/10/01

Αναφερθήκαμε στην ύπαρξη ροπών ανώτερης τάξης. Λέμε ότι μια ΤΜ $X$ έχει ροπή τάξης $r \in {\mathbf N}$ αν

$${{\bf E}\left[{{\left\vert{X}\right\vert}^r}\right]} = \sum_{n\in{\mathbf Z}} {\left\vert{n}\right\vert}^r f_X(n) < \infty.$$

Τότε έπεται ότι έχει και ροπές κάθε μικρότερης τάξης. Η κεντρική ροπή τάξης $r$ ορίζεται ως η μέση τιμή

$${{\bf E}\left[{(X-{{\bf E}\left[{X}\right]})^r}\right]},$$

και υπάρχει όταν υπάρχει ροπή τάξης $r$ (βλέπε παραπάνω).

Η σημαντικότερη περίπτωση είναι η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης, η διασπορά της $X$:

$${{\bf Var}\left[{X}\right]} = {{\bf E}\left[{(X-{{\bf E}\left[{X}\right]})^2}\right]}.$$

Είδαμε διάφορες ιδιότητες αυτής της ποσότητας, η πιο σημαντική από τις οποίες είναι ότι αν $X$ και $Y$ ανεξάρτητες και έχουν ροπή δεύτερης τάξης τότε

$${{\bf Var}\left[{X+Y}\right]} = {{\bf Var}\left[{X}\right]} + {{\bf Var}\left[{Y}\right]}.$$

Η διασπορά (ακριβέστερα, η τετραγωνική της ρίζα $\sigma(X) = \sqrt{{{\bf Var}\left[{X}\right]}}$ που ονομάζεται τυπική απόκλιση) αποτελεί ένα μέτρο του πόσο συγκεντρωμένη είναι η πυκνότητα πιθανότητας της $X$ γύρω από τη μέση τιμή της. Για παράδειγμα, το να έχουμε διασπορά 0 ισοδυναμεί με το να είναι η ΤΜ σταθερή.

Είδαμε επίσης τρείς πολύ σημαντικές ανισότητες:

1. Ανισότητα Cauchy-Schwartz:
   
   $${{\bf E}\left[{XY}\right]} \le \sqrt{{{\bf E}\left[{X}\right]}{{\bf E}\left[{Y}\right]}}.$$
   
   

2. Ανισότητα Markov: Αν $X\ge0$
   
   $${{\bf {Pr}}\left[{X \ge \lambda{{\bf E}\left[{X}\right]}}\right]} \le {1\over \lambda}.$$
   
   

3. Ανισότητα Chebyshev:
   
   $${{\bf {Pr}}\left[{{\left\vert{X-{{\bf E}\left[{X}\right]}}\right\vert} \ge \lambda\sigma(X)}\right]} \le {1\over \lambda^2}.$$
   
   

Οι ανισότητες Markov και Checbyshev έχουν μεγάλη σημασία γιατί δίνουν ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα μια ΤΜ να αποκλίνει από τη μέση τιμή της.

Τέλος ορίσαμε και τη συνδιακύμανση (covariance) δύο ΤΜ $X$ και $Y$

$${{\bf Cov}\left[{X,Y}\right]} = {{\bf E}\left[{(X-{{\bf E}\left[{X}\right]})\cdot(Y-{{\bf E}\left[{Y}\right]})}\right]}.$$

Όταν οι $X$ και $Y$ είναι ανεξάρτητες τότε (αλλά όχι μόνο τότε) έχουμε ${{\bf Cov}\left[{X,Y}\right]} = 0$. Όταν ισχύει αυτή η τελευταία ισότητα λέμε ότι οι $X$ και $Y$ είναι ασυσχέτιστες.