5.10 Παραδείγματα κατανομών, ιδιότητες μέσης τιμής, υπολογισμοί μερικών μέσων τιμών - Τρ, 9/10/01

Σήμερα είδαμε ξανά ορισμένα παραδείγματα τυχαίων μεταβλητών με πυκνότητες διωνυμική, Poisson, γεωμετρική. Για μερικές από αυτές υπολογίσαμε και τη μέση τιμή τους, μέσω του ορισμού.

Για τη μέση τιμή ${{\bf E}\left[{\phi(X)}\right]}$, όπου $X$ είναι μια ΤΜ, δείξαμε ότ μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο

$${{\bf E}\left[{\phi(X)}\right]} = \sum_{n\in{\mathbf Z}} \phi(n) f_X(n).$$

Δείξαμε επίσης την εξής βασική ιδιότητα για τον τελεστή ${{\bf E}\left[{\cdot}\right]}$:

$${{\bf E}\left[{c_1X_1+\cdots+c_nX_n}\right]} = c_1{{\bf E}\left[{X_1}\right]}+\cdot+c_n{{\bf E}\left[{X_n}\right]},$$

αρκεί να υπάρχουν όλες οι μέσες τιμές στο δεξί μέλος. Αυτή είναι μια φοβερά σημαντική ιδιότητα της μέσης τιμής και χρησιμοποιείται πάρα πολύ για να διευκολύνει υπολογισμούς.

Χρησιμοποιώντας την λύσαμε το εξής πρόβλημα: αν $n$ άτομα πετάζουν τα καπέλα τους στον αέρα, και αυτά πέσουν πάλι στα κεφάλια τους με ένα τυχαίο τρόπο, κατά μέσο όρο πόσα άτομα θα έχουν ξανά στο κεφάλι τους το καπέλο τους;