5.3 Πιθανότητα υπό συνθήκη (conditional probability) και ανεξαρτησία (independence) - Τε, 26/9/01

Είδαμε την έννοια της πιθανότητας υπό συνθήκη. Αν $A$ και $B$ είναι δύο ενδεχόμενα και ${{\bf {Pr}}\left[{B}\right]}>0$ γράφουμε

$${{\bf {Pr}}\left[{A { \vert }B}\right]} = {{{\bf {Pr}}\left[{A \cap B}\right]} \over {{\bf {Pr}}\left[{B}\right]}}.$$

Μια οικογένεια ενδεχομένων $\cal A$ λέγεται ανεξάρτητη αν για κάθε διαφορετικά ενδεχόμενα $A_1,\ldots,A_n \in {\cal A}$ έχουμε

$${{\bf {Pr}}\left[{A_1 \cap \cdots \cap A_n}\right]} = {{\bf ... ...t[{A_1}\right]}\cdot\ldots\cdot{{\bf {Pr}}\left[{A_n}\right]}.$$

Η έννοια της ανεξαρτησίας μιας οικογένειας ενδεχομένων κωδικοποιεί την περίπτωση όπου γνώση του αν συμβαίνουν ή όχι κάποια από αυτά δεν επηρεάζει καθόλου την πιθανότητα να ισχύει ένα άλλο ενδεχόμενο της οικογένειας αυτής.

Είδαμε επίσης ότι αν $A_1, \ldots, A_n$ είναι μια διαμέριση του δειγματικού χώρου $\Omega$ σε σύνολα $A_i$ που έχουν θετική πιθανότητα τότε ισχύει (κι είναι πολύ εύκολο να αποδειχθεί) για κάθε ενδεχόμενο $B$

$${{\bf {Pr}}\left[{B}\right]} = \sum_{i=1}^n {{\bf {Pr}}\left[{B { \vert }A_i}\right]} {{\bf {Pr}}\left[{A_i}\right]}.$$