Σε ένα μετρικό χώρο $X$ με μετρική $d(\cdot,\cdot)$ το σύνολο $A \subseteq X$ λέγεται ανοιχτό αν για κάθε $a \in A$ υπάρχει $r > 0$ τέτοιο ώστε η ανοιχτή μπάλα $B_r(a)$ να περιέχεται στο $A$: $$ \forall a \in A\ \exists r > 0\ \ B_r(a) \subseteq A. $$ Ένα σύνολο $B \subseteq X$ λέγεται κλειστό αν το συμπλήρωμά του $B^c = X \setminus B$ είναι ανοιχτό. Σε κάθε μετρικό χώρο $X$ τα σύνολα $\emptyset$ και $X$ είναι και ανοιχτά και κλειστά.

Λέμε ότι μια σειρά αριθμών $\sum_n a_n$ συγκλίνει απόλυτα αν συγκλίνει η σειρά $\sum_n \Abs{a_n}$, ή, με άλλα λόγια, αν $$\sum_n \Abs{a_n} \lt \infty.$$ Το βασικό θεώρημα που έχουμε εδώ είναι ότι αν μια σειρά συγκλίνει απόλυτα τότε συγκλίνει, υπάρχει δηλ. το όριο της ακολουθίας των μερικών αθροισμάτων της $s_N = \sum_{n \le N} a_n$. Το αντίστροφο δεν ισχύει αναγκαστικά όπως μπορούμε εύκολα να δούμε από τη συγκλίνουσα σειρά $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$$ που δε συγκλίνει απόλυτα.

Ένα σύνολο $A$ λέγεται αριθμήσιμο αν υπάρχει συνάρτηση $f:\NN\to A$ η οποία είναι επί. Με άλλα λόγια το $A$ είναι αριθμήσιμο αν\ όλα τα στοιχεία του είναι ανάμεσα στα $$f(1), f(2), f(3), \ldots,$$ ενδεχομένως με επαναλήψεις. Αν μπορούμε δηλ. να απαριθμήσουμε τα στοιχεία του $A$ τότε λέγεται αριθμήσιμο. Συνέπεια του ορισμού αυτού είναι ότι κάθε πεπερασμένο σύνολο είναι αριθμήσιμο. Άλλα αριθμήσιμα σύνολα είναι π.χ. τα $\NN, \ZZ, \QQ$. (Σε κάποια κείμενα ο όρος αριθμήσιμα εξαιρεί τα πεπερασμένα σύνολα.) Ένα σύνολο λέγεται υπεραριθμήσιμο αν δεν είναι αριθμήσιμο. Γνωστά υπεραριθμήσιμα σύνολα είναι π.χ. το $\RR$ ή το σύνολο όλων των ακολουθιών με στοιχεία από ένα οποιοδήποτε σύνολο $\Sigma$ με τουλάχιστον δύο στοιχεία: $$\Set{(a_n)_{n \in \NN}:\ a_n \in \Sigma,\ \forall n \in \NN}.$$

Αν $f, g$ είναι δύο πραγματικές ή μιγαδικές συναρτήσεις ορισμένες πάνω στο ίδιο σύνολο $A$ ορίζουμε $$\rho(f, g) = \rho_A(f, g) = \sup_{x \in A} \Abs{f(x)-g(x)}.$$ Διαισθητικά, $\rho(f, g)$ είναι το πόσο, το πολύ, μπορούν να διαφέρουν οι τιμές των $f$ και $g$ στο ίδιο σημείο, κατ' απόλυτο τιμή.

Εναλλακτικός συμβολισμός: $\Norm{f-g}_\infty$ ή $\Norm{f-g}_A$ ή $\Abs{f-g}_A$. Σε πολλά κείμενα χρησιμοποιείται ο συμβολισμός $\Abs{f}_A$ ή $\Norm{f}_A$ για την ποσότητα $\sup_{x \in A} \Abs{f(x)}$.

Σε ένα μετρικό χώρο $X$ με μετρική $d(\cdot,\cdot)$ η ανοιχτή μπάλα (ή ανοιχτός δίσκος) $B_r(x)$ (όπου $r \ge 0$) είναι το σύνολο όλων των σημείων του $X$ που απέχουν απόσταση $\lt r$ από το $x$: $$ B_r(x) = \Set{ y \in X:\ d(x,y) < r}. $$ Η κλειστή μπάλα (ή κλειστός δίσκος) $\overline{B}_r(x)$ είναι το σύνολο $$ \overline{B}_r(x) = \Set{y \in X:\ d(x, y) \le r}. $$

Παρατηρείστε ότι για $r=0$ η ανοιχτή μπάλα $B_r(x)$ είναι το κενό σύνολο ενώ η κλειστή μπάλα $\overline{B}_r(x)$ είναι το μονοσύνολο $\Set{x}$.

Σε κάποια κείμενα χρησιμοποείται ο συμβολισμός $D_r(x)$ για την ανοιχτή μπάλα και $\overline{D}_r(x)$ για την κλειστή μπάλα (ή δίσκο).

Αν $A \subseteq \RR$ τότε το $x \in \RR$ ονομάζεται οριακό σημείο του συνόλου $A$ αν κάθε περιοχή του $x$, κάθε διάστημα δηλ. της μορφής $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ για $\epsilon > 0$, περιέχει στοιχείο του $A$. Ένα οριακό σημείο ενός συνόλου $A$ δεν ανήκει απαραίτητα στο $A$. Το $+\infty$ ονομάζεται οριακό σημείο του $A$ αν κάθε περιοχή του, κάθε ημιευθεία δηλ. της μορφής $(M, +\infty),$ με $M \in \RR,$ περιέχει στοιχεία του $A$. Το $-\infty$ ονομάζεται οριακό σημείο του $A$ αν κάθε περιοχή του, κάθε ημιευθεία δηλ. της μορφής $(-\infty, M),$ με $M \in \RR,$ περιέχει στοιχεία του $A$.

Το σύνολο των οριακών σημείων του $A$ ονομάζεται κλειστότητα του $A$ και συμβολίζεται με $\overline{A}$. Είναι πάντα κλειστό σύνολο, και μάλιστα είναι το ελάχιστο κλειστό σύνολο που περιέχει το $A$. Με άλλα λόγια, αν $A \subseteq F$ και $F$ κλειστό τότε ισχύει και $\overline{A} \subseteq F$.

Το $x \in \RR\cup\Set{\pm\infty}$ λέγεται οριακό σημείο της ακολουθίας $a_n$ αν υπάρχει υπακολουθία της $a_n$ που συγκλίνει στο $x$. Παρατηρείστε ότι με τον ορισμό αυτό τα οριακά σημεία της $a_n$ δεν είναι ίδια με τα οριακά σημεία του συνόλου $\Set{a_1, a_2, \ldots}$. Π.χ. αν $a_n = 1$ για κάθε $n$ τότε το σύνολο $\Set{a_1, a_2, \ldots}$ είναι το μονοσύνολο $\Set{1}$ και δεν έχει οριακά σημεία, αλλά ο αριθμός 1 είναι οριακό σημείο της ακολουθίας $a_n$.

Αν $A \subseteq \RR$ τότε το $x \in \RR$ ονομάζεται σημείο συσσώρευσης του συνόλου $A$ αν για κάθε περιοχή του $x$, για κάθε διάστημα δηλ. της μορφής $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ με $\epsilon > 0$ υπάρχει στοιχείο του $A$ εκεί μέσα διαφορετικό από το $x$. Αν $x = +\infty$ τότε το $x$ λέγεται σημείο συσσώρευσης του $A$ αν για κάθε περιοχή του $x$, για κάθε ημιευθεία δηλ. της μορφής $(M, \infty),$ όπου $M \in \RR$, υπάρχει στοιχείο του $A$ εκεί μέσα. Ομοίως, αν $x = -\infty$ το $x$ λέγεται σημείο συσσώρευσης του $A$ αν για κάθε περιοχή του $x$, για κάθε ημιευθεία δηλ. της μορφής $(-\infty,M),$ όπου $M \in \RR$, υπάρχει στοιχείο του $A$ εκεί μέσα.

Σημείο συσσώρευσης μιας ακολουθίας $a_n$ είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου $\Set{a_1, a_2, \ldots}$.

Ένας εναλλακτικός τρόπος να ορίσουμε την έννοια είναι: το $x \in \RR\cup\Set{\pm\infty}$ είναι σημείο συσσώρευσης του $A \subseteq \RR$ αν υπάρχει ακολουθία διαφορετικών σημείων του $A$, που συγκλίνει στο $x$. Για ακολουθίες ο ορισμός αυτός γίνεται: το $x \in \RR\cup\Set{\pm\infty}$ είναι σημείο συσσώρευσης της ακολουθίας $a_n$ αν υπάρχει υπακολουθία της $a_n$, με όλους τους όρους της διαφορετικούς, που συγκλίνει στο $x$.

Αν $A \subseteq \RR$ (ή, γενικότερα, το $A$ είναι υποσύνολο ενός μετρικού χώρου $X$) τότε το $x \in \RR$ ονομάζεται συνοριακό σημείο του $A$ αν είναι οριακό σημείο και του $A$ αλλά και του συμπληρώματός του $A^c$. Το σύνολο των συνοριακών σημείων του $A$ ονομάζεται σύνορο του $A$ και συμβολίζεται με $\partial A$. Ένας εναλλακτικός τρόπος να ορίσουμε το σύνορο θα ήταν να γράψουμε $\partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c}$. Το σύνορο δηλ. του $A$ είναι η τομή της κλειστότητας του $Α$ (οριακά σημεία του $A$) και της κλειστότητας του $A^c$.

Ένα σύνολο $A \subseteq \RR$ λέγεται άνω φραγμένο αν περιέχεται σε ένα διάστημα της μορφής $(-\infty, M]$ για κάποιο $M \in \RR$, ή, με άλλα λόγια, αν υπάρχει $M \in \RR$ τέτοιο ώστε $\forall x \in A:\ x \le M$. Ομοίως ονομάζεται κάτω φραγμένο αν περιέχεται σε διάστημα της μορφής $[M, +\infty)$. Ονομάζεται φραγμένο αν είναι και άνω και κάτω φραγμένο, αν δηλ. περιέχεται σε διάστημα της μορφής $[a, b]$ για κάποια $a, b \in \RR$.

Ένα σύνολο μιγαδικών αριθμών $E \subseteq \CC$ λέγεται άνω φραγμένο, κάτω φραγμένο ή φραγμένο αν το σύνολο πραγματικών αριθμών $$ \Abs{A} = \Set{\Abs{a}:\ \ a \in E} $$ είναι αντίστοιχα άνω φραγμένο, κάτω φραγμένο ή φραγμένο.

Μια συνάρτηση $f:E \to \RR$ ή $f:E \to \CC$, όπου $E$ είναι ένα οποιοδήποτε σύνολο (όχι κατ'ανάγκη σύνολο αριθμών δηλαδή) λέγεται άνω φραγμένη, κάτω φραγμένη ή φραγμένη αν το σύνολο τιμών της $f(E)$ είναι άνω φραγμένο, κάτω φραγμένο ή φραγμένο σύνολο αντίστοιχα. Ισοδύναμα, μια τέτοια συνάρτηση είναι π.χ. φραγμένη αν υπάρχει $M \in \RR$ τέτοιο ώστε $\forall x \in E:\ \Abs{f(x)} \le M$.

Η έννοια του φραγμένου (αλλά όχι του άνω και κάτω φραγμένου) συνόλου γενικεύεται εύκολα σε μετρικούς χώρους. Αν $A \subseteq X$ είναι ένα υποσύνολο ενός μετρικού χώρου $X$ με μετρική $d(\cdot, \cdot)$ το $A$ λέγεται φραγμένο αν περιέχεται σε κάποια μπάλα στο χώρο αν δηλ. υπάρχει $x \in X$ και $r > 0$ τέτοια ώστε $$ A \subseteq B_r(x) = \Set{y\in X:\ d(x,y) \lt r}. $$

Άν $A \subseteq \RR$ και $M \in \RR$ το $M$ λέγεται κάτω φράγμα του $A$ αν $\forall x \in A:\ x \ge M$, άνω φράγμα του $A$ αν $\forall x \in A:\ x \le M$. Το $+\infty$ είναι άνω φράγμα κάθε συνόλου ενώ το $-\infty$ είναι κάτω φράγμα κάθε συνόλου. Ειδικά για την περίπτωση $A = \emptyset$ κάθε αριθμός και καθένα από τα $\pm\infty$ είναι και άνω και κάτω φράγματα.

Supremum ενός συνόλου $A$, $\sup{A}$, λέγεται το ελάχιστο άνω φράγμα του το οποίο πάντα υπάρχει στο σύνολο $\RR \cup \Set{\pm\infty}$. Ομοίως infimum ενός συνόλου $A$, $\inf{A}$, λέγεται το μέγιστο κάτω φράγμα του το οποίο πάντα υπάρχει στο σύνολο $\RR \cup \Set{\pm\infty}$. Για κάθε μη κενό σύνολο $A$ ισχύει $\inf{A} \le \sup{A}$.

Αν $X$ είναι ένας μετρικός χώρος, $E \subseteq X$, τότε με $C(E)$ συμβολίζουμε το σύνολο όλων των συναρτήσεων $f:E \to \RR$ που είναι συνεχείς στο $E$. Π.χ., αν $E = [a,b]$ είναι ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα στο $\RR$ (με τη συνηθισμένη μετρική) τότε $C([a,b])$ είναι οι συνεχείς συναρτήσεις $[a,b] \to \RR$.

Ο χώρος $C([a,b])$ είναι συνήθως εφοδιασμένος με κάποια μετρική. Μια κοινή τέτοια μετρική είναι η ομοιόμορφη μετρική $$ \rho(f, g) = \sup_{x \in [a,b]} \Abs{f(x)-g(x)}. $$