Θεωρία Πιθανοτήτων (μεταπτ. μάθημα Ε10)

Μιχάλης Κολουντζάκης

Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, Λεωφόρος Κνωσού, 714 09 Ηράκλειο, E-mail: kolount AT gmail.com

Άνοιξη 2011-12

Περιεχόμενα

• 1 Ωράριο
• 2 Περιγραφή του μαθήματος
  • 2.1 Βιβλίο
  
  
• 3 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις
• 4 Ημερολόγιο Μαθήματος
  • 4.1 Τρ, 14/2/12: Διάφορα περί πιθανοτήτων
    • 4.1.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Αλλαγή ώρας
  • 4.2 Πα, 17/2/12: Θεμελίωση των χώρων πιθανότητας. Τυχαίες μεταβλητές.
  • 4.3 Τε, 22/2/12: Τυχαίες μεταβλητές και τα ολοκληρώματά τους. Κατανομή.
  • 4.4 Πα, 24/2/12: Πυκνότητα πιθανότητας. Κανονικη κατανομή. Είδη σύγκλισης ΤΜ
  • 4.5 Τε, 29/2/12: Ανεξαρτησία ενδεχομένων, ΤΜ και σ-αλγεβρών
  • 4.6 Πα, 2/3/12: Κατανομή ζεύγους, συνέλιξη. Δεσμευμένη μέση τιμή μιας ΤΜ στη διακριτή περίπτωση
    • 4.6.1 Τε, 7/3/12: Όχι μάθημα
  • 4.7 Πα, 9/3/12: Δεσμευμένη μέση τιμή
    • 4.7.1 Κυ, 11/3/12: Φυλλάδιο ασκήσεων
  • 4.8 Τε, 14/3/12: Ασθενής και ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών
  • 4.9 Πα, 16/3/12: Κανονικοί αριθμοί. Ανισότητα Kolmogorov.
  • 4.10 Τε, 21/3/12: Προς νέο ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών
  • 4.11 Πα, 23/3/12: Απόδειξη του ισχυρού νόμου
  • 4.12 Τε, 28/3/12: Θέωρημα τριών σειρών
  • 4.13 Πα, 30/3/12: Ο νόμος του επαναλαμβανόμενου λογαρίθμου (law of the iterated logarithm)
    • 4.13.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα την Παρασκευή 6/4/2012
  • 4.14 Τε, 4/4/12: Ο νόμος του επαναλαμβανόμενου λογαρίθμου (law of the iterated logarithm)
  • 4.15 Τε, 25/4/12: Ασθενής σύγκλιση μέτρων
    • 4.15.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Αλλαγή ώρας Παρασκευής
  • 4.16 Πέ, 26/4/12: θ. Helly
    • 4.16.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Διαγώνισμα
  • 4.17 Πα, 27/4/12: Μετασχηματισμός Fourier συναρτήσεων και μέτρων
    • 4.17.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Παρασκευή πριν τις εκλογές
  • 4.18 Τε, 2/5/12: Συνελίξεις και μετ. Fourier
    • 4.18.1 Φυλλάδιο ασκήσεων
  • 4.19 Πέ, 3/5/12: Μοναδικότητα του μετ. Fourier
  • 4.20 Πα, 4/5/12: Θεώρημα Συνέχειας του Lévy
  • 4.21 Τε, 9/5/12: Συνέχεια για το Θ. Συνέχειας
  • 4.22 Πέ, 10/5/12: Κανονικές κατανομές στο ${\mathbb{R}}^d$
  • 4.23 Τε, 16/5/12: Πρώτο Διαγώνισμα
  • 4.24 Πέ, 17/5/12: Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
  • 4.25 Τε, 23/5/12: Δε γίνεται μάθημα
  • 4.26 Πέ, 24/5/12: Δε γίνεται μάθημα
    • 4.26.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τελικό διαγώνισμα
    • 4.26.2 Τελικό διαγώνισμα

1 Ωράριο

Τετάρτη 11-1 και Παρασκευή 9-11 στην αίθουσα Γ104. Έναρξη μαθημάτων: 14/2/2012.

Ώρες γραφείου: Παρασκευή 11-1 και γενικά μπορείτε να με βρίσκετε τα πρωινά στο γραφείο μου (Γ 111, στο προκατασκευασμένο κτήριο της Κνωσού).

2 Περιγραφή του μαθήματος

Από τον οδηγό σπουδών:

Επανάληψη Θεωρίας Μέτρου: σ-άλγεβρες, μέτρα πιθανότητας, ολοκλήρωμα και θεώρημα σύγκλισης, τυχαίες μεταβλητές, κατανομές, αναμενόμενη τιμή, μετασχηματισμοί μέτρων.

Ασθενής Συγκλιση Μέτρων Πιθανότητας: Θεώρημα Port-manteaux, σχετική συμπάγεια, θεώρημα Prokhorov. Σύγκλιση τυχαίων μεταβλητών κατά κατανομή, σύγκριση με άλλες μορφές σύγκλισης.

Χαρακτηριστικές Συναρτήσεις: Ιδιότητες, αντιστροφή, ροπογεννήτριες συναρτήσεις, κριτήρια ασθενούς σύγκλισης και σχετική συμπάγεια μέσω χαρακτηριστικών συναρτήσεων.

Άθροισμα Ανεξαρτήτων Τυχαίων Μεταβλητών: Ανεξαρτησία, χαρακτηριστική συνάρτηση αθροίσματος, ακολουθίες ανεξαρτήτων τυχαίων μεταβλητών, θεώρημα συνέπειας του Kolmogorov. Ασθενής νόμος των μεγάλων αριθμών. Ανισότητες και θεωρήματα Kolmogorov-Lévy, ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών, νόμος «0-1» του Kolmogorov.

Κεντρικό Οριακό Θεώρημα, θεώρημα Lindebrg-Feller.

Αποκλίσεις από τον Νόμο των Μεγάλων Αριθμών, θεώρημα του Cramér.

Άλλα Οριακά Θεωρήματα: Νόμος του διπλού λογαρίθμου και θεώρημα Berry-Esseen.

Εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές: Δεσμευμένη αναμενόμενη τιμή ως προς σ-άλγεβρα, δεσμευμένες πιθανότητες, κανονικές δεσμευμένες πιθανότητες.

Ανελίξεις Markov: Εξισώσεις Chapman-Kolmogorov, χρόνοι στάσης, ισχυρή μαρκοβιανή ιδιότητα, ανανεωσιμότητα, τυχαίοι περίπατοι, ουρές.

Εργοδικότητα: Στασιμότητα, αναλλοίωτα μέτρα, εργοδικότητα, θεώρημα του Birkhoff.

Δείτε επίσης την ιστοσελίδα του μαθήματος όπως το δίδαξα το 2007-08 και το 2006-07.

2.1 Βιβλίο

Θα χρησιμοποιήσω κυρίως το βιβλίο του John Lamperti Probability: A Survey of the Mathematical Theory, 2nd Edition.

3 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις

Εκτός από το τελικό διαγώνισμα θα υπάρξει και άλλο ένα ("πρόοδος") που θα μετράει το 30% του βαθμού.

4 Ημερολόγιο Μαθήματος

Η σελίδα αυτή θα ενημερώνεται τουλάχιστον μετά από κάθε μάθημα και σκοπό έχει να μεταδίδει μερικές βασικές χρήσιμες πληροφορίες για το περιεχόμενο του μαθήματος (π.χ. τι να προσέξετε, υποδείξεις για λύσεις των ασκήσεων, κ.ά.) καθώς και για διαδικαστικά θέματα.

Σπανίως θα βγαίνουν ανακοινώσεις που αφορούν το μάθημα σε χαρτί. Παρακαλώ να συμβουλεύεστε αυτή τη σελίδα τουλάχιστον 2-3 φορές την εβδομάδα.

4.1 Τρ, 14/2/12: Διάφορα περί πιθανοτήτων

Ως προοίμιο για το μάθημα (του οποίου το κυρίως περιεχόμενο θα είναι η απόδειξη νόμων μεγάλων αριθμών και οριακών θεωρημάτων) ξεκινήσαμε με ένα puzzle που έχει να κάνει με πιθανότητες (δείτε εδώ) Επίσης είδαμε δύο εφαρμογές της θεωρίας πιθανοτήτων, τη μια στα εφαρμοσμένα μαθηματικά (επαλήθευση γινομένου πινάκων) και την άλλη στα καθαρά μαθηματικά (έυρεση μεγάλου υποσυνόλου ενός συνόλου ακεραίων που να είναι sum-free). Μπορείτε να βρείτε και τις δύο αυτές εφαρμογές στις διαλέξεις που είναι εδώ.

4.1.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Αλλαγή ώρας

Το μάθημα της Τρίτης θα γίνεται στο εξής κάθε Τετάρτη 11-1 στη Θ202.

Οι εβδομαδιαίες ώρες γραφείου μου θα είναι από δω και πέρα Παρασκευή 11-1. Φυσικά μπορείτε να με «ενοχλείτε» όποτε με βρίσκετε στο γραφείο μου.

4.2 Πα, 17/2/12: Θεμελίωση των χώρων πιθανότητας. Τυχαίες μεταβλητές.

Ορίσαμε τις ένννοιες της άλγεβρας και σ-άλγεβρας συνόλων και των προσθετικών και σ-προσθετικών συνολοσυναρτήσεων (μέτρων). Ορίσαμε το χώρος πιθανότητας και είδαμε χωρίς απόδειξη το θεώρημα επέκτασης μιας αθροιστικής συνολοσυνάρτησης πάνω σε μια άλγεβρα συνόλων σε μια σ-προσθετική συνολοσυνάρτηση ορισμένη στη σ-άλγεβρα που παράγει η άλγεβρα. Η επέκτασε αυτή υπάρχει και είναι μοναδική αν η σ-προσθετικότητα ισχύει όταν όλα τα σύνολα και η ένωσή τους ανήκει στην άλγεβρα συνόλων.

Είδαμε την έννοια της συνάρτησης κατανομής ενός μέτρου πάνω στο ${\mathbb{R}}$ και ότι αυτή καθορίζει το μέτρο όπως και ότι σε κάθε συνάρτηση με τις ιδιότητες της συνάρτησης κατανομής αντιστοιχεί ένα μέτρο.

Ορίσαμε τις τυχαίες μεταβλητές και τα ολοκληρώματά τους (μέσες τιμές τους). Καλύψαμε περί τις 5 πρώτες σελίδες από το βιβλίο που ακολουθούμε.

Λύστε τα προβλήματα 2, 3 της §1.

4.3 Τε, 22/2/12: Τυχαίες μεταβλητές και τα ολοκληρώματά τους. Κατανομή.

Είδαμε πώς ορίζεται η κατανομή μιας ΤΜ $X:\Omega\to{\mathbb{R}}$ (όπου στη θέση του ${\mathbb{R}}$ μπορούμε να έχουμε οποιοδήποτε χώρο με μια σ-άλγεβρα) ως το μέτρο πιθανότητας $p_X$ πάνω στο ${\mathbb{R}}$ που αντικατοπτρίζει το πόσο συχνά η $X$ παίρνει τις τιμές της. Είδαμε μερικά παραδείγματα.

Αποδείξαμε επίσης με λεπτομέρεια το πώς αποδεικνύεται ο τύπος

$${{\bf E}\left[{X}\right]} = \int_\Omega X d{\mathbb{P}}= \int_{\mathbb{R}}t dp_X.$$

Ομοίως αποδεικνύεται ο τύπος ${{\bf E}\left[{g(X)}\right]} = \int_{\mathbb{R}}g(t) dp_X$.

4.4 Πα, 24/2/12: Πυκνότητα πιθανότητας. Κανονικη κατανομή. Είδη σύγκλισης ΤΜ

Είδαμε το τυ σημαίνει για μια πραγματική ΤΜ $X$ να έχει πυκνότητα και το πώς μπορούμε να κάνουμε τους διάφορους υπολογισμούς ολοκληρωμάτων της $X$ μέσω της πυκνότητας $f$ όταν αυτή υπάρχει. Είδαμε διάφορα παραδείγματα μεταξύ των οποίων και μεταβλητές που δεν είναι ούτε συνεχείς (με πυκνότητα δηλ.) ούτε διακριτές (να παίρνουν δηλ. αριθμήσιμες το πλήθος τιμές).

Μιλήσαμε λίγο για την κανονική κατανομή και το πώς αυτή επηρεάζεται από γραμμικό μετασχηματισμό.

Είδαμε το τι σημαίνει για μια ακολουθία ΤΜ $X_n$ να συγκλίνει στην ΤΜ $X$ (α) σχεδόν παντού (σχεδόν σίγουρα), (β) κατά νόρμα $L^p$ και (γ) κατά πιθανότητα. Είδαμε ότι (β) συνεπάγεται το (γ) και ότι το (α) δε συνεπάγεται το (β). Όλες οι υπόλοιπες συνεπαγωγές ανάμεσα στα α, β, γ δεν ισχύουν και θέλω να μου βρείτε αντιπαραδείγματα μέχρι την επόμενη Τετάρτη.

4.5 Τε, 29/2/12: Ανεξαρτησία ενδεχομένων, ΤΜ και σ-αλγεβρών

Ορίσαμε την ανεξαρτησία ενδεχομένων και την ανεξαρτησία ΤΜ ως την ανεξαρτησία των σ-αλγεβρών που ορίζουν αυτές οι ΤΜ. Η σ-άλγεβρα $\sigma(X)$ μιας ΤΜ $X$ είναι η σ-άλγεβρα που παράγουν όλα τα ενδεχόμενα της μορφής $X^{-1}(E)$, όπου $E \subseteq {\mathbb{R}}$ είναι ανοιχτό σύνολο, και δύο σ-άλγεβρες ονομάζονται ανεξάρτητες αν κάθε δύο σύνολα, ένα από τη μια κι ένα από την άλλη, είναι ανεξάρτητα.

Δείξαμε ότι για δύο ανεξάρτητες ΤΜ $X, Y$ ισχύει ${{\bf E}\left[{XY}\right]} = {{\bf E}\left[{X}\right]}{{\bf E}\left[{Y}\right]}$, με την έννοια ότι αν υπάρχει το αριστερό ή το δεξί μέλος της ισότητας τότε υπάρχει και το άλλο και είναι ίσα.

Κατά τη διάρκεια του μαθήματος τέθηκε το ερώτημα αν $\sigma(X) = X^{-1}({\mathcal B})$, όπου ${\mathcal B}$ είναι τα Borel σύνολα. Η απάντηση είναι θετική.

Εύκολα βλέπει κανείς ότι ισχύει ο εγκλεισμός $\subseteq$, μια και αποδεικνύεται με απλό τρόπο ότι $X^{-1}({\mathcal B})$ είναι σ-άλγεβρα που περιέχει τα σύνολα στο $\Omega$ που είναι προεικόνες ανοιχτών, και άρα περιέχει και τη σ-άλγεβρα $\sigma(X)$ μια και αυτή παράγεται από τις προεικόνες ανοιχτών. Απομένει λοιπόν να δείξουμε τον εγκλεισμό

$$X^{-1}({\mathcal B}) \subseteq \sigma(X)$$

κι έτσι θα έχουμε αποδείξει ότι η σ-άλγεβρα μιας μεταβλητής $\sigma(X)$ είναι ακριβώς όλες οι προεικόνες μέσω της $X$ των Borel συνόλων.

Ας είναι λοιπόν ${\mathcal A}$ εκείνα τα σύνολα $A \subseteq {\mathbb{R}}$ τέτοια ώστε $X^{-1}(A) \in \sigma(X)$. Εύκολα αποδεικνύουμε ότι ${\mathcal A}$ είναι μια σ-άλγεβρα που περιέχει τα ανοιχτά του ${\mathbb{R}}$ και άρα ${\mathcal B} \subseteq {\mathcal A}$. Άρα $X^{-1}({\mathcal B}) \subseteq X^{-1}({\mathcal A}) \subseteq \sigma(X)$, όπως είχαμε να δείξουμε.

4.6 Πα, 2/3/12: Κατανομή ζεύγους, συνέλιξη. Δεσμευμένη μέση τιμή μιας ΤΜ στη διακριτή περίπτωση

Είδαμε ότι ένα ζεύγος ΤΜ $X, Y: \Omega \to {\mathbb{R}}$ επάγει ένα μέτρο πιθανότητας $p_{(X,Y)}$ με το φυσιολογικό τρόπο στο ${\mathbb{R}}^2$ και ότι το μέτρο αυτό είναι ένα μέτρο γινόμενο

$$p_{(X,Y)} = p_X \times p_Y$$

αν και μόνο αν οι δύο ΤΜ είναι ανεξάρτητες. Στην περίπτωση που οι $X, Y$ είναι ανεξάρτητες υπολογίσαμε την κατανομή της $X+Y$ και τη βρήκαμε ίση με τη συνέλιξη των δύο μέτρων $p_X$ και $p_Y$, δηλ.

$$p_{X+Y} (E) = p_X*p_Y(E) := \int_{{\mathbb{R}}} p_X(E-t) dp_Y(t) = \int_{{\mathbb{R}}} p_Y(E-t) dp_X(t).$$

Ορίσαμε τέλος την δεσμευμένη μέση τιμή ${{\bf E}\left[{X{ \vert }Y}\right]}$ στην περίπτωση που η $Y \in {\mathbb{Z}}$ είναι μια διακριτή ΤΜ. Η ${{\bf E}\left[{X{ \vert }Y}\right]}$ είναι μια ΤΜ επίσης (και όχι αριθμός) της οποίας η τιμή εξαρτάται μόνο από το $Y(\omega)$ και όχι από το $\omega$. Στο επόμενο μάθημα θα δούμε πώς ορίζεται η ${{\bf E}\left[{X{ \vert }Y}\right]}$ και όταν η $Y$ δεν είναι διακριτή ΤΜ.

4.6.1 Τε, 7/3/12: Όχι μάθημα

Δεν έγινε μάθημα σήμερα λόγω έκτακτου κωλύματός μου. Θα αναπληρωθεί.

4.7 Πα, 9/3/12: Δεσμευμένη μέση τιμή

Σήμερα είδαμε πώς ορίζεται η δεσμευμένη μέση τιμή μιας ΤΜ ως προς μια άλλη, ${{\bf E}\left[{Y{ \vert }X}\right]}$ χωρίς καμιά υπόθεση για την $X$ και με μόνη την υπόθεση της ολοκληρωσιμότητας για την $Y$. Ο ορισμός είναι ειδική περίπτωση του ορισμού της δέσμευσης μιας ΤΜ ως προς μια σ-άλγεβρα. Είδαμε πώς το θεώρημα Radon-Nikodym μας δίνει την ύπαρξη αυτής της ΤΜ και γιατί αυτή είναι μοναδική. Είδαμε επίσης διάφορα παραδείγματα του τι σημαίνει μια τέτοια δέσμευση για μια ΤΜ καθώς και διάφορες βασικές ιδιότητες της δεσμευμένης μέσης τιμής.

4.7.1 Κυ, 11/3/12: Φυλλάδιο ασκήσεων

Ώρα για το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων: εδώ.

4.8 Τε, 14/3/12: Ασθενής και ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών

Σήμερα δείξαμε τον ασθενή νόμο των μεγάλων αριθμών (Θ. 6.1 του βιβλίου) καθώς και μια μορφή του ισχυρού νόμου (Θ. 8.1). Χσρησιμοποιήσαμε επίσης τον ασθενή νόμο των μεγάλων αριθμών για να δώσουμε μια απόδειξη του Θ. Weierstrass, ότι δηλ. κάθε συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα προσεγγίζεται ομοιόμορφα από πολυώνυμα.

4.9 Πα, 16/3/12: Κανονικοί αριθμοί. Ανισότητα Kolmogorov.

Ως εφαρμογή του ισχυρού νόμου των μεγάλων αριθμών είδαμε ότι σχεδόν όλοι (Lebesgue) πραγματικοί αριθμοί είναι κανονικοί ως προς οποιαδήποτε βάση $b \in {2, 3, 4, \ldots}$. Αυτό σημαίνει ότι αν τους γράψουμε ως προς τη βάση $b$ (οι πιο κοινές τιμές είναι φυσικά $b=2, 10$) τότε όλα τα δυνατά ψηφία εμφανίζονται οριακά με την ίδια συχνότητα.

Επίσης δείξαμε την ανισότητα του Kolmogorov για τα μέγιστα μερικών αθροισμάτων ανεξαρτήτων ΤΜ ως προετοιμασία για την απόδειξη που θα δώσουμε του ισχυρού νόμου χωρίς την ύπαρξη 4ης ροπής των ΤΜ στις υποθέσεις.

4.10 Τε, 21/3/12: Προς νέο ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών

Δείξαμε το λήμμα Borel-Cantelli και το χρησιμοποιήσαμε μαζί με την ανισότητα του Kolmogorov για να δείξουμε ότι μια σειρά $\sum X_n$ όπου $X_n$ ανεξάρτητες και $\sum_n \sigma^2(X_n) < \infty$ συγκλίνει σχεδόν παντού. Ήδη αυτό μας δίνει μια νέα ενισχυμένη έκφραση του Ισχυρού Νόμου των μεγάλων αριθμών με άσθενέστερες συνθήκες (Θεώρημα 3 του βιβλίου). Συνεχίζουμε για να αποδείξουμε τον ισχυρό νόμο με μόνη υπόθεση την ύπαρξη μέσης τιμής για την κοινή κατανομή των $X_n$.

4.11 Πα, 23/3/12: Απόδειξη του ισχυρού νόμου

Συμπληρώσαμε την απόδειξη του Ισχυρού Νόμου των Μεγάλων Αριθμών με μόνη προϋπόθεση την ύπαρξη πρώτης ροπής της κοινής κατανομής των $X_1, X_2, \ldots$ (Θεώρημα 4 της §9 του βιβλίου).

4.12 Τε, 28/3/12: Θέωρημα τριών σειρών

Αποδείξαμε σήμερα το θεώρημα τριών σειρών του Kolmogorov (Κεφ. 10 του βιβλίου).

4.13 Πα, 30/3/12: Ο νόμος του επαναλαμβανόμενου λογαρίθμου (law of the iterated logarithm)

Αν $X_1, X_2, \ldots$ είναι ανεξάρτητες, ισόνομες και έχουν μέση τιμή 0, και $S_n = X_1 + \cdots + X_n$, τότε από τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών ισχύει σ.σ. ότι

$$\frac{S_n}{n} \to 0,$$

ή, με λίγο διαφορετικό τρόπο, ${\left\vert{S_n}\right\vert} = o(n)$. Είναι αυτό το καλύτερο άνω φράγμα για το ${\left\vert{S_n}\right\vert}$; Θά δούμε ότι όχι, και σήμερα είδαμε το πρώτο καλύτερο φράγμα (Hausdorff): αν ${{\bf E}\left[{{\left\vert{X_1}\right\vert}^k}\right]} < \infty$ για κάθε $k>0$ τότε για κάθε $\epsilon>\frac{1}{2}$ έχουμε

$${\left\vert{S_n}\right\vert} = O(n^{\frac{1}{2}+\epsilon}).$$

4.13.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα την Παρασκευή 6/4/2012

Την Παρασκευή δε θα κάνουμε μάθημα λόγω απουσίας μου. Θα αναπληρωθεί μαζί με άλλα παλιά χρωστούμενα μετά το Πάσχα.

4.14 Τε, 4/4/12: Ο νόμος του επαναλαμβανόμενου λογαρίθμου (law of the iterated logarithm)

Αποδείξαμε σήμερα τα θεωρήματα των Hardy και Littlewood και Khintchine για το μέγεθος των ${\left\vert{S_n}\right\vert}$. Δεν αποδείξαμε το κάτω φράγμα του Khintchine και δε θα το κάνουμε. Από την επόμενη φορά μπαίνουμε στο επόμενο κεφάλαιο του βιβλίου.

4.15 Τε, 25/4/12: Ασθενής σύγκλιση μέτρων

Ορίσαμε την έννοια της ασθενούς σύγκλισης μιας ακολουθίας μέτρων και είδαμε διάφορα παραδείγματα. Αποδείξαμε το Θεώρημα 1 της §13 του βιβλίου που χαρακτηρίζει την ασθενή σύγκλιση μέτρων πιθανότητας στο ${\mathbb{R}}$ από την κατά σημείο σύγκλιση των συναρτήσεων κατανομής των μέτρων της ακολουθίας σε όλα τα σημεία όπου η οριακή συνάρτηση κατανομής είναι συνεχής (αυτά είναι όλα τα πραγματικά σημεία μείον το πολύ ένα αριθμήσιμο πλήθος σημείων, λόγω της μονοτονίας της συνάρτησης κατανομής).

4.15.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Αλλαγή ώρας Παρασκευής

Η ώρα της Παρασκευής μεταφέρεται στην Πέμπτη 11-1 στην ίδια αίθουσα. Ειδικά αυτή την εβδομάδα θα κάνουμε μάθημα και Πέμπτη και Παρασκευή.

4.16 Πέ, 26/4/12: θ. Helly

Τελειώσαμε σήμερα την §13 με τον ορισμό της μετρικής Levi ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις κατανομής στο ${\mathbb{R}}$ και την απόδειξη του θεωρήματος του Helly που μας εγγυάται την ύπαρξη ασθενώς συγκλίνουσας υπακολουθίας μιας ακολουθίας κατανομών $F_n$ υπό μια ομοιόμορφη συνθήκη απόσβεσης στο $\pm\infty$ όλων των κατανομών της αρχικής ακολουθίας.

4.16.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Διαγώνισμα

Το διαγώνισμα θα γίνει την Τετάρτη 16/5/12, 9:00-13:00 στην Γ 104,και θα καλύπτει μέχρι και το δεύτερο κεφάλαιο του βιβλίου.

4.17 Πα, 27/4/12: Μετασχηματισμός Fourier συναρτήσεων και μέτρων

Θα ασχοληθούμε για μερικές διαλέξεις με τα βασικά της ανάλυσης Fourier στο ${\mathbb{R}}^d$, μια και θα χρειαστούμε το μετασχηματισμό Fourier (με το όνομα χαρακτηριστική συνάρτηση μιας κατανομής, όπως συνηθίζεται στη θεωρία Πιθανοτήτων) για την απόδειξη του κεντρικού οριακού θεωρήματος.

Θα χρησιμοποιήσουμε γι' αυτό το βιβλίο του K. Stromberg, Probability for Analysts, όπου παρουσιάζονται κάπως καλύτερα αυτά. Σήμερα καλύψαμε τους βασικούς ορισμούς και ιδιότητες από το Κεφ. 1, μέχρι και την παράγραφο για τις συνελίξεις.

4.17.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Παρασκευή πριν τις εκλογές

Το Πανεπιστήμιο αποφάσισε ότι θα γίνουν μαθήματα κανονικά την Παρασκευή 4/5/12, οπότε και την επόμενη εβδομάδα θα κάνουμε μάθημα Τετάρτη, Πέμπτη και Παρασκευή.

4.18 Τε, 2/5/12: Συνελίξεις και μετ. Fourier

Είδαμε ξανά ορισμένα βασικά πράγματα για συνελίξεις συναρτήσεων και μέτρων και αποδείξαμε ότι ο μετ. Fourier της συνέλιξης δύο συναρτήσεων είναι το κατά σημείο γινόμενο των αντίστοιχων μετ. Fourier. Προετοιμάσαμε την απόδειξη της μοναδικότητας του μετ. Fourier, ότι δηλ. ο μετ. Fourier ενός μέτρου καθορίζει το μέτρο.

4.18.1 Φυλλάδιο ασκήσεων

Λύστε το επόμενο φυλλάδιο ασκήσεων ως προετοιμασία για το διαγώνισμα.

4.19 Πέ, 3/5/12: Μοναδικότητα του μετ. Fourier

Δείξαμε το θεώρημα μοναδικότητας για το μετ. Fourier, δηλ. ότι δύοπ μέτρα είναι ίδια αν έχουν τον ίδιο μετασχηματισμό Fourier. Επίσης δείξαμε τον τύπο αντιστροφής του μετ. Fourier υπό την προϋπόθεση ότι ο μετ. Fourier είναι ολοκληρώσιμος.

4.20 Πα, 4/5/12: Θεώρημα Συνέχειας του Lévy

Δείξαμε διάφορες ιδιότητες του μετ. Fourier, κυρίως αλγεβρικές ιδιότητες και ιδιότητες συμμετρίας. Αποδείξαμε επίσης το θ. συνέχειας του Lévy. Ακολουθούμε το βιβλίο του K. Stromberg, Κεφ. 2.

4.21 Τε, 9/5/12: Συνέχεια για το Θ. Συνέχειας

Αποδείξαμε το πόρισμα 2.8 του θεωρήματος Συνέχειας του Lévy. Τώρα πλέον έχουμε χαρακτηρίσει την ασθενή σύγκλιση μέτρων πιθανότητας στο ${\mathbb{R}}^d$ με την κατά σημείο σύγκλιση των μετασχηματισμών Fourier τους.

Λύσαμε και αρκετές από τις Ασκήσεις του Κεφ. 2 του Stromberg.

4.22 Πέ, 10/5/12: Κανονικές κατανομές στο ${\mathbb{R}}^d$

Λύσαμε ακόμη κάποιες ασκήσεις από το Κεφ. 2 του Stromberg.

Είδαμε τον ορισμό της κανονικής κατανομής στο ${\mathbb{R}}^d$ και κάναμε διάφρους υπολογισμούς με αυτές τις κατανομές. Δείξαμε επίσης το Θεώρημα 5.6 (ακολουθούμε το Κεφ. 5 του Stromberg) για τον φορέα της συνέλιξης δύο μέτρων σε σχέση με τους δύο φορείς.

4.23 Τε, 16/5/12: Πρώτο Διαγώνισμα

Εδώ σε PDF..

4.24 Πέ, 17/5/12: Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Δείξαμε σήμερα το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Ακολουθήσαμε την παρουσίαση στο βιβλίο του Lamperti, σελ. 94.

4.25 Τε, 23/5/12: Δε γίνεται μάθημα

4.26 Πέ, 24/5/12: Δε γίνεται μάθημα

Λόγω της χαμηλής προσέλευσης του κόσμου δε θα γίνουν διαλέξεις του μαθήματος αυτή την εβδομάδα. Σκόπευα να σας παρουσιάσω κάποιες εφαρμογές της πιθανοθεωρητικής μεθόδου. Τις διαλέξεις αυτές μπορείτε, όσοι από εσάς θέλετε, να τις παρακολουθήσετε στο Θερινό Σχολείο του Τμήματος Μαθηματικών (δε γνωρίζω ακόμη τις ακριβείς ημερομηνίες). Μπορείτε να δείτε την παρουσίαση όπως έγινε στο Θερινό Σχολείο του 2010 εδώ.

4.26.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τελικό διαγώνισμα

Θα γίνει στις 8 Ιουνίου 2012, 9-12 στη Γ 104.

4.26.2 Τελικό διαγώνισμα

Εδώ.