Απειροστικός Λογισμός Μιας Μεταβλητής

\( \newcommand{\Ds}{\displaystyle} \newcommand{\PP}{{\mathbb P}} \newcommand{\RR}{{\mathbb R}} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\CC}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\NN}{{\mathbb N}} \newcommand{\TT}{{\mathbb T}} \newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Abs}[1]{{\left|{#1}\right|}} \newcommand{\Floor}[1]{{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}} \newcommand{\Ceil}[1]{{\left\lceil{#1}\right\rceil}} \newcommand{\sgn}{{\rm sgn\,}} \newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}} \newcommand{\Norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}} \newcommand{\Prob}[1]{{{{\mathbb P}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\Mean}[1]{{{{\mathbb E}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\cis}{{\rm cis}\,} \newcommand{\one}{{\mathbf 1}} \newcommand{\One}[1]{{\bf 1}\left(#1\right)} \renewcommand{\Re}{{\rm Re\,}} \renewcommand{\Im}{{\rm Im\,}} \renewcommand{\arg}{{\rm arg\,}} \renewcommand{\Arg}{{\rm Arg\,}} \renewcommand{\deg}{{\rm deg\,}} \renewcommand{\vol}{{\rm vol\,}} \renewcommand{\span}{{\rm span\,}} \newcommand{\ft}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}} \newcommand{\FT}[1]{\left(#1\right)^\wedge} \newcommand{\Lone}[1]{{\left\|{#1}\right\|_{1}}} \newcommand{\Linf}[1]{{\left\|{#1}\right\|_\infty}} \newcommand{\inner}[2]{{\langle #1, #2 \rangle}} \)

Όρια συναρτήσεων

Μια διόρθωση για τα video που ακολουθούν

Στα περισσότερα από τα video αυτής της εβδομάδας υπάρχει ένα μικρό λάθος στον ορισμό του ορίου.

Στα video λέω ότι το όριο της συνάρτησης \(f\) για \(x \to a\) είναι ο αριθμός \(L\), και γράφουμε
\[\lim_{x \to a} f(x) = L\]
αν για κάθε \(\epsilon > 0\) υπάρχει \(\delta >0\) τέτοιο ώστε να ισχύει η συνεπαγωγή
\[ \Abs{x-a}<\delta \implies \Abs{f(x)-L} < \epsilon.\]

Το σωστό είναι η συνεπαγωγή
\[ \color{red}{0 <}\Abs{x-a}<\delta \implies \Abs{f(x)-L} < \epsilon.\]

Με άλλα λόγια, ακόμη και όταν η \(f\) ορίζεται στο \(a\) δε μας ενδιαφέρει καθόλου η τιμή της \(f\) στο ίδιο το \(a.\) Μπορεί αυτή να είναι οτιδήποτε και αυτό δεν επηρεάζει ούτε την ύπαρξη του ορίου ούτε την τιμή του αν αυτό υπάρχει.

Είναι μια λεπτή διαφορά αλλά έχει σημασία. Διαισθητικά, όταν λέμε \(x \to a\) μας ενδιαφέρει τι γίνεται όταν το \(x\) έρχεται ολοένα και πιο κοντά στο \(a\) χωρίς να το αγγίζει.

Έχετε αυτή την παρατήρηση υπόψιν σας όταν θα βλέπετε τα video. Ίσως πριν τα δείτε να μη σας κάνει και πολύ νόημα αυτό που λέω παραπάνω, αλλά ξαναγυρίστε σε αυτήν μετά το πρώτο video.

Σε ασκήσεις όπου σας ζητείται να υπολογίσετε ένα όριο αν το αποτέλεσμα είναι \(+\infty\) γράψτε τον αριθμό 1000000 (ένα εκατομμύριο). Αν το αποτέλεσμα είναι \(-\infty\) γράψτε -1000000. Αν δεν υπάρχει το όριο γράψτε 2000000 (δύο εκατομμύρια).