Υπολογισμοί Ορίων

Ο φυσικός αριθμός \(n\) είναι άρτιος.

Εφαρμόζουμε την ανισότητα Bernoulli για να βρούμε ένα κάτω φράγμα για την ποσότητα \[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\] αλλά όχι ως είναι.

Πρώτα γράφουμε \[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \left((1+\frac{1}{n})^2\right)^{n/2}=(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2})^{n/2},\] και εφαρμόζουμε την ανισότητα Bernoulli στο τελευταίο στάδιο.

Ποιο είναι το κάτω φράγμα που προκύπτει; (Συνάρτηση του \(n\).)

Ποιες από τις παρακάτω ακολουθίες συγκλίνουν στο \(+\infty\);

Ποιες από τις παρακάτω ακολουθίες συγκλίνουν στο \(+\infty\);

Για ποιες από τις παρακάτω ακολουθίες \(a_n\) ισχύει \(a_n^{1/n}\to1\);

Για ποιες από τις παρακάτω ακολουθίες \(a_n\) ισχύει \(a_n^{1/n}\to+\infty\);

Για ποιες από τις παρακάτω ακολουθίες \(a_n\) ισχύει \(a_n^{1/n}\to1\);

Ποιες από τις παρακάτω ακολουθίες είναι φραγμένες;

Ποιες από τις παρακάτω ακολουθίες τείνουν στο \(+\infty\);

Σωστό ή λάθος;

Αν \(a_n\) είναι γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών, τότε \(2^{a_n}/a_n^{10}\to+\infty\).

Σωστό ή λάθος;

Έχουμε \((n!)^{1/n}=1^{1/n}2^{1/n}\cdots n^{1/n}\to1\cdot1\cdot\ldots=1\).

Λέμε ότι μια ακολουθία \(a_n\) είναι τελικά φθίνουσα αν υπάρχει \(k\) ώστε \(n\ge k\Rightarrow a_n\ge a_{n+1}\).

Η ακολουθία \(a_n=n10^n/11^n\), \(n\ge1\), είναι τελικά φθίνουσα. Ποιο είναι το ελάχιστο \(k\) για το οποίο ισχύει η παραπάνω συνεπαγωγή;

Ποιο είναι το όριο της ακολουθίας \(\left(1+\frac1n\right)^{n+2}\);

Ποιο είναι το όριο της ακολουθίας \(a_n=(1+1/n^2)^n\);

Αριθμητική απάντηση με ακρίβεια 3 ψηφίων.

Η ακολουθία \(x_n\) ορίζεται από \(x_1=1\) και \(x_n=\sqrt{6+x_{n-1}}\) για \(n\ge2\). Υποθέστε ότι συγκλίνει και βρείτε το όριό της.

Αριθμητική απάντηση με ακρίβεια 3 ψηφίων.

Η ακολουθία \(x_n\) ορίζεται από \(x_0=0\), \(x_1=1\) και \(x_n=x_{n-1}+2x_{n-2}\) για \(n\ge2\).

Βρείτε το όριο της \(a_n=x_n/x_{n-1}\), υποθέτοντας ότι συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό.

Αριθμητική απάντηση με ακρίβεια 3 ψηφίων.

Για ποιες από τις παρακάτω ακολουθίες συγκλίνει η ακολουθία των μέσων όρων τους σε πραγματικό αριθμό;