Ακρότατα συνάρτησης

Σε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι το σημείο 0 τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο;

Σωστό ή λάθος;

Η συνάρτηση \(f:(0, 2)\to\RR\) είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό. Η \(f'\) είναι ίση με 0 στο \((0, 1]\) και είναι \(> 0\) στο διάστημα \((1, 2)\).

Τότε η \(f\) είναι αύξουσα στο \((0, 2)\).

Έχουμε ένα βαρέλι που είναι ένας ορθός κυκλικός κύλινδρος με ακτίνα βάσης \(r\) και ύψος \(h\). Το βαρέλι έχει πάτο αλλά όχι καπάκι. Αν θεωρήσουμε ότι η επιφάνεια του βαρελιού (πάτος + το πλαϊνό κομμάτι) είναι σταθερό ποιος πρέπει να είναι ο λόγος \(r/h\) ώστε ο όγκος του βαρελιού να είναι ο μέγιστος;

Αριθμητική απάντηση με ακρίβεια 2 δεκαδικών ψηφίων.

Μια ακτίνα φωτός φεύγει από μια πηγή που βρίσκεται στο Μέσο 1 (π.χ. νερό) και καταλήγει στο μάτι μας που βρίσκεται στο Μέσο 2 (π.χ. αέρας).

Η ταχύτητα μετάδοσης του φωτός στο μέσο 1 είναι 3 φορές πιο μικρή από αυτή στο μέσο 2. Δεχόμαστε ότι η ακτίνα του φωτός ακολουθεί τη συντομότερη διαδρομή.

Υπολογίστε το λόγο \(\Ds \frac{\sin{\theta_1}}{\sin{\theta_2}}\).

Αριθμητική απάντηση με ακρίβεια 2 δεκαδικών ψηφίων.

Ένας αγρότης έχει αγοράσει περίφραξη συνολικού μήκους \(L\) και θέλει να περιφράξει ένα ορθογώνιο κομμάτι, μέσα στην περιουσία του, και να το μοιράσει εξίσου στα δύο παιδιά του, όπως φαίνεται στο σχήμα:

Χρησιμοποιεί δηλ. την περίφραξη συνολικού μήκους \(L\) που έχει για να περιφράξει το ορθογώνιο τριγύρω συν να το χωρίσει στα δύο.

Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδό που μπορεί να περιφράξει με αυτό τον τρόπο;

Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(L\).

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές για τη συνάρτηση \(\Abs{\sin x}\);

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

Σωστό ή λάθος;

Αν \(f''(0) = f'''(0) = 0\) και \(f''' \ge 0\) στο [0, 1] τότε η \(f\) είναι κυρτή στο [0 ,1]. 

Σωστό ή λάθος;

Η συνάρτηση \(f(x) = \max\Set{ \frac12, x, x^2}\) είναι κυρτή στο \(\RR\).

Σωστό ή λάθος;

Αν οι \(f, g\) είναι κυρτές σ' ένα διάστημα τότε και η συνάρτηση \(\max\Set{f, g}\) είναι κυρτ'η εκεί.

 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές αν \(f\) κυρτή συνάρτηση;

 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές αν \(f\) κυρτή συνάρτηση;

Αν κανείς εφαρμόσει την ανισότητα του Jensen παίρνει, για \(a, b > 0\), μια ανισότητα της μορφής
\[ \ln(a+b) \ge \frac{\ln{a}+\ln{b}}{2}+C,\]
όπου \(C\) μια σταθερά ανεξάρτητη από τα \(a, b\).

Ποια είναι αυτή η σταθερά;

\(\ln\) είναι ο λογάριθμος με βάση το \(e\).

Αριθμητική απάντηση με ακρίβεια 2 δεκαδικών ψηφίων.

Αν \(p \ge 1\) τότε η ανισότητα Jensen μας δίνει, αν την εφαρμόσουμε στη συνάρτηση \(x^p\), μια ανισότητα της μορφής
\[(a+b)^p \le C(a^p+b^p),\]
για κάθε \(a, b \ge 0\), όπου \(C\) είναι μια σταθερά που δεν εξαρτάται από τα \(a, b\).

Ποια είναι η σταθερά \(C\);

Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(p\).