Παράγωγος

Μετράμε τη θερμοκρασία ενός ασθενή σε κάποιες χρονικές στιγμές και έχουμε τις παρακάτω μετρήσεις:

Η ακτίνα ενός κυκλικού δίσκου με κέντρο το 0 είναι ίση με το χρόνο \(t\), για \(0 \le t \le 2\).

Για οποιαδήποτε δύο χρονικές στιγμές \(t_1 < t_2\) σε αυτό το διάστημα μας δίδεται ότι η μέση αύξηση του εμβαδού του δίσκου αυτού από τη χρονική στιγμή \(t_1\) στη χρονική στιγμή \(t_2\) είναι \(\le M\).

Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός \(M\) που μπορεί να παίξει αυτό το ρόλο;

Αν \(f(x), g(x): (0, +\infty) \to (0, +\infty)\) είναι δύο συναρτήσεις γράφουμε
\[ f(x) = o(g(x)) \text{ για } x \to +\infty\]
αν
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0.\]

Ποια από τα παρακάτω είναι σωστά;

Αν \(f(x), g(x): (0, +\infty) \to (0, +\infty)\) είναι δύο συναρτήσεις γράφουμε
\[ f(x) = O(g(x)) \text{ για } x \to +\infty\]
αν υπάρχουν \(M, C > 0\) τέτοια ώστε
\[x \ge M \implies f(x) \le C g(x).\]

Με άλλα λόγια \(f(x) = O(g(x))\) σημαίνει ότι το πηλίκο \(\Ds \frac{f(x)}{g(x)}\) είναι τελικά φραγμένο.

Ποια από τα παρακάτω είναι σωστά;

Ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης
\[f\left( t \right) = \left( {4{t^2} - t} \right)\left( {{t^3} - 8{t^2} + 12} \right);\]
Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(t\).

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
\[y = \left( {1 + \sqrt {{x^3}} } \right)\,\left( {{x^{ - 3}} - 2\sqrt[3]{x}} \right).\]
Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(x\).

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
\[R\left( x \right) = \frac{{3x + {x^4}}}{{2{x^2} + 1}}.\]
Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(x\).

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
\[f\left( x \right) = {\left( {6{x^2} + 7x} \right)^4}.\]
Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(x\).

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης \(y = \sqrt{\sin x}\).

Θα χρειαστείτε ότι \((\sin x)'  = \cos x\).

Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(x\).

Η συνάρτηση \(y = \sin x\) είναι αυστηρά αύξουσα και άρα αντιστρέψιμη στο διάστημα \([0, \pi/2]\), με την αντίστροφή της
\[x = \sin^{-1} y = \arcsin y\]
ορισμένη στο διάστημα \([0, 1]\) που είναι το σύνολο τιμών της \(y = \sin x\).
Βρείτε την παράγωγο της \(x = \arcsin y\) ως προς \(y\).

Χρειάζεται να γνωρίζετε ότι \((\sin x)' = \cos x\).

Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(y\).

Η συνάρτηση \(y = x^3-1\) είναι αυστηρά αύξουσα και άρα αντιστρέψιμη σε όλο το \(\RR\), με την αντίστροφή της
\[x = \sqrt[3]{y+1}\]
ορισμένη στο \(\RR\) που είναι το σύνολο τιμών της \(y = x^3-1\).

Βρείτε την παράγωγο της \(x = \sqrt[3]{y+1}\) ως προς \(y\).

Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(y\).

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
\[y = {x^5} - {{{e}}^x}\ln \left(x \right).\]
Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(x\). Γράφετε e^x για \(e^x\) και log(x) αντί για \(\ln x\).

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
\[y = \frac{x}{1-e^x}.\]
Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(x\). Γράφετε e^x για \(e^x\).

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
\[ R\left( t \right) = \frac{1}{{2\sin \left( t \right) - 4\cos \left( t \right)}}.\]
Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(t\).

Βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας στο γράφημα της συνάρτησης \(y = \sin x\) στο σημείο που αντιστοιχεί στο \(x_0 = \frac{\pi}{4}\).
Η απάντησή σας είναι το \(y\) ως συνάρτηση του \(x\) (η εξίσωση της ευθείας). Μπορείτε να γράφετε pi αντί για το \(\pi\).

Υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτησης \( \sin(e^x)\).

Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(x\).

Υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτησης \( e^{\sin x}\).

Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(x\).

Υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτησης \(\ln \tan x\).

Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(x\). Αντί για ln γράφετε log.

Υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτησης \(\arctan e^x\).

Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(x\). 

Βρείτε την παράγωγο \(y'\) της συνάρτησης του \(x\) που ορίζεται έμμεσα (πεπλεγμένα) από τη σχέση
\[2{y^3} + 4{x^2} - y = {x^6}.\]
Η απάντησή σας είναι συνάρτηση των \(x\) και \(y\).

Βρείτε την παράγωγο \(y'\) της συνάρτησης \(y\) του \(x\) που ορίζεται πεπλεγμένα από τη σχέση:
\[7{y^2} + \sin \left( {3x} \right) = 12 - {y^4}.\]
Η απάντησή σας είναι συνάρτηση των \(x\) και \(y\).