Απειροστικός Λογισμός Μιας Μεταβλητής

\( \newcommand{\Ds}{\displaystyle} \newcommand{\PP}{{\mathbb P}} \newcommand{\RR}{{\mathbb R}} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\CC}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\NN}{{\mathbb N}} \newcommand{\TT}{{\mathbb T}} \newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Abs}[1]{{\left|{#1}\right|}} \newcommand{\Floor}[1]{{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}} \newcommand{\Ceil}[1]{{\left\lceil{#1}\right\rceil}} \newcommand{\sgn}{{\rm sgn\,}} \newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}} \newcommand{\Norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}} \newcommand{\Prob}[1]{{{{\mathbb P}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\Mean}[1]{{{{\mathbb E}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\cis}{{\rm cis}\,} \newcommand{\one}{{\mathbf 1}} \newcommand{\One}[1]{{\bf 1}\left(#1\right)} \renewcommand{\Re}{{\rm Re\,}} \renewcommand{\Im}{{\rm Im\,}} \renewcommand{\arg}{{\rm arg\,}} \renewcommand{\Arg}{{\rm Arg\,}} \renewcommand{\deg}{{\rm deg\,}} \renewcommand{\vol}{{\rm vol\,}} \renewcommand{\span}{{\rm span\,}} \newcommand{\ft}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}} \newcommand{\FT}[1]{\left(#1\right)^\wedge} \newcommand{\Lone}[1]{{\left\|{#1}\right\|_{1}}} \newcommand{\Linf}[1]{{\left\|{#1}\right\|_\infty}} \newcommand{\inner}[2]{{\langle #1, #2 \rangle}} \)

Προσεγγίσεις

Προσέγγιση μιας συνάρτησης

Άνοιγμα στο YouTube

Πάτε στο μαγαζί (e-shop, αυτές τις μέρες) να αγοράσετε μια προσέγγιση για την αγαπημένη σας συνάρτηση. Σας ενδιαφέρει ιδιαίτερα να προσεγγίζετε καλά τη συνάρτησή σας, \(f(x)\), όταν το \(x\) είναι πολύ κοντά στο 1.

Εκεί βλέπετε προς πώληση τρεις προσεγγίσεις για τη συνάρτησή σας. Κάθε μια τους είναι μια συνάρτηση \(a(x)\) η οποία είναι εύκολα υπολογίσιμη και προσφέρει κάποια εγγύηση ακρίβειας (μικρού σφάλματος) όσον αφορά την προσέγγιση της \(f(x)\) κοντά στο \(x=1\).

Διατάξτε αυτές τις τρεις προς πώληση προσεγγίσεις της \(f(x)\) σε αύξουσα σειρά των χρημάτων που θα ήσασταν διατεθειμένος να δώσετε για την κάθε μία.

[[1]] \(\le\) [[2]] \(\le\) [[3]].

Τοποθετήστε τις παρακάτω προσεγγίσεις στις σωστές θέσεις:

Προσέγγιση \(a_1(x)\) με εγγύηση σφάλματος \(O(\Abs{1-x}^4)\) για \(x \to 1\).
Προσέγγιση \(a_3(x)\) με εγγύηση σφάλματος \(o(\Abs{1-x}^2)\) για \(x \to 1\).
Προσέγγιση \(a_2(x)\) με εγγύηση σφάλματος \(O(\Abs{1-x}^3)\) για \(x \to 1\).

Θέση 1

231

Θέση 2

231

Θέση 3

231

Αν μια συνάρτηση \(f\) έχει αρκετές παραγώγους είδαμε ότι μπορούμε να περιμένουμε ότι θα την προσεγγίσουμε αρκετά καλά σε ένα διάστημα με το πολυώνυμο Taylor.

Αν επιχειρήσει κανείς να προσεγγίσει μια συνάρτηση σε ολόκληρο το \(\RR\) με ένα πολυώνυμο τότε υπάρχουν αρκετά προβλήματα.

Ένα παράδειγμα είναι η συνάρτηση \(e^x\) που είναι μάλιστα άπειρες φορές παραγωγίσιμη. Για αυτή τη συνάρτηση ισχύει το εξής:

Δεν υπάρχει πολυώνυμο \(p(x)\) τέτοιο ώστε \(\Abs{e^x-p(x)} \le 1\) για κάθε \(x \in \RR\).

Όχι μόνο δε μπορούμε δηλ. να την προσεγγίσουμε όσο καλά θέλουμε με ένα πολυώνυμο σε ολόκληρο το \(\RR\), δε μπορούμε καν να είμαστε (με ένα πολυώνυμο) το πολύ μια μονάδα μακριά από την \(e^x\).

Επιλέξτε όσα από τα παρακάτω θεωρείτε ότι είναι λόγοι που συμβαίνει αυτό.

Επιλέξτε όλες τις σωστές επιλογές:

Η συνάρτηση \(e^x\) αυξάνει τόσο γρήγορα όταν \(x \to +\infty\) που κανένα πολυώνυμο δε μπορεί να την ακολουθήσει για όλα τα \(x\).

Η συνάρτηση \(e^x\) είναι πάντα θετική, όμως κάθε πολυώνυμο πρέπει να έχει ρίζα.

Δε μπορεί ένα πολυώνυμο που τείνει στο \(+\infty\) για \(x \to +\infty\) να είναι φραγμένο στο \((-\infty, 0)\), όπως κάνει η συνάρτηση \(e^x\).

Η προσέγγιση Taylor για το ημίτονο

Άνοιγμα στο YouTube

Βρείτε αρχικά το πολυώνυμο Taylor γύρω από το 0 βαθμού 3 για τη συνάρτηση \(e^x\). Σκοπός μας είναι να βρούμε προσεγγιστικά την τιμή της \(e^x\) για \(x = 1/2\) χρησιμοποιώντας το πολυώνυμο αυτό, αλλά και να βρούμε ένα άνω φράγμα για το σφάλμα (τη διαφορά δηλ. της πραγματικής τιμής από την προσεγγιστική που υπολογίσαμε).

Το σφάλμα \(R_3(x)\) ισούται με \(\Ds \frac{f^{(4)}(\xi) x^4}{4!}\), όπου \(f(x) = e^x\) και \(\xi\) είναι ένας αριθμός στο \((0, \frac12)\). Από την άλλη μεριά, αφού η \(e^x\) είναι αύξουσα συνάρτηση έχουμε
\[(*)\ \ \ \ e^\xi \le e^{1/2} \le 3^{1/2} \le 2.\]

Προσέξτε ότι δεν έχουμε κάνει καμία πράξη μέχρι στιγμής πέρα από τις στοιχειώδεις αλγεβρικές πράξεις πρόσθεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση και αφαίρεση. Ειδικότερα, δεν έχουμε χρησιμοποιήσει υπολογισμούς ρίζας ούτε φυσικά υπολογισμούς εκθετικής συνάρτησης, πράγμα που άλλωστε θα ήταν αντιφατικό με το σκοπό μας που είναι να προσεγγίσουμε την εκθετική συνάρτηση από μια συνάρτηση που μπορούμε να υπολογίσουμε με μολύβι και χαρτί κάνοντας μόνο τις πράξεις που ξέρουμε να κάνουμε, δηλ. τις προαναφερθείσες.

Χρησιμοποιώντας την (*) ποιο είναι ένα άνω φράγμα που μπορείτε να δώσετε για το σφάλμα:
\(\Abs{R_n(0.5)} \le\) Προεπισκόπηση τύπουΓράψτε έναν τύπο για να εμφανιστεί εδώ.
(Ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων.)

Ποια είναι η προσεγγιστική τιμή που βρίσκετε με το πολυώνυμο Taylor που υπολογίσατε για την τιμή \(e^{1/2}\); Προεπισκόπηση τύπουΓράψτε έναν τύπο για να εμφανιστεί εδώ.
(Ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων.)

Τέλος βάλτε στο κομπιουτεράκι σας ή τον υπολογιστή σας την πράξη \(e^{1/2}\) και δείτε πόσο κοντά πέσατε με τον υπολογισμό σας σε αυτό που βρήκε ο υπολογιστής σας (ο οποίος, και αυτός φυσικά, υπολογίζει το \(e^x\) προσεγγιστικά). Στο δικό μου υπολογιστή πάντως η διαφορά ανάμεσα στην προσέγγιση με το πολυώνυμο Taylor και την προσέγγιση του υπολογιστή μου για το \(e^{1/2}\) είναι 0.003, κατά τι μικρότερη από το άνω φράγμα του σφάλματος που προϋπολογίσουμε παραπάνω.

Το θεώρημα μέσης τιμής του Cauchy

Άνοιγμα στο YouTube

Δύο αυτοκίνητα Α και Β κινούνται για μια ώρα. Το αυτοκίνητο A διανύει συνολικά διπλάσια απόσταση από το Β μέσα σε αυτή την ώρα. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και είναι συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του Cauchy.

Υποθέτουμε ότι οι κινήσεις (συναρτήσεις θέσης) των δύο αυτοκινήτων είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις του χρόνου. Μεταξύ άλλων αυτό σημαίνει ότι ορίζεται η ταχύτητα του κάθε αυτοκινήτου σε κάθε χρονική στιγμή. Υποθέτουμε ακόμη ότι οι ταχύτητές τους δεν είναι ποτέ 0 μέσα σε αυτή την ώρα.

Επιλέξτε όλες τις σωστές επιλογές:

Κάποια στιγμή μέσα σε αυτή την ώρα το αυτοκίνητο Α έχει διπλάσια ταχύτητα από το αυτοκίνητο Β.

Σε κάθε χρονική στιγμή η ταχύτητα του αυτοκινήτου Α είναι διπλάσια από την ταχύτητα του αυτοκινήτου Β.

Ο πρώτος κανόνας L Hopital

Άνοιγμα στο YouTube