\( \newcommand{\Ds}{\displaystyle} \newcommand{\PP}{{\mathbb P}} \newcommand{\RR}{{\mathbb R}} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\CC}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\NN}{{\mathbb N}} \newcommand{\TT}{{\mathbb T}} \newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Abs}[1]{{\left|{#1}\right|}} \newcommand{\Floor}[1]{{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}} \newcommand{\Ceil}[1]{{\left\lceil{#1}\right\rceil}} \newcommand{\sgn}{{\rm sgn\,}} \newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}} \newcommand{\Norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}} \newcommand{\Prob}[1]{{{{\mathbb P}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\Mean}[1]{{{{\mathbb E}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\cis}{{\rm cis}\,} \newcommand{\one}{{\mathbf 1}} \newcommand{\One}[1]{{\bf 1}\left(#1\right)} \renewcommand{\Re}{{\rm Re\,}} \renewcommand{\Im}{{\rm Im\,}} \renewcommand{\arg}{{\rm arg\,}} \renewcommand{\Arg}{{\rm Arg\,}} \renewcommand{\deg}{{\rm deg\,}} \renewcommand{\vol}{{\rm vol\,}} \renewcommand{\span}{{\rm span\,}} \newcommand{\ft}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}} \newcommand{\FT}[1]{\left(#1\right)^\wedge} \newcommand{\Lone}[1]{{\left\|{#1}\right\|_{1}}} \newcommand{\Linf}[1]{{\left\|{#1}\right\|_\infty}} \newcommand{\inner}[2]{{\langle #1, #2 \rangle}} \)

1. 14-3-2026: Λύσεις των προβλημάτω του διαγωνίσματος εδώ και εδώ σε στενή μορφή για smartphones.
2. 13-3-2026: Διόρθωση βαθμολογίας: αν ελέγξετε τη βαθμολογία σας θα δείτε ότι για πολλούς έχει ανέβει. Αυτό συνέβη επειδή θεώρησα ότι μια από τις ασκήσεις πολλαπλών επιλογών που σας είχα βάλει δεν ήταν διατυπωμένη όσο καθαρά έπρεπε. Αυτή η ερώτηση θεωρήθηκε σωστή για όλους (φαίνεται με αστεράκι στις σωστές απαντήσεις).
3. 8-3-2026: Βαθμοί πρώτου διαγωνίσματος εδώ. Αν θέλετε να δείτε το γραπτό σας μπορείτε να το κάνετε στο εργαστήριο της Παρασκευής 13/3/2026.
4. 27-2-2026: Την επόμενη Τρίτη 3/3/2026 και ώρες 1-3μμ θα γίνει στο Αμφ. Α203 έκτακτο μάθημα (κυρίως λύση ασκήσεων) ως προετοιμασία για το διαγώνισμα της Τετάρτης 4/3/2026.
5. 20-2-2026: Από την επόμενη Παρασκευή, 27/2/2026, το εργαστήριο θα γίνεται μόνο τις ώρες 1-3μμ (επειδή υπάρχει μάθημα Διαφορικών Εξισώσεων 11-1)..
6. 16-2-2026: Για να σας βοηθήσει στην αφομοίωση της γνώσης που παίρνετε στην Ανάλυση ΙΙ παίρνετε επίσης καθημερινά και ένα χαπάκι Ανάλυσης ΙI, 3mg. Τα συστατικά αυτού του χαπιού αλλάζουν όσο προχωράει το μάθημα μέσα στο εξάμηνο.
7. 10-2-2026: Κάντε επανάληψη στην ύλη της Ανάλυσης Ι! Παίρνετε καθημερινά ένα χαπάκι Ανάλυσης Ι, 3mg.
   Το εργαστήριο του μαθήματος ξεκινάει από τη 2η εβδομάδα των μαθημάτων.
8. 9-2-2026: Αρχίζει το εαρινό εξάμηνο.

Θα ανακοινωθεί.

Δε 3-5, Τε 3-5. Εργαστήριο: Πα 1-3.
Αίθουσα: Α201 (εργαστήριο στην Ε212).

Ώρες γραφείου διδάσκοντα: Παρασκευή 1-2, στο Ε 212.

Ολοκλήρωμα Riemann (βάσει αθροισμάτων Darboux). Κριτήριο ολοκληρωσιμότητας. Ολοκληρωσιμότητα συνεχών συναρτήσεων και μονότονων συναρτήσεων. Οι βασικές αλγεβρικές και ανισοτικές ιδιότητες του ολοκληρώματος. Ισοδυναμία των ορισμών του ολοκληρώματος βάσει αθροισμάτων Riemann και βάσει αθροισμάτων Darboux (ίσως χωρίς απόδειξη).

Ακολουθίες συναρτήσεων. Κατά σημείο σύγκλιση και ομοιόμορφη σύγκλιση. Ομοιόμορφη σύγκλιση σε σχέση με συνέχεια, παραγωγισιμότητα και ολοκληρωσιμότητα. Θεώρημα προσέγγισης Weierstrass.

Σειρές συναρτήσεων. Κατά σημείο σύγκλιση και ομοιόμορφη σύγκλιση. Κριτήριο Weierstrass. Δυναμοσειρές. Διάστημα σύγκλισης δυναμοσειράς. Το θεώρημα Abel για την συνέχεια δυναμοσειράς στο διάστημα σύγκλισής της. Παραγωγισιμότητα δυναμοσειράς.

Μετρικοί χώροι. Ο Ευκλείδειος χώρος και ο χώρος των συνεχών συναρτήσεων. Εσωτερικά, οριακά και συνοριακά σημεία. Εσωτερικό, κλειστότητα και σύνορο συνόλου. Ανοικτά και κλειστά σύνολα και βασικές ιδιότητες. Όριο ακολουθίας. Πληρότητα. Όριο και συνέχεια συνάρτησης. Αντίστροφες εικόνες ανοικτών και κλειστών συνόλων μέσω συνεχών συναρτήσεων. Συμπάγεια. Ένα σύνολο είναι συμπαγές αν και μόνο αν κάθε ακολουθία στο σύνολο έχει υπακολουθία συγκλίνουσα σε σημείο του συνόλου. Ένα σύνολο στον Ευκλείδειο χώρο είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε συμπαγές σύνολο έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή και είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Θα χρησιμοποιήσουμε κυρίως τα παρακάτω κείμενα.

[Π]	Μ. Παπαδημητράκης	Ανάλυση	(δείτε εδώ)
[Μ]	Θ. Μήτσης	Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και ΙΙ	(δείτε εδώ)
[ΜΜ]	Θ. Μήτσης	Μετρικοί χώροι	(δείτε εδώ)
[Γ]	Α. Γιαννόπουλος	Απειροστικός Λογισμός ΙΙ	(δείτε εδώ)

Κάντε επανάληψη στην ύλη της Ανάλυσης Ι! Παίρνετε καθημερινά ένα χαπάκι Ανάλυσης Ι, 3mg.

Ο βαθμός σας θα προκύψει από 3 υποχρεωτικά διαγωνίσματα μέσα στο εξάμηνο, χωρίς τελικό διαγώνισμα. Έτσι η ύλη του μαθήματος χωρίζεται περίπου στα 3 και εξετάζεται χωριστά. Οι συντελεστές του κάθε διαγωνίσματος είναι 20%, 40%, 40% (ο χαμηλότερός σας βαθμός μετράει 20% και οι δύο άλλοι από 40%).

Τα διαγωνίσματα θα γίνουν στις παρακάτω μέρες: Τετάρτη 4 Μαρτίου 2026, Τετάρτη 1 Απριλίου 2026 και Τετάρτη 20 Μαΐου 2026. Και τις τρεις μέρες τα διαγωνίσματα θα γίνουν την ώρα του μαθήματος, δηλ. 3-5μμ.

Αν κάποιος από σας έχει αντικειμενικό λόγο για τον οποίο δε μπορεί να γράψει τα ενδιάμεσα διαγωνίσματα και θέλει να εξεταστεί μόνο με τελική (ενδεχομένως προφορική) εξέταση θα πρέπει να μου στείλει email μέχρι 20 Φεβρουαρίου 2026 εξηγώντας τους λόγους που έχει και μετά από έγκριση θα δώσει μόνο τελική εξέταση. Όσοι δεν έχουν πάρει έγκριση μέχρι αυτή την ημερομηνία θα πρέπει αναγκαστικά να συμμετάσχουν στα 3 υποχρεωτικά διαγωνίσματα.

Εδώ φαίνονται όσοι θα δώσουν μόνο την τελική εξέταση.

Δε, 9 Φεβ. 2026

Επαναλάβαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Έπειτα ορίσαμε τι σημαίνει για μια συνάρτηση να είναι ομοιόμορφα συνεχής σε ένα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. Είδαμε διάφορα παραδείγματα συναρτήσεων που είναι ομοιόμορφα συνεχείς σε ένα σύνολο και άλλων που δεν ήταν. Μια συνάρτηση που είναι ομοιόμορφα συνεχής σε ένα σύνολο είναι αυτόματα και συνεχής εκεί (αλλά το αντίστροφο εν γένει δεν ισχύει). Μια συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη σε ένα σύνολο και έχει εκεί φραγμένη παράγωγο είδαμε ότι είναι ομοιόμορφα συνεχής σε αυτό το σύνολο. Ομοίως αν μια συνάρτηση είναι Lipschitz σε ένα σύνολο (είδαμε τον ορισμό). Αποδείξαμε ότι μια συνάρτηση συνεχής σε κλειστό και φραγμένο διάστημα είναι και ομοιόμορφα συνεχής εκεί. Είδαμε μερικές παραλλαγές αυτού με τα πλευρικά όρια της συνάρτησης σε ένα διάστημα. Διαβάστε από τις σημειώσεις Μήτση, Κεφ. 5 (δεν τα έχουμε κάνει όλα αλλά θα τα τελειώσουμε την Τετάρτη).

Τε, 11 Φεβ. 2026

Σήμερα τελειώσαμε τα του Κεφ. 5 (σημειώσεις Μήτση) σχετικά με την ομοιόμορφη συνέχεια συναρτήσεων $f:A \to \RR$. Δείξαμε ότι αν μια συνάρτηση είναι ομοιόμορφα συνεχής σε ένα διάστημα $I_1$ και ομοιόμορφα συνεχής σε ένα διάστημα $I_2$ και τα διαστήματα αυτά έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο τότε η συνάρτηση είναι ομοιόμορφα συνεχής και στο σύνολο (διάστημα) $I_1 \cup I_2$. Μεταξύ άλλων λύσαμε τις ασκήσεις 5.1, 5.6 και 5.10. Προσπαθήστε να λύσετε και τις υπόλοιπες ασκήσεις μόνοι σας.

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 1 εδώ.
Και σε στενή μορφή για smartphones εδώ.

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 1 (λύσεις) εδώ.
Και σε στενή μορφή για smartphones (λύσεις) εδώ.

Δε, 16 Φεβ. 2026

Αρχίσαμε να μιλάμε για τον ορισμό του ολοκληρώματος Riemann και τις Riemann ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Μιλήσαμε για διαμερίσεις διαστημάτων και για τα άνω και κάτω αθροίσματα που αντιστοιχούν σε μια συνάρτηση σε ένα διάστημα ως προς μια διαμέριση αυτού του διαστήματος. Ορίσαμε τα άνω και κάτω ολοκληρώματα μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα. Το ολοκλήρωμα Riemann υπάρχει όταν αυτά είναι ίσα και είναι η κοινή τους τιμή. Είδαμε παραδείγματα ολοκληρώσιμων συναρτήσεων καθώς και μια συνάρτηση, τη χαρακτηριστική συνάρτηση των ρητών $$ \chi_\QQ(x) = \begin{cases} 1 & \text{ αν } x \in \QQ \\ 0 & \text{ αλλιώς } \end{cases}, $$ που δεν είναι R-ολοκληρώσιμη. Αποδείξαμε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε κλειστό και φραγμένο διάστημα είναι R-ολοκληρώσιμη (το κλειδί είναι ότι κάθε τέτοια συνάρτηση είναι αυτόματα ομοιόμορφα συνεχής). Διαβάστε από τις σημειώσεις Μήτση, Κεφ. 7 έως και σελ. 103.

Τε, 18 Φεβ. 2026

Σήμερα τελειώσαμε ουσιαστικά τη συζήτηση για το ολοκλήρωμα Riemann (Κεφ. 7 των σημειώσεων Μήτση). Είδαμε τις στοιχειώδεις ιδιότητες του ολοκληρώματος (μονοτονία ως προς τη συνάρτηση που ολοκληρώνεται, προσθετικότητα ως προς το διάστημα και προσθετικότητα (γραμμικότητα) ως προς τη συνάρτηση που ολοκληρώνεται. Αποδείξαμε το θεμελιώδες θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού. Από το Κεφ. 7 διαβάστε μόνοι σας και το θεώρημα μέσης τιμής για ολοκληρώματα καθώς και τον ορισμό στο τέλος του κεφαλαίου της λογαριθμικής και της εκθετικής συνάρτησης.

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 2 εδώ.
Και σε στενή μορφή για smartphones εδώ.

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 2 (λύσεις) εδώ.
Και σε στενή μορφή για smartphones (λύσεις) εδώ.

Τε, 25 Φεβ. 2026

Μιλήσαμε για ακολουθίες συναρτήσεων $f_n(x)$, με $x \in A$ (κάποιο υποσύνολο του $\RR$) και $n=1, 2, \ldots$. Είδαμε τις έννοιες της κατά σημείο σύγκλισης $f_n \to f$ και ομοιόμορφης σύκλισης $f_n \to f$ στο $A$. Αποδείξαμε ότι η ομοιόμορφη σύγκλιση συνεπάγεται την κατά σημείο σύγκλιση αλλά η αντίστροφη συνεπαγωγή δεν ισχύει. Είδαμε πολλά παραδείγματα. Αποδείξαμε ότι αν $f_n \to f$ και $g_n \to g$ ομοιόμορφα στο $A$ τότε ισχύει και $f_n + g_n \to f+g$ ομοιόμορφα στο $A$. Συμβαίνει επίσης $f_n g_n \to f g$ αν γνωρίζουμε και ότι οι $f, g$ είναι φραγμένες. Αποδείξαμε επίσης ότι αν $f_n \to f$ ομοιόμορφα στο $A$ και οι $f_n$ είναι όλες συνεχείς στο $A$ τότε και η $f$ είναι συνεχής. Αυτό είναι ένας συχνός τρόπος να αποδεικνύει κανείς ότι ένα κατά σημείο όριο συνεχών συναρτήσεων δεν είναι ομοιόμορφο όριο. Μιλήσαμε επίσης και για τη σύγκλιση $\int_a^b f_n \to \int_a^b f$ αν $f_n$ είναι Riemann ολοκληρώσιμες και $f_n \to f$ ομοιόμορφα αλλά δεν το αποδείξαμε. Από τις σημειώσεις Μήτση διαβάστε το Κεφ. 8 μέχρι τη σελ. 125.

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 3 εδώ.
Και σε στενή μορφή για smartphones εδώ.

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 3 (λύσεις) εδώ.
Και σε στενή μορφή για smartphones (λύσεις) εδώ.

Δε, 2 Μαρ. 2026

Αποδείξαμε ότι ομοιόμορφο όριο Riemann ολοκληρώσιμων συναρτήσεων $f_n \to f$ σε ένα διάστημα $[a, b]$ είναι επίσης Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση και ότι $\lim_n \int_a^b f_n = \int_a^b f$. Το υπόλοιπο χρόνο λύσαμε διάφορες ασκήσεις από το Κεφ. 8 των σημειώσεων Μήτση.

Τρ, 3 Μαρ. 2026

Λύσαμε διάφορες ασκήσεις ως προετοιμασία για το διαγώνισμα της Τετάρτης 4 Μαρτίου 2026.

Τε, 4 Μαρ. 2026

Είχαμε σήμερα το πρώτο μας διαγώνισμα. Την Παρασκευή κανονικά στο εργαστήριο για το 3ο μας φυλλάδιο ασκήσεων.

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 4 εδώ.
Και σε στενή μορφή για smartphones εδώ.

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 4 (λύσεις) εδώ.
Και σε στενή μορφή για smartphones (λύσεις) εδώ.

Δε, 9 Μαρ. 2026

Αρχίσαμε να μιλάμε για μετρικούς χώρους. Ορίσαμε την έννοια της μετρικής και του μετρικού χώρου και είδαμε πολλά παραδείγματα. Ορίσαμε τι σημαίνει ανοιχτός δίσκος $D(x, \epsilon)$ σε ένα μετρικό χώρο $X$, όπου $x \in X, \epsilon\gt 0$ και είδαμε επίσης αρκετά παραδείγματα. Ορίσαμε την έννοια της σύγκλισης σε ένα μετρικό χώρο και είδαμε ότι η ομοιόμορφη σύγκλιση συναρτήσεων που είδαμε τις προηγούμενες εβδομάδες μπορεί να διατυπωθεί ως σύγκλιση σε ένα κατάλληλο μετρικό χώρο. Διαβάστε από το πρώτο κεφάλαιο των σημειώσεων Μήτση.

Τε, 11 Μαρ. 2026

Σήμερα συνεχίσαμε να μιλάμε για μετρικούς χώρους. Είδαμε μερικά ακόμη παραδείγματα για το πώς μοιάζει ο ανοιχτός δίσκος $D(x, r)$ σε διάφορους μετρικούς χώρους. Μελετήσαμε έπειτα τις έννοιες της σύγκλισης, των φραγμένων συνόλων, των ακολουθιών Cauchy και άλλων εννοιών που ο ορισμός αλλά και πολλές ιδιότητές τους μεταφέρονται εύκολα από τις αντίστοιχες έννοιες που ήδη ξέρουμε στο $\RR$. Μιλήσαμε επίσης για ανοιχτά σύνολα σε ένα μετρικό χώρο, είδαμε μερικά παραδείγματα και αποδέιξαμε ότι ενώσεις οσωνδήποτε στο πλήθος ανοιχτών συνόλων είναι ανοιχτό σύνολο και επίσης τομές πεπερασμένου πλήθους ανοιχτών συνόλων είναι ανοιχτό σύνολο επίσης. Διαβάστε από τις σημειώσεις Μήτση μέχρι και την αρχή του κεφαλαίου για ανοιχτά σύνολα.

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 5 εδώ.
Και σε στενή μορφή για smartphones εδώ.