Θεωρία Μέτρου
Μεταπτυχιακό Μάθημα

Μιχάλης Κολουντζάκης

Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, Λεωφόρος Κνωσού, 714 09 Ηράκλειο, E-mail: kolount@gmail.com

Φθινόπωρο 2005-06

Περιεχόμενα

• 1 Ωράριο
• 2 Περιγραφή του μαθήματος
• 3 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις
• 4 Γενικές ανακοινώσεις
• 5 Ημερολόγιο Μαθήματος
  • 5.1 Τρ, 27/9/05: Εισαγωγή σε αφηρημένα μέτρα
  • 5.2 Τε, 28/9/05: Θεωρήματα σύγκλισης
  • 5.3 Τρ, 4/10/05: Τοπολογικά προαπαιτούμενα για το Θ. αναπαράστασης του Riesz
  • 5.4 Πέ, 6/10/05: Το Θ. αναπαράστασης του Riesz
  • 5.5 Τρ, 11/10/05: Το μέτρο Lebesgue
  • 5.6 Πέ, 13/10/05: Θ. Lusin, Θ. Vitali-Caratheodory, χώροι
  • 5.7 Τρ, 25/10/05: Λύση ασκήσεων
    • 5.7.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ:
  • 5.8 Πέ, 27/10/05: Λύση ασκήσεων
  • 5.9 Δε, 31/10/05: Λύση ασκήσεων
  • 5.10 Τρ, 1/11/05: Πρώτο διαγώνισμα
  • 5.11 Πέ, 3/11/05: Χώροι Hilbert
  • 5.12 Τρ, 8/11/05: Ο χώρος Hilbert
  • 5.13 Πέ, 10/11/05: Σειρές Fourier και αθροισιμότητα
  • 5.14 Τρ, 15/11/05: Μέθοδοι χώρων Banach και εφαρμογές σε προβλήματα σειρών Fourier
  • 5.15 Τρ, 22/11/05: Θεώρημα Hahn-Banach και εφαρμογές
  • 5.16 Πέ, 24/11/05: Μιγαδικά μέτρα
  • 5.17 Τρ, 29/11/05: Δυϊκοί χώρων
  • 5.18 Πέ, 1/12/05: Λύση ασκήσεων
  • 5.19 Τρ, 6/12/05: Δεύτερο διαγώνισμα
  • 5.20 Πέ, 9/12/05: Χώροι και μέτρα γινόμενα
  • 5.21 Τρ, 13/12/05: Παραγώγιση μέτρων
  • 5.22 Πέ, 15/12/05: Συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης, απολύτως συνεχείς συναρτήσεις
  • 5.23 Δε, Τε, Πα, 23-25-27/1/06: Σειρά διαλέξεων για τον μετασχηματισμό Fourier, και Σημειώσεις
  • 5.24 Σά, 4/2/06: Τελικό διαγώνισμα

1 Ωράριο

Τρ 3-5 (Λ 206), Πε 3-5 (ΡΑ 105) (ισχύει από την εβδομάδα της 3ης Οκτωβρίου 2005).

Ώρες γραφείου: Τε 12-2 (Γ 111)

2 Περιγραφή του μαθήματος

Το μάθημα ``Θεωρία Μέτρου'' είναι μια εισαγωγή στη θεωρία ολοκλήρωσης καθώς και σε συναφείς έννοιες και αποτελέσματα της Πραγματικής και Συναρτησιακής ανάλυσης και της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Σκοπός του μαθήματος είναι να διδάξει στο φοιτητή τις βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στο χτίσιμο της θεωρίας του ολοκληρώματος αλλά και χρήση του ολοκληρώματος αυτού (ολοκλήρωμα Lebesgue) στη Μαθηματική πράξη.

Θα ακολουθήσουμε το βιβλίο του Walter Rudin, Real and Complex Analysis, και σκοπός μας είναι να καλύψουμε τα 9 πρώτα κεφάλαια.

Πρόκειται για ένα πολύ καλογραμμένο και πλήρες βιβλίο, κλασικό στο είδος του, που είναι όμως ταυτόχρονα και αρκετά απαιτητικό από τον αναγνώστη. Θα μας δώσει την ευκαιρία να δούμε και πολλές σχετικές και βασικές έννοιες από τη Γενική Τοπολογία, τη Συναρτησιακή Ανάλυση, την Ανάλυση Fourier και τη Θεωρία Πιθανοτήτων.

3 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις

Ο βαθμός σας θα υπολογιστεί κατά 40% από την τελική εξέταση, και κατά 30% το καθένα από δύο ενδιάμεσα διαγωνίσματα που θα γίνουν στις

• Τρ, 1 Νοεμβρίου 2005, και
• Τρ, 6 Δεκεμβρίου 2005

στην ώρα του μαθήματος και στην ίδια αίθουσα.

Θα σας ανατίθενται προβλήματα προς λύση, κυρίως μέσα από το βιβλίο, και περιμένω πως θα τα λύνετε. Δε θα βαθμολογηθείτε απ' ευθείας γι' αυτά, αλλά θα ζητώ από σας να παρουσιάζετε λύσεις μέσα στο μάθημα, και αυτό θα μετρήσει. Επίσης η λύση αυτών των ασκήσεων είναι και ο μόνος ουσιαστικά τρόπος προετοιμασίας για τα διαγωνίσματα.

4 Γενικές ανακοινώσεις

1. Την εβδομάδα της 17ης Οκτωβρίου δε θα γίνει μάθημα.

5 Ημερολόγιο Μαθήματος

Η σελίδα αυτή θα ενημερώνεται τουλάχιστον μετά από κάθε μάθημα και σκοπό έχει να μεταδίδει μερικές βασικές χρήσιμες πληροφορίες για το περιεχόμενο του μαθήματος (π.χ. τι να προσέξετε, υποδείξεις για λύσεις των ασκήσεων, κ.ά.) καθώς και για διαδικαστικά θέματα.

Παρακαλώ να τη συμβουλεύεστε τουλάχιστον 2-3 φορές την εβδομάδα.

Μπορείτε να δείτε εδώ την ιστοσελίδα για το μάθημα της Θ. Μέτρου που δίδαξα το φθινόπωρο του 2000-01.

5.1 Τρ, 27/9/05: Εισαγωγή σε αφηρημένα μέτρα

Είδαμε τι σημαίνει χώρος με $\sigma$-άλγεβρα και μετρήσιμη συνάρτηση πάνω σε αυτόν. Θυμηθήκαμε ορισμένα βασικά στοιχεία τοπολογικών και μετρικών χώρων και αποδείξαμε ότι σύνθεση συνεχούς με μετρήσιμη συνάρτηση είναι μετρήσιμη. Είδαμε επίσης ότι η μετρησιμότητα συναρτήσεων διατηρείται με τις αλγεβρικές πράξεις αλλά και από οριακές διαδικασίες.

Ορίσαμε τα σύνολα Borel ως την ελάχιστη $\sigma$-άλγεβρα που περιέχει τα ανοιχτά σύνολα σε ένα τοπολογικό χώρο.

Ορίσαμε τις απλές συναρτήσεις σε ένα χώρο με $\sigma$-άλγεβρα και είδαμε ότι προσεγγίζουν τις τυχούσες μετρήσιμες συναρτήσεις κατά σημείο.

Ορίσαμε την έννοια του θετικού μέτρου πάνω σε μια $\sigma$-άλγεβρα και είδαμε μερικά οριακά θεωρήματα για τα μέτρα συνόλων.

Ορίσαμε το ολοκλήρωμα απλής μη-αρνητικής μετρήσιμης συνάρτησης πάνω σε ένα μετρήσιμο σύνολο $E$ και επίσης το ολοκλήρωμα μετρήσιμης μη-αρνητικής συνάρτησης.

5.2 Τε, 28/9/05: Θεωρήματα σύγκλισης

Τελειώσαμε το 1ο κεφάλαιο του βιβλίου.

Σήμερα αποδείξαμε το Θ. Μονότονης Σύγκλισης (γαι μη-αρνητικές μετρήσιμες), το ότι το ολοκλήρωμα αθροίσματος σειράς με μη-αρνητικούς ότους είναι η σειρά των ολοκληρωμάτων και το Θ. Κυριαρχημένης Σύγκλισης (Θ. Lebesgue).

Ορίσαμε το χώρο $L^1(\mu)$ για ένα θετικό μέτρο $\mu$.

Λύστε τις παρακάτω ασκήσεις του Κεφ 1: 1, 3, 5, 6, 7, 10, 12.

5.3 Τρ, 4/10/05: Τοπολογικά προαπαιτούμενα για το Θ. αναπαράστασης του Riesz

Σήμερα καλύψαμε διάφορες τοπολογικές προτάσεις που θα μας είναι χρήσιμες στην απόδειξη του Θ. αναπαράστασης του Riesz. Ειδικότερα δείξαμε το Λήμμα του Urysohn και το χρησιμοποιήσαμε για να δείξαμε την ύπαρξη συνεχούς διαμέρισης της μονάδας (Θ. 2.13).

5.4 Πέ, 6/10/05: Το Θ. αναπαράστασης του Riesz

Διατυπώσαμε ακριβώς και αποδείξαμε (με κάποιες παραλείψεις) το Θ. Αναπαράστασης του Riesz.

Λύστε τις παρακάτω ασκήσεις του Κεφ 2: 1-4.

5.5 Τρ, 11/10/05: Το μέτρο Lebesgue

Λύσαμε διάφορες ασκήσεις στο μάθημα.

Αναφερθήκαμε χωρίς πολλή λεπτομέρεια στην έννοια του regularity (inner και outer) ενός χώρου μέτρου και πώς μπορούμε να την εγγυηθούμε.

Χρησιμοποιήσαμε το Θ. αναπαράστασης του Riesz για να κατασκευάσουμε το μέτρο Lebesgue στον Ευκλείδιο χώρο ${\mathbf R}^k$, ένα μέτρο Borel δηλ. πάνω σε αυτόν το χώρο με τη συνιθισμένη του τοπολογία που πάνω σε ορθογώνια με τις πλευρές τους παράλληλες με τους άξονες μας δίνει τον όγκο τους και που είναι αναλλοίωτο από μεταφορές. Ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης $f \in C_c({\mathbf R}^k)$ ως προς το μέτρο Lebsgue ταυτίζεται με το Riemann ολοκλήρωμα αυτής της συνάρτησης.

Είδαμε ότι υπάρχουν σύνολα στο ${\mathbf R}^k$ που δεν είναι Lebesgue μετρήσιμα.

Λύστε τις ασκήσεις του Κεφ. 2: 9-12, 14, 15, 19.

Επίσης την ακόλουθη (που δεν τη διατύπωσα σωστά στο μάθημα): αν $f = \chi_{(0,1) \cap {\mathbf Q}}$ και $\epsilon > 0$ βρείτε μια άνω ημισυνεχή συνάρτηση $u$ και μια κάτω ημισυνεχή συνάρτηση $v$, τέτοιες ώστε $u \le f \le v$ και $\int_{(0,1)} v-u \le \epsilon$.

5.6 Πέ, 13/10/05: Θ. Lusin, Θ. Vitali-Caratheodory, χώροι $L^p$

Αποδείξαμε το θεώρημα του Lusin (κάθε μετρήσιμη συνάρτηση μπορεί να ταυτιστεί με μια συνεχή εκτός από κομμάτι του χώρου με οσοδήποτε μικρό μέτρο) και το θεώρημα Vitali-Caratheodory (κάθε ολοκληρώσιμη πραγματική συνάρτηση μπορεί να εγκλωβιστεί από πάνω και από κάτω από κάτω και άνω ημισυνεχείς συναρτήσεις αντίστοιχα που η $L^1$ διαφορά τους είναι οσοδήποτε μικρή θέλουμε).

Επίσης ορίσαμε τους χώρους και νόρμες $L^p$ ενός χώρου μέτρου, και αποδείξαμε τις ανισότητες Hölder και Minkowski (μέσω της ανισότητας του Jensen). Δείξαμε την πληρότητα των χώρων $L^p$. Επίσης ότι κάθε ακολουθία συναρτήσεων που είναι Cauchy στην $L^p$ μετρική έχευ υπακολουθία που συγκλίνει σχεδόν παντού.

Δε δείξαμε την πληρότητα των $C_c(X)$ συναρτήσεων στους χώρους $L^p$ αλλά αυτό μπορείτε να το διαβάσετε μόνοι σας.

Στις μέρες που μας μένουν μέχρι το πρώτο διαγώνισμα θα ασχοληθούμε κυρίως με τις ασκήσεις του Κεφ. 3.

Προσπαθείστε να τις λύσετε όλες. Από τις πρώτες δώστε ιδιαίτερη προσοχή στις 4, 5.

5.7 Τρ, 25/10/05: Λύση ασκήσεων

Λύσαμε διάφορες ασκήσεις από το Κεφ. 3.

5.7.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ:

Τη Δευτέρα 31/10/05, 5-7 μμ, στην αίθουσα ΡΑ 105, θα έχουμε έκτακτη συνάντηση για λύση ασκήσεων.

5.8 Πέ, 27/10/05: Λύση ασκήσεων

Λύσαμε διάφορες ασκήσεις από τα Κεφ. 2 και 3.

5.9 Δε, 31/10/05: Λύση ασκήσεων

Λύσαμε διάφορες ασκήσεις από τα Κεφ. 2 και 3.

5.10 Τρ, 1/11/05: Πρώτο διαγώνισμα

Από 3 έως 5 μμ είχαμε το πρώτο διαγώνισμα που μπορεί κανείς να δεί εδώ σε μορφή PDF.

5.11 Πέ, 3/11/05: Χώροι Hilbert

Μιλήσαμε για χώρους Hilbert και καλύψαμε μερικές βασικές έννοιες. (Κεφ. 4.1 - 4.18).

5.12 Τρ, 8/11/05: Ο χώρος Hilbert $L^2({\mathbf R}/2\pi {\mathbf Z})$

Εξειδικεύσαμε όσα μάθαμε για χώρους Hilbert στον χώρο $L^2({\mathbf T})$, όπου ${\mathbf T}= {\mathbf R}/2\pi {\mathbf Z}$ είναι ο κύκλος μήκους $2\pi$, που μπορούμε επίσης να τον δούμε ως το μοναδιαίο κύκλο στο μιγαδικό επίπεδο. Το σημαντικότερο αποτέλεσμα που δείξαμε είναι ότι τα τριγωνομετρικά πολυώνυμα είναι πυκνά, με την ομοιόμορφη μετρική, στις συνεχείς συναρτήσεις $C({\mathbf T})$, ή αλλιώς στις συνεχείς $2\pi$-περιοδικές συναρτήσεις πάνω στο ${\mathbf R}$.

Λύστε τις ασκήσεις 16 και 18 του Κεφ. 3, και τις 1-5 του Κεφ. 4.

5.13 Πέ, 10/11/05: Σειρές Fourier και αθροισιμότητα

Υποθέτοντας γνωστό το θ. Fubini, που θα αποδείξουμε αργότερα, κάναμε μια μικρή παρένθεση στην πορεία του μαθήματος και είπαμε μερικά πράγματα για σειρές Fourier συναρτήσεων του $L^1({\mathbf T})$ και τρόπους ``σύγκλισης'' αυτών στις αντίστοιχες συναρτήσεις. Καλύψαμε τις 2 πρώτες ενότητες του Κεφ. 1 του βιβλίου του Y. Katznelson, An introduction to harmonic analysis.

5.14 Τρ, 15/11/05: Μέθοδοι χώρων Banach και εφαρμογές σε προβλήματα σειρών Fourier

Μιλήσαμε για χώρους Banach και αποδείξαμε το θ. Baire, και μέσω αυτού τα θεωρήματα Banach-Steinhaus και Ανοιχτής Απεικόνισης. Ως εφαρμογές αυτών των θεωρημάτων δείξαμε (α) ότι υπάρχουν συναρτήσεις στον $L^1({\mathbf T})$ που η σειρά Fourier τους αποκλίνει σε ένα σημείο ή και σε αριθμήσιμο πλήθος από σημεία, και ότι υπάρχουν ακολουθίες $a_n$, $n\in{\mathbf Z}$, με $a_n \to 0$ όταν ${\left\vert{n}\right\vert} \to \infty$, οι οποίες δεν είναι ακολουθίες συνετελεστών Fourier κάποιας συνάρτησης στο $L^1({\mathbf T})$.

Λύστε τις ασκήσεις 7, 11, 13, 17 από το Κεφ. 4.

5.15 Τρ, 22/11/05: Θεώρημα Hahn-Banach και εφαρμογές

Δείξαμε το Θ. επέκτασης Hahn-Banach και το χρησιμοποιήσαμε για να αποδείξουμε την ύπαρξη μέτρου (πυρήνας Poisson) πάνω στη μοναδιαία περιφέρεια τέτοιο ώστε αν ολοκληρώσουμε πάνω στην περιφέρεια τις τιμές ενός πολυωνύμου ως προς αυτό το μέτρο τότε παίρνουμε την τιμή του πολυωνύμου σε σημείο στο εσωτερικό που έχει προεπιλεγεί κι από το οποίο εξαρτάται το μέτρο. Αυτό ισχύει και για συναρτήσεις γενικότερες από πολυώνυμα, π.χ. αναλυτικές συναρτήσεις.

Λύστε τις ασκήσεις 1-5 του Κεφ. 5.

5.16 Πέ, 24/11/05: Μιγαδικά μέτρα

Είδαμε τον ορισμό των μιγαδικών μέτρων (αριθμήσιμα προσθετικές συναρτήσεις πάνω σε μια σ-άλγεβρα με μιγαδικές τιμές αντί για μη-αρνητικές όπως είχαμε ως τώρα). Αυτά αποτελούν σχεδόν μια επέκταση των θετικών μέτρων που έχουμε γνωρίσει ως τώρα, τουλάχιστον όσον αφορά χώρους πεπερασμένου μέτρου. Είδαμε πώς ορίζεται η ολική κύμανση ${\left\Vert{\mu}\right\Vert}$ ενός μιγαδικού μέτρου $\mu$ (είναι θετικό πεπερασμένο μέτρο).

Ορίσαμε τι σημαίνει να είναι ένα μιγαδικό μέτρο $\lambda$ απολύτως συνεχές ως προς ένα θετικό μέτρο $\mu$ (συμβολισμός: $\lambda \ll \mu$), και αποδείξαμε το θεώρημα Radon-Nikodym που λέει ότι κάθε μιγαδικό μέτρο $\lambda$ σπάει μοναδικά σαν άθροισμα $\lambda=\lambda_a+\lambda_s$ δύο μέτρων εκ των οποίων το $\lambda_a$ είναι απολύτως συνεχές ως προς ένα δεδομένο θετικό μέτρο $\mu$ και το $\lambda_s$ είναι ιδιάζον ως προς το $\mu$ δηλ. τα $\mu,\lambda_s$ ``ζουν'' πάνω σε διαφορετικά σύνολα. Για το $\lambda_a$ ισχύει $\lambda_a(E) = \int_E h d\mu$, για κάποια $h \in L^1(\mu)$ και για κάθε μετρήσιμο $E$.

5.17 Τρ, 29/11/05: Δυϊκοί χώρων $L^p$

Δείξαμε ότι ο δυϊκός του χώρου $L^p$, $1\le p <\infty$, είναι ο χώρος $L^q$, $1/p+1/q=1$.

Λύσαμε ασκήσεις.

5.18 Πέ, 1/12/05: Λύση ασκήσεων

Λύσαμε ασκήσεις σε προετοιμασία για το διαγώνισμα της Τρίτης.

5.19 Τρ, 6/12/05: Δεύτερο διαγώνισμα

Είχαμε το 2ο μας διαγώνισμα στη διάρκεια των δύο ωρών του μαθήματός μας. Μπορείτε να δείτε τα θέματα εδώ.

5.20 Πέ, 9/12/05: Χώροι και μέτρα γινόμενα

Καλύψαμε το Κεφ. 4, με εξαίρεση τις §7.10-7.12 (πληρότητα).

Λύστε τις ασκήσεις 2, 3 και 5 του Κεφ. 7.

5.21 Τρ, 13/12/05: Παραγώγιση μέτρων

Μιλήσαμε για παραγώγους μέτρων ως προς το μέτρο Lebesgue και δείξαμε πως για απολύτως συνεχή (ως προς το μέτρο Lebesgue) μέτρα η παράγωγος υπάρχει σχεδόν παντού (Lebesgue) και ταυτίζεται με τη Radon-Nikodym παράγωγο.

5.22 Πέ, 15/12/05: Συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης, απολύτως συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε τις §8.12 - 8.21. Λύστε τις ασκήσεις 1-10 του Κεφ. 8.

Την επόμενη εβδομάδα (της 19/12) δε θα κάνουμε μάθημα. Θα αναπληρωθεί τον Ιανουάριο κάποια στιγμή.

5.23 Δε, Τε, Πα, 23-25-27/1/06: Σειρά διαλέξεων για τον μετασχηματισμό Fourier, και Σημειώσεις

μικροΜΑΘΗΜΑ

“Μετασχηματισμός Fourier και εφαρμογές”

Διδάσκων: Μιχάλης Κολουντζάκης

Ώρες: 12:15 – 13:00, Δε 23/1, Τε 25/1, Πα 27/1

Αίθουσα: Ζ 301

Περίληψη

Στο πλαίσιο του μεταπτυχιακού μαθήματος “Θεωρία Μέτρου” που διδάχτηκε το προηγούμενο εξάμηνο θα δοθούν τρείς ωριαίες διαλέξεις πάνω στο μετασχηματισμό Fourier και στις εφαρμογές του.

Η έμφαση θα είναι σε μια παρουσίαση του Μετ. Fourier ενιαία στις διάφορες ομάδες όπου αυτός χρησιμοποιείται (π.χ. ευκλείδιους χώρους, μοναδιαίο κύκλο, πεπερασμένες κυκλικές ομάδες), και μετά έμφαση σε παραδείγματα και εφαρμογές. Δεν πρόκειται φυσικά να δοθούν όλες οι αποδείξεις. Σκοπός της σειράς αυτής διαλέξεων είναι να δώσει μια γεύση στον ακροατή για τις τεχνικές και δυνατότητες της Ανάλυσης Fourier (αρμονικής ανάλυσης), και των πολλαπλών εφαρμογών που αυτή έχει τόσο στις εφαρμοσμένες επιστήμες όσο και στα ίδια τα “καθαρά” (pure) Μαθηματικά.

Ελάχιστα πράγματα από τη θεωρία Μέτρου θα απαιτούνται για να παρακολουθήσει κανείς αυτές τις διαλέξεις, οι οποίες είναι ανοιχτές σε όλους τους μεταπτυχιακούς ή προχωρημένους μεταπτυχιακούς φοιτητές. Στο τέλος θα μοιραστούν οι σημειώσεις των διαλέξεων (τα slides που θα χρησιμοποιηθούν).

Οι σημειώσεις των τριών διαλέξεων βρίσκονται εδώ σε μορφή PDF.

5.24 Σά, 4/2/06: Τελικό διαγώνισμα

Μπορείτε να το βρείτε εδώ σε μορφή PDF.