next_inactive up previous


Στοχαστικές Ανελίξεις
(μεταπτυχιακό μάθημα)

Μιχάλης Κολουντζάκης

Τμήμα Μαθηματικών
Πανεπιστήμιο Κρήτης
Λεωφόρος Κνωσού
714 09 Ηράκλειο

E-mail: kolount AT member.ams.org

Άνοιξη 2003-04


Περιεχόμενα

1 Ωράριο

Τρ και Τε, 3-5, στην αίθουσα ΡΑ 103.

Ώρες γραφείου: Τε, 11-1, ή με ραντεβού.

2 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις

Δε θα υπάρξει τελική εξέταση. Θα βαθμολογηθείτε μόνο από τις ασκήσεις που θα λύνετε κατά τη διάρκεια του εξαμήνου και από τη συμμετοχή σας στο μάθημα.

3 Περιγραφή του μαθήματος

Τυχαίοι περίπατοι (random walks), martingales, κίνηση Brown (ανέλιξη Wiener), στοχαστική ολοκλήρωση και λογισμός Itô, εφαρμογές.

4 Βιβλίο

J. Michael Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer Verlag, 2000.

5 Ημερολόγιο μαθήματος

5.1 Τρ, 24/2/04: Τυχαίοι περίπατοι

Είδαμε τον απλό τυχαίο περίπατο πάνω στους ακεραίους, συμμετρικό και όχι. Αναλύσαμε το πρόβλημα τοθ προσδιορισμού του χρόνου που για πρώτη φορά το σωμάτιο που εκτελεί τον τυχαίο περίπατο φτάνει στο επίπεδο $ A$ ή στο επίπεδο $ -B$. Υπολογίσαμε τις πιθανότητες να χτυπήσει πρώτα στο $ A$ και μετά στο $ -B$ και επίσης βρήκαμε τη μέση αυτού του χρόνου πρόσκρουσης.

Διαβάστε το Κεφ. 1 του βιβλίου.

Ασκήσεις για το σπίτι: 1.1 και 1.2 του βιβλίου, παραδοτέες την επόμενη Τρίτη.

5.2 Τε, 25/2/04: Τυχαίοι περίπατοι, martingales

Υπολογίσαμε με χρήση γεννΓ§τριών συναρτήσεων την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής $ \tau$ που μετράει τον πρώτο χρόνο ο συμμετρικός τυχαίος περίπατος παίρνει την τιμή 1 (ξεκινώντας από το 0).

Μιλήσαμε εισαγωγικά για martingales, δώσαμε τον ορισμό και είσαμε μερικά απλά παραδείγματα. Είπαμε περίπου ότι περιέχεται στην §2.2

Από την επόμενη εβδομάδα θα συναντιόμαστε Τρ και Τε, 3-5.

5.3 Τρ, 2/3/04: Martingales

Είδαμε το martingale transform και τα stopped martingales ως δύο τρόπους να παράγουμε νέα martingales από κάποια δοσμένα. Είδαμε επίσης εφαρμογές αυτών στον τυχαίο περίπατο, όπου αποδείξαμε ξανά, χρησιμοποιώντας martingales, πράγματα που είχαμε αποδείξει στοιχειωδώς την προηγούμενη εβδομάδα. Είδαμε επίσης την ανισότητα του Jensen και ότι αυτή συνεπάγεται ότι οι $ L^p$ χώροι σε χώρο πιθανότητας είναι nested. Διαβάστε μέχρι και §2.5.

5.4 Τε, 3/3/04: Maximal ανισότητες και θεωρήματα σύγκλισης για Martingales

Αποδείξαμε την maximal ανισότητα του Doob καθώς και την ανισότητα

$\displaystyle {\left\Vert{M_n^*}\right\Vert}_p \le \frac{p}{p-1}{\left\Vert{M_n}\right\Vert}_p, (p>1), $

ως συνέπεια αυτής. Έπειτα δείξαμε ότι martingales που είναι ομιόμορφα φραγμένα στο $ L^2$ συγκλίνουν με πιθανότητα 1 και στο $ L^2(\Omega)$. Επίσης δείξαμε ότι αν ένα martingale είναι ομοιόμορφα φραγμένο στο $ L^1$ και έχει ομοιόμορφα φραγμένες διαφορές (σχεδόν παντού) τότε συγκλίνει σχεδόν σίγουρα. Την επόμενη φορά θα δείξουμε ότι η συνθήκη για φραγμένες διαφορές είναι περιττή.

Διαβάστε το υπλοιπο του Κεφ. 2 και λύστε τις ασκήσεις 2.2-2.5 (παραδοτέες Τρ, 9/3/04).

5.5 Τρ, 9/3/04: $ L^1$ σύγκλιση για martingales

Αποδείξαμε το $ L^1$ θεώρημα σύγκλισης για martingales. Επίσης ασχοληθήκαμε με την Άσκηση 1.1, την οποία λύσαμε. Χρωστάμε ακόμη μια πλήρη απόδειξη του ότι οι μέσοι χρόνοι που εμφανίζονται είναι πεπερασμένοι.

5.6 Τε, 10/3/04: Λύση ασκήσεων

Λύσαμε μερικές ασκήσεις από τις ασκήσεις των Κεφαλαίων 1 και 2.

Όσον αφορά την Άσκηση 2.5, η λύση πάει ως εξής: όπως παρατηρήθηκε μέσα στην τάξη αρκεί να δείξουμε ότι $ {{\bf E}\left[{M_{\nu \wedge n}}\right]} \le {{\bf E}\left[{M_{\tau \wedge n}}\right]}$, για κάθε $ n$. Γι' αυτό θυμόμαστε την απόδειξη του Θ. 2.2 (Stopping Time Theorem) και γράφουμε το $ {{\bf E}\left[{M_{\nu \wedge n}}\right]}$ σαν το martingale transform του $ M_n$ με την ακολουθία πολλαπλασιαστών $ A_k = {\bf 1}\left(\nu \ge k\right)$. Ομοίως για το $ {{\bf E}\left[{M_{\tau \wedge n}}\right]}$ με πολλαπλασιαστές $ B_j = {\bf 1}\left(\tau \ge k\right)$ και παρατηρούμε ότι $ B_j - A_j$ παίρνει τιμές 0 ή 1 μόνο, μια και πάντα $ \nu \le \tau$. Άρα το $ M_{\tau\wedge n} - M_{\nu\wedge n}$ είναι το martingale transform του submartingale $ M_n$ με την ακολουθία πολλαπλασιαστών $ B_j - A_j$. Παρατηρούμε τώρα ότι η απόδειξη του Θ. 2.1 δίνει ότι αυτό είναι submartingale, και άρα η μέση τιμή του είναι μη αρνητική. (Για την ακρίβεια, η απόδειξη του Θ. 2.1 μας λέει ότι αν οι πολλαπλασιαστές $ A_n$ είναι μη αρνητικοί και το $ M_n$ είναι submartingale, τότε ο martingale transform είναι επίσης submartingale.)

Δεν ανατέθηκαν ασκήσεις για την επόμενη εβδομάδα.

5.7 Τρ, 16/3/04: Εισαγωγή στην κίνηση Brown (ανέλιξη Wiener)

Ορίσαμε την Τυπική Κίνηση Brown σα μια ανέλιξη $ B_t$ συνεχούς χρόνου με ανεξάρτητες προσαυξήσεις, $ B_t - B_s \sim N(0, t-s)$, οποτεδήποτε $ 0\le s < t$, και με συνεχή sample paths σχεδόν σίγουρα. Μένει ακόμη να αποδειχτεί ότι υπάρχει ανέλιξη με αυτές τις ιδιότητες. Θυμηθήκαμε επίσης μερικά βασικά πράγματα για πολυδιάστατες Gaussιανές μεταβλητές και τις χαρακτηριστικές τους συναρτήσεις, και αποδείξαμε ορισμένα προπαρασκευαστικά λήμματα που θα μας βοηθήσουν να κατασκευάσουμε μια ανέλιξη με τις ιδιότητες της κίνησης Brown.

5.8 Τε, 17/3/04: Κατασκευή της κίνησης Brown

Σήμερα σχεδόν τελειώσαμε την απόδειξη του ότι υπάρχει όντως στοχαστική ανέλιξη με τις ιδιότητες της κίνησης Brown. Απομένουν ακόμη μερικά τεχνικά λήμματα για την επόμενη φορά.

Για την επόμενη Τρίτη έχετε να γράψετε την απόδειξη της Πρότασης 3.2 (σελ. 40) και τις λύσεις των ασκήσεων 3.1, 3.2, 3.4, 3.5.

5.9 Τρ, 23/3/04: Ανελίξεις συνεχούς χρόνου

Ξεκαθαρίσαμε ορισμένα πράγματα γύρω από την κατασκευή της κίνησης Brown που είδαμε την προηγούμενη εβδομάδα.

Ορίσαμε τα martingales συνεχούς χρόνου και αρχίσαμε την απόδειξη του θεωρήματος του Doob για stopping times.

5.10 Τε, 24/3/04: Ανελίξεις συνεχούς χρόνου, ομαλότητα κίνησης Brown

Τελειώσαμε την απόδειξη του Θ. Doob που είχαμε ξεκινήσει την προηγούμενη φορά. Η maximal ανισότητα στο συνεχή χρόνο όπως και η σύγκλιση των martingales σε συνεχή χρόνο αναφέρθηκαν αλλά δεν αποδείχτηκαν. Είδαμε παραδείγματα από martingales που ορίζονται μέσω της κίνησης Brown και τα χρησιμοποιήσαμε για να υπολογίσουμε ποσότητες τελείως ανάλογες (και με ανάλογες αποδείξεις) με αυτές που είχαμε υπολογίσει για τυχαίους περίπατους.

Αποδείξαμε ότι η κίνηση Brown είναι σχεδόν σίγουρα $ C^\alpha$.

Για την επόμενη φορά να έχετε λύσει τις ασκήσεις 4.1, 4.2, 4.3 και 4.7.

5.10.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Αναβολή μαθήματος

Το μάθημα της Τρίτης, 30/3/04, αναβάλεται.

5.11 Τε, 31/3/04: Μη-παραγωγισιμότητα της κίνησης Brown

Αποδείξαμε ότι αν $ \alpha>1/2$ τότε, με πιθανότητα 1, η κίνηση Brown δεν είναι της κλάσης $ C^\alpha$ (Hölder $ \alpha$). Επίσης αναφέραμε χωρίς απόδειξη το τι συμβαίνει για $ \alpha=1/2$.

Για την επόμενη φορά λύστε την άσκηση 5.3.

5.12 Τρ, 20/4/04: Ολοκλήρωμα Itô

Δώσαμε τον ορισμό του ολοκληρώματος Itô για ``κλιμακωτές'' ανελίξεις. Αποδείξαμε την ισομετρία του Itô και θεωρήσαμε γνωστό ότι ο χώρος $ {\cal H}^2_0$ των κλιμακωτών ανελίξεων είναι πυκνός στο χώρο $ {\cal H}^2$, οπότε το ολοκλήρωμα (και η ισομετρία του Itô) επεκτείνεται και στο χώρο $ {\cal H}^2$. Αποδείξαμε ότι

$\displaystyle \int_0^t B_s dB_s = \frac{1}{2}B_t^2 - \frac{1}{2}t.$ (1)

5.13 Τε, 21/4/04: Υπολογισμοί διαφόρων ολοκληρωμάτων Itô

Τελεώσαμε την απόδειξη της (1) και δείξαμε επίσης τους τύπους

$\displaystyle \int_0^T t dB_t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle T B_T - \int_0^T B_t dt$  
$\displaystyle \int_0^T B_t^2 dB_t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{3}B_T^3 - \int_0^T B_t dt.$  

5.14 Τρ, 27/4/04: Ο ολοκληρωτικός τύπος του Itô

Αποδείξαμε τον τύπο του Itô για συναρτήσεις της κίνησης Brown.

5.15 Τε, 28/4/04: Λογισμός Itô

Είδαμε τη μεθοδολογία του λογισμού Itô, δηλ. πώς οι ολοκληρωτικοί τύποι γράφονται σε διαφορική μορφή και με ποιούς φορμαλιστικούς κανόνες να παράγουμε νέους διαφορικούς τύπους. Επίσης είδαμε τη στενή σχέση ανάμεσα σε martingales και αρμονικές συναρτήσεις και χρησιμοποιήσαμε το λογισμό Itô για να υπολογίσουμε τις πιθανότητες σύγκρουσης με δύο εμπόδια (στις θέσεις $ A>0$ και $ -Β<0$) μιας κίνησης Brown με ταυτόχρονη μεταφορά (drift). Επίσης με παρόμοιο τρόπο δείξαμε ότι η κίνηση Brown στο επίπεδο είναι recurrent ενώ σε μεγαλύτερες διαστάσεις είναι transient.

5.16 Τρ, 4/5/04: Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις

Είδαμε παραδείγματα ΣΔΕ και λύσαμε μερικές. Δεν αποδείξαμε τα θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας.

5.17 Τε, 5/5/04: Arbitrage

Εισαγωγή στην έννοια του arbitrage και πώς τιμολογούμε διάφορα απλά χρηματιστηριακά προϊόντα υποθέτοντας έλλειψη arbitrage και χρησιμοποιώντας παράλληλα χαρτοφυλάκια με ίδια ροή.

5.17.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Αναβολή μαθημάτων

Την εβδομάδα της 10ης Μαΐου δε θα κάνουμε μάθημα λόγω απουσίας μου.

5.18 Τρ, 18/5/04: Εξίσωση Black-Scholes

Αφού ξεκαθαρίσαμε το τι υποθέσεις κάνουμε (ποιο είναι το μοντέλο) βρήκαμε την εξίσωση Black-Scholes, που είναι μια διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους της οποίας η λύση μας βοηθάει να τιμολογήσουμε π.χ. ένα European call option. Η εξίσωση αυτή είναι του γενικού τύπου της εξίσωσης της θερμότητας, και για αυτή είδαμε πως να υπολογίζουμε μια λύση της με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier. Είδαμε επίσης πως χωρίς περαιτέρω συνθήκες δε μπορούμε να περιμένουμε μοναδικότητα.

5.19 Τε, 19/5/04: Μοναδικότητα της λύσης της εξίσωσης της θερμότητας

Δείξαμε ότι αν επιβάλουμε στις λύσεις της εξίσωσης της θερμότητας κατάλληλες συνθήκες που να περιορίζουν την αύξησή της στο χώρο, τότε υπάρχει μοναδική λύση. Το κύριο εργαλείο για την απόδειξη αυτή είναι η λεγόμενη παραβολική αρχή μεγίστου.

5.20 Τρ, 25/5/04: Η πιθανοθεωρητική μέθοδος, I

Είδαμε παραδείγματα εφαρμογής της λεγόμενης πιθανοθεωρητικής μεθόδου (probabilistic method) σε διάφορους τομείς των μαθηματικών (συνδυαστική, θεωρία αριθμών). Αυτή έγκειται στην απόδειξη προτάσεων που δεν αναφέρονται σε πιθανότητες χρησιμοποιώντας κατάλληλες πιθανοθεωρητικές κατασκευές. Πολλές, π.χ., για να αποδείξουμε ότι αντικείμενα με κάποιες ιδιότητες υπάρχουν, δείχνουμε ότι αν επιλέξουμε τυχαία από την κατάλληλη στατιστική κατανομή παρομοίων αντικειμένων, προκύπτουν, με θετική πιθανότητα, αντικείμενα που έχουν τις ιδιότητες που θέλουμε. Είναι χαρακτηριστικό των εφαρμογών της μεθόδου αυτής ότι απλουστεύουν πολύ τις αποδείξεις (όταν η μέθοδος εφαρμόζεται, φυσικά).

Είδαμε δύο προτάσεις: (α) Πώς να χρωματίσουμε τις εκμές ενός πλήρους γραφήματος με $ n$ κορυφές με δύο χρώματα ώστε το πλήθος μονοχρωματικών τριγώνων που σχηματίζονται να μην ξεπερνά το $ 1/4$ του όλου αριθμού τριγώνων, και (β) Πώς να επιλέξουμε από τυχόν πεπερασμένο σύνολο φυσικών αριθμών το $ 1/3$ τουλάχιστον των στοιχείων του ώστε στο σύνολο που προκύπτει να μην έχει λύση η εξίσωση $ x+y=z$ (τέτοια σύνολα λέγονται sum-free).

5.21 Τε, 26/5/04: Η πιθανοθεωρητική μέθοδος, II

Συνεχίζοντας όσα είπαμε χτες είδαμε πώς αποδεικνύουμε την ύπαρξη ασυμπτωτικής βάσης για τους φυσικούς αριθμούς που να έχει μικρή συνάρτηση αναπαράστασης.

Επίσης αναφερθήκαμε στην πολύ σημαντική μέθοδο των υπό συνθήκη πιθανοτήτων για ντετερμινιστικοποίηση κάποιων αποδείξεων που έχουν γίνει με την πιθανοθεωρητική μέθοδο. Για παράδειγμα, είδαμε πώς να πάρουμε την απόδειξη που δώσαμε για το (α) της προηγούμενης διάλεξης, και να εφαρμόσουμε μια πολύ γενική μεθοδολογία ώστε να προκύψει ένας ``αποτελεσματικός'' αλγόριθμος για τον χρωματισμό των ακμών του γραφήματος.

5.22 Τρ, Τε, 1,2/6/04: Η πιθανοθεωρητική μέθοδος, III και IV

Αναφερθήκαμε σε πιθανοθεωρητικούς αλγορίθμους για τον έλεγχο της ταυτότητας δύο πολυωνύμων πολλών μεταβλητών πάνω από πεπερασμένα σώματα, και εφαρμογής αυτής της μεθόδου.

next_inactive up previous
Mihalis Kolountzakis 2004-08-02