�� ��� ��, 3-5, ���� ������� �� 103.
���� ��������: ��, 11-1, � �� ��������.
�� �� ������� ������ �������. �� �������������� ���� ��� ��� �������� ��� �� ������ ���� �� �������� ��� �������� ��� ��� �� ��������� ��� ��� ������.
������� ��������� (random walks), martingales, ������ Brown (������� Wiener), ���������� ���������� ��� �������� Itô, ���������.
J. Michael Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer Verlag, 2000.
������ ��� ���� ������ �������� ���� ����� ���������, ���������� ��� ���. ��������� �� ��������
��� ������������� ��� ������ ��� ��� ����� ���� �� ������� ��� ������� ��� ������ ��������
������ ��� ������� � ��� �������
.
����������� ��� ����������� �� �������� ����� ���
��� ���� ���
��� ������
������� �� ���� ����� ��� ������ �����������.
�������� �� ���. 1 ��� �������.
�������� ��� �� �����: 1.1 ��� 1.2 ��� �������, ���������� ��� ������� �����.
����������� �� ����� �������� ����������� ��� �������� ��� ������� ����������
��� ������� ��� ����� ����� � ����������� ������� ��������� ������� ���
���� 1 (���������� ��� �� 0).
�������� ���������� ��� martingales, ������ ��� ������ ��� ������ ������ ���� ������������. ������ ������� ��� ���������� ���� §2.2
��� ��� ������� �������� �� ������������� �� ��� ��, 3-5.
������ �� martingale transform ��� �� stopped martingales
�� ��� ������� �� ��������� ��� martingales ��� ������ �������.
������ ������ ��������� ����� ���� ������ ��������, ���� ����������
����, ��������������� martingales, �������� ��� ������ ���������
����������� ��� ����������� ��������. ������ ������ ��� ���������
��� Jensen ��� ��� ���� ����������� ��� �� ����� �� ����
����������� ����� nested. �������� ����� ��� §2.5.
���������� ��� maximal ��������� ��� Doob ����� ��� ��� ���������
�������� �� ������� ��� ���. 2 ��� ����� ��� �������� 2.2-2.5 (���������� ��, 9/3/04).
���������� �� ������� ��������� ��� martingales. ������ ������������
�� ��� ������ 1.1, ��� ����� ������. �������� ����� ��� ����� �������� ��� ���
�� ����� ������ ��� ������������ ����� ������������.
������ ������� �������� ��� ��� �������� ��� ��������� 1 ��� 2.
���� ����� ���
������ 2.5, � ���� ���� �� ����: ���� ������������ ���� ���� ���� �����
�� �������� ���
,
��� ����
. ��' ���� ��������� ��� �������� ��� �. 2.2 (Stopping Time Theorem)
��� �������� ��
��� �� martingale transform
���
�� ��� ��������� ���������������
.
������ ��� ��
�� ���������������
��� ����������� ���
������� ����� 0 � 1 ����,
��� ��� �����
.
��� ��
����� �� martingale transform
��� submartingale
�� ��� ��������� ���������������
.
����������� ���� ��� � �������� ��� �. 2.1 ����� ��� ���� ����� submartingale,
��� ��� � ���� ���� ��� ����� �� ��������.
(��� ��� ��������, � �������� ��� �. 2.1 ��� ���� ��� �� �� ���������������
����� �� ��������� ��� ��
����� submartingale, ����
� martingale transform ����� ������ submartingale.)
��� ���������� �������� ��� ��� ������� ��������.
������� ��� ������ ������ Brown �� ��� ������� �������� ������ �� �����������
������������,
, �����������
, ��� �� ������
sample paths ������ �������. ����� ����� �� ���������� ��� ������� ������� ��
����� ��� ���������. ���������� ������ ������ ������ �������� ��� ������������� Gauss�����
���������� ��� ��� ��������������� ���� �����������, ��� ���������� ��������
����������������� ������� ��� �� ��� ��������� �� �������������� ��� ������� �� ���
��������� ��� ������� Brown.
������ ������ ���������� ��� �������� ��� ��� ������� ����� ���������� ������� �� ��� ��������� ��� ������� Brown. ��������� ����� ������ ������� ������� ��� ��� ������� ����.
��� ��� ������� ����� ����� �� ������� ��� �������� ��� �������� 3.2 (���. 40) ��� ��� ������ ��� �������� 3.1, 3.2, 3.4, 3.5.
������������ �������� �������� ���� ��� ��� ��������� ��� ������� Brown ��� ������ ��� ����������� ��������.
������� �� martingales �������� ������ ��� �������� ��� �������� ��� ���������� ��� Doob ��� stopping times.
���������� ��� �������� ��� �. Doob ��� ������ ��������� ��� ����������� ����. � maximal ��������� ��� ������ ����� ���� ��� � �������� ��� martingales �� ������ ����� ����������� ���� ��� ������������. ������ ������������ ��� martingales ��� ��������� ���� ��� ������� Brown ��� �� ��������������� ��� �� ������������ ��������� ������� �������� (��� �� �������� ����������) �� ����� ��� ������ ���������� ��� �������� ����������.
���������� ��� � ������ Brown ����� ������ ������� .
��� ��� ������� ���� �� ����� ����� ��� �������� 4.1, 4.2, 4.3 ��� 4.7.
�� ������ ��� ������, 30/3/04, ����������.
���������� ��� ��
����, �� ���������� 1, � ������ Brown ���
����� ��� ������
(Hölder
).
������ ��������� ����� �������� �� �� ��������� ���
.
��� ��� ������� ���� ����� ��� ������ 5.3.
������ ��� ������ ��� ������������� Itô ��� ``����������'' ���������.
���������� ��� ��������� ��� Itô ��� ��������� ������ ��� � �����
��� ���������� ��������� ����� ������ ��� ����
, ����� �� ���������� (��� � ��������� ��� Itô) ������������
��� ��� ����
.
���������� ���
��������� ��� �������� ��� (1) ��� ������� ������ ���� ������
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
���������� ��� ���� ��� Itô ��� ����������� ��� ������� Brown.
������ �� ����������� ��� �������� Itô, ���. ��� �� ������������� �����
��������� �� ��������� ����� ��� �� ������ �������������� ������� �� ���������
����� ����������� ������. ������ ������ �� ����� ����� ������� �� martingales
��� ��������� ����������� ��� ��������������� �� ������� Itô ��� �� ������������
��� ����������� ���������� �� ��� ������� (���� ������ ���
) ���� �������
Brown �� ���������� �������� (drift).
������ �� �������� ����� ������� ��� � ������ Brown ��� ������� ����� recurrent
��� �� ����������� ���������� ����� transient.
������ ������������ ��� ��� ������ �������. ��� ���������� �� ��������� ������� ��� �������������.
�������� ���� ������ ��� arbitrage ��� ��� ����������� ������� ���� ��������������� �������� ����������� ������� arbitrage ��� ��������������� ��������� ������������ �� ���� ���.
��� �������� ��� 10�� ����� �� �� ������� ������ ���� �������� ���.
���� ������������ �� �� ��������� ������� (���� ����� �� �������) ������� ��� ������� Black-Scholes, ��� ����� ��� ��������� ������� �� ������� ���������� ��� ������ � ���� ��� ������� �� ������������� �.�. ��� European call option. � ������� ���� ����� ��� ������� ����� ��� �������� ��� ����������, ��� ��� ���� ������ ��� �� ������������ ��� ���� ��� �� �� ������� ��� ��������������� Fourier. ������ ������ ��� ����� ��������� �������� �� �������� �� ����������� ������������.
������� ��� �� ���������� ���� ������ ��� �������� ��� ���������� ���������� �������� ��� �� ����������� ��� ������ ��� ��� ����, ���� ������� �������� ����. �� ����� �������� ��� ��� �������� ���� ����� � �������� ���������� ���� ��������.
������ ������������ ��������� ��� ��������� ���������������� ������� (probabilistic method) �� ��������� ������ ��� ����������� (�����������, ������ �������). ���� �������� ���� �������� ��������� ��� ��� ����������� �� ����������� ��������������� ���������� ���������������� ����������. ������, �.�., ��� �� ����������� ��� ����������� �� ������� ��������� ��������, ��������� ��� �� ���������� ������ ��� ��� ��������� ���������� �������� ��������� ������������, ����������, �� ������ ����������, ����������� ��� ����� ��� ��������� ��� �������. ����� �������������� ��� ��������� ��� ������� ����� ��� ������������ ���� ��� ���������� (���� � ������� �����������, ������).
������ ��� ���������: (�) ��� �� ������������ ��� ����� ���� ������� ����������
�� ������� �� ��� ������� ���� �� ������ �������������� �������� ��� ������������� ��
��� ������� ��
��� ���� ������� ��������, ��� (�) ��� �� ���������� ��� ����� �����������
������ ������� ������� ��
����������� ��� ��������� ��� ���� ��� ������ ��� ���������
�� ��� ���� ���� � �������
(������ ������ �������� sum-free).
������������ ��� ������ ���� ������ ��� ������������� ��� ������ ������������ ����� ��� ���� �������� �������� ��� �� ���� ����� ��������� �������������.
������ ������������ ���� ���� ��������� ������ ��� ��� ������� ����������� ��� ��������������������� ������� ���������� ��� ����� ����� �� ��� ��������������� ������. ��� ����������, ������ ��� �� ������� ��� �������� ��� ������ ��� �� (�) ��� ������������ ��������, ��� �� ����������� ��� ���� ������ ����������� ���� �� �������� ���� ``���������������'' ���������� ��� ��� ���������� ��� ����� ��� ����������.
������������ �� ����������������� ����������� ��� ��� ������ ��� ���������� ��� ���������� ������ ���������� ���� ��� ����������� ������, ��� ��������� ����� ��� �������.