next_inactive up previous


����������� ���������
(������������ ������)

������� ������������

����� �����������
������������ ������
�������� ������
714 09 ��������

E-mail: kolount AT member.ams.org

������ 2003-04


�����������

1 ������

�� ��� ��, 3-5, ���� ������� �� 103.

���� ��������: ��, 11-1, � �� ��������.

2 ����������� ������� - ���������

�� �� ������� ������ �������. �� �������������� ���� ��� ��� �������� ��� �� ������ ���� �� �������� ��� �������� ��� ��� �� ��������� ��� ��� ������.

3 ��������� ��� ���������

������� ��������� (random walks), martingales, ������ Brown (������� Wiener), ���������� ���������� ��� �������� Itô, ���������.

4 ������

J. Michael Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer Verlag, 2000.

5 ���������� ���������

5.1 ��, 24/2/04: ������� ���������

������ ��� ���� ������ �������� ���� ����� ���������, ���������� ��� ���. ��������� �� �������� ��� ������������� ��� ������ ��� ��� ����� ���� �� ������� ��� ������� ��� ������ �������� ������ ��� ������� $ A$ � ��� ������� $ -B$. ����������� ��� ����������� �� �������� ����� ��� $ A$ ��� ���� ��� $ -B$ ��� ������ ������� �� ���� ����� ��� ������ �����������.

�������� �� ���. 1 ��� �������.

�������� ��� �� �����: 1.1 ��� 1.2 ��� �������, ���������� ��� ������� �����.

5.2 ��, 25/2/04: ������� ���������, martingales

����������� �� ����� �������� ����������� ��� �������� ��� ������� ���������� $ \tau$ ��� ������� ��� ����� ����� � ����������� ������� ��������� ������� ��� ���� 1 (���������� ��� �� 0).

�������� ���������� ��� martingales, ������ ��� ������ ��� ������ ������ ���� ������������. ������ ������� ��� ���������� ���� §2.2

��� ��� ������� �������� �� ������������� �� ��� ��, 3-5.

5.3 ��, 2/3/04: Martingales

������ �� martingale transform ��� �� stopped martingales �� ��� ������� �� ��������� ��� martingales ��� ������ �������. ������ ������ ��������� ����� ���� ������ ��������, ���� ���������� ����, ��������������� martingales, �������� ��� ������ ��������� ����������� ��� ����������� ��������. ������ ������ ��� ��������� ��� Jensen ��� ��� ���� ����������� ��� �� $ L^p$ ����� �� ���� ����������� ����� nested. �������� ����� ��� §2.5.

5.4 ��, 3/3/04: Maximal ���������� ��� ��������� ��������� ��� Martingales

���������� ��� maximal ��������� ��� Doob ����� ��� ��� ���������

$\displaystyle {\left\Vert{M_n^*}\right\Vert}_p \le \frac{p}{p-1}{\left\Vert{M_n}\right\Vert}_p,  (p>1),
$

�� �������� �����. ������ ������� ��� martingales ��� ����� ��������� �������� ��� $ L^2$ ���������� �� ���������� 1 ��� ��� $ L^2(\Omega)$. ������ ������� ��� �� ��� martingale ����� ���������� �������� ��� $ L^1$ ��� ���� ���������� ��������� �������� (������ ������) ���� ��������� ������ �������. ��� ������� ���� �� �������� ��� � ������� ��� ��������� �������� ����� �������.

�������� �� ������� ��� ���. 2 ��� ����� ��� �������� 2.2-2.5 (���������� ��, 9/3/04).

5.5 ��, 9/3/04: $ L^1$ �������� ��� martingales

���������� �� $ L^1$ ������� ��������� ��� martingales. ������ ������������ �� ��� ������ 1.1, ��� ����� ������. �������� ����� ��� ����� �������� ��� ��� �� ����� ������ ��� ������������ ����� ������������.

5.6 ��, 10/3/04: ���� ��������

������ ������� �������� ��� ��� �������� ��� ��������� 1 ��� 2.

���� ����� ��� ������ 2.5, � ���� ���� �� ����: ���� ������������ ���� ���� ���� ����� �� �������� ��� $ {{\bf E}\left[{M_{\nu \wedge n}}\right]} \le {{\bf E}\left[{M_{\tau \wedge n}}\right]}$, ��� ���� $ n$. ��' ���� ��������� ��� �������� ��� �. 2.2 (Stopping Time Theorem) ��� �������� �� $ {{\bf E}\left[{M_{\nu \wedge n}}\right]}$ ��� �� martingale transform ��� $ M_n$ �� ��� ��������� ��������������� $ A_k = {\bf 1}\left(\nu \ge k\right)$. ������ ��� �� $ {{\bf E}\left[{M_{\tau \wedge n}}\right]}$ �� ��������������� $ B_j = {\bf 1}\left(\tau \ge k\right)$ ��� ����������� ��� $ B_j - A_j$ ������� ����� 0 � 1 ����, ��� ��� ����� $ \nu \le \tau$. ��� �� $ M_{\tau\wedge n} - M_{\nu\wedge n}$ ����� �� martingale transform ��� submartingale $ M_n$ �� ��� ��������� ��������������� $ B_j - A_j$. ����������� ���� ��� � �������� ��� �. 2.1 ����� ��� ���� ����� submartingale, ��� ��� � ���� ���� ��� ����� �� ��������. (��� ��� ��������, � �������� ��� �. 2.1 ��� ���� ��� �� �� ��������������� $ A_n$ ����� �� ��������� ��� �� $ M_n$ ����� submartingale, ���� � martingale transform ����� ������ submartingale.)

��� ���������� �������� ��� ��� ������� ��������.

5.7 ��, 16/3/04: �������� ���� ������ Brown (������� Wiener)

������� ��� ������ ������ Brown �� ��� ������� $ B_t$ �������� ������ �� ����������� ������������, $ B_t - B_s \sim N(0, t-s)$, ����������� $ 0\le s < t$, ��� �� ������ sample paths ������ �������. ����� ����� �� ���������� ��� ������� ������� �� ����� ��� ���������. ���������� ������ ������ ������ �������� ��� ������������� Gauss����� ���������� ��� ��� ��������������� ���� �����������, ��� ���������� �������� ����������������� ������� ��� �� ��� ��������� �� �������������� ��� ������� �� ��� ��������� ��� ������� Brown.

5.8 ��, 17/3/04: ��������� ��� ������� Brown

������ ������ ���������� ��� �������� ��� ��� ������� ����� ���������� ������� �� ��� ��������� ��� ������� Brown. ��������� ����� ������ ������� ������� ��� ��� ������� ����.

��� ��� ������� ����� ����� �� ������� ��� �������� ��� �������� 3.2 (���. 40) ��� ��� ������ ��� �������� 3.1, 3.2, 3.4, 3.5.

5.9 ��, 23/3/04: ��������� �������� ������

������������ �������� �������� ���� ��� ��� ��������� ��� ������� Brown ��� ������ ��� ����������� ��������.

������� �� martingales �������� ������ ��� �������� ��� �������� ��� ���������� ��� Doob ��� stopping times.

5.10 ��, 24/3/04: ��������� �������� ������, ��������� ������� Brown

���������� ��� �������� ��� �. Doob ��� ������ ��������� ��� ����������� ����. � maximal ��������� ��� ������ ����� ���� ��� � �������� ��� martingales �� ������ ����� ����������� ���� ��� ������������. ������ ������������ ��� martingales ��� ��������� ���� ��� ������� Brown ��� �� ��������������� ��� �� ������������ ��������� ������� �������� (��� �� �������� ����������) �� ����� ��� ������ ���������� ��� �������� ����������.

���������� ��� � ������ Brown ����� ������ ������� $ C^\alpha$.

��� ��� ������� ���� �� ����� ����� ��� �������� 4.1, 4.2, 4.3 ��� 4.7.

5.10.1 ����������: ������� ���������

�� ������ ��� ������, 30/3/04, ����������.

5.11 ��, 31/3/04: ��-���������������� ��� ������� Brown

���������� ��� �� $ \alpha>1/2$ ����, �� ���������� 1, � ������ Brown ��� ����� ��� ������ $ C^\alpha$ (Hölder $ \alpha$). ������ ��������� ����� �������� �� �� ��������� ��� $ \alpha=1/2$.

��� ��� ������� ���� ����� ��� ������ 5.3.

5.12 ��, 20/4/04: ���������� Itô

������ ��� ������ ��� ������������� Itô ��� ``����������'' ���������. ���������� ��� ��������� ��� Itô ��� ��������� ������ ��� � ����� $ {\cal H}^2_0$ ��� ���������� ��������� ����� ������ ��� ���� $ {\cal H}^2$, ����� �� ���������� (��� � ��������� ��� Itô) ������������ ��� ��� ���� $ {\cal H}^2$. ���������� ���

$\displaystyle \int_0^t B_s  dB_s = \frac{1}{2}B_t^2 - \frac{1}{2}t.$ (1)

5.13 ��, 21/4/04: ����������� �������� ������������� Itô

��������� ��� �������� ��� (1) ��� ������� ������ ���� ������

$\displaystyle \int_0^T t dB_t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle T B_T - \int_0^T B_t dt$  
$\displaystyle \int_0^T B_t^2 dB_t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{3}B_T^3 - \int_0^T B_t  dt.$  

5.14 ��, 27/4/04: � ������������� ����� ��� Itô

���������� ��� ���� ��� Itô ��� ����������� ��� ������� Brown.

5.15 ��, 28/4/04: �������� Itô

������ �� ����������� ��� �������� Itô, ���. ��� �� ������������� ����� ��������� �� ��������� ����� ��� �� ������ �������������� ������� �� ��������� ����� ����������� ������. ������ ������ �� ����� ����� ������� �� martingales ��� ��������� ����������� ��� ��������������� �� ������� Itô ��� �� ������������ ��� ����������� ���������� �� ��� ������� (���� ������ $ A>0$ ��� $ -�<0$) ���� ������� Brown �� ���������� �������� (drift). ������ �� �������� ����� ������� ��� � ������ Brown ��� ������� ����� recurrent ��� �� ����������� ���������� ����� transient.

5.16 ��, 4/5/04: ����������� ���������� ���������

������ ������������ ��� ��� ������ �������. ��� ���������� �� ��������� ������� ��� �������������.

5.17 ��, 5/5/04: Arbitrage

�������� ���� ������ ��� arbitrage ��� ��� ����������� ������� ���� ��������������� �������� ����������� ������� arbitrage ��� ��������������� ��������� ������������ �� ���� ���.

5.17.1 ����������: ������� ���������

��� �������� ��� 10�� ����� �� �� ������� ������ ���� �������� ���.

5.18 ��, 18/5/04: ������� Black-Scholes

���� ������������ �� �� ��������� ������� (���� ����� �� �������) ������� ��� ������� Black-Scholes, ��� ����� ��� ��������� ������� �� ������� ���������� ��� ������ � ���� ��� ������� �� ������������� �.�. ��� European call option. � ������� ���� ����� ��� ������� ����� ��� �������� ��� ����������, ��� ��� ���� ������ ��� �� ������������ ��� ���� ��� �� �� ������� ��� ��������������� Fourier. ������ ������ ��� ����� ��������� �������� �� �������� �� ����������� ������������.

5.19 ��, 19/5/04: ������������ ��� ����� ��� �������� ��� ����������

������� ��� �� ���������� ���� ������ ��� �������� ��� ���������� ���������� �������� ��� �� ����������� ��� ������ ��� ��� ����, ���� ������� �������� ����. �� ����� �������� ��� ��� �������� ���� ����� � �������� ���������� ���� ��������.

5.20 ��, 25/5/04: � ��������������� �������, I

������ ������������ ��������� ��� ��������� ���������������� ������� (probabilistic method) �� ��������� ������ ��� ����������� (�����������, ������ �������). ���� �������� ���� �������� ��������� ��� ��� ����������� �� ����������� ��������������� ���������� ���������������� ����������. ������, �.�., ��� �� ����������� ��� ����������� �� ������� ��������� ��������, ��������� ��� �� ���������� ������ ��� ��� ��������� ���������� �������� ��������� ������������, ����������, �� ������ ����������, ����������� ��� ����� ��� ��������� ��� �������. ����� �������������� ��� ��������� ��� ������� ����� ��� ������������ ���� ��� ���������� (���� � ������� �����������, ������).

������ ��� ���������: (�) ��� �� ������������ ��� ����� ���� ������� ���������� �� $ n$ ������� �� ��� ������� ���� �� ������ �������������� �������� ��� ������������� �� ��� ������� �� $ 1/4$ ��� ���� ������� ��������, ��� (�) ��� �� ���������� ��� ����� ����������� ������ ������� ������� �� $ 1/3$ ����������� ��� ��������� ��� ���� ��� ������ ��� ��������� �� ��� ���� ���� � ������� $ x+y=z$ (������ ������ �������� sum-free).

5.21 ��, 26/5/04: � ��������������� �������, II

������������ ��� ������ ���� ������ ��� ������������� ��� ������ ������������ ����� ��� ���� �������� �������� ��� �� ���� ����� ��������� �������������.

������ ������������ ���� ���� ��������� ������ ��� ��� ������� ����������� ��� ��������������������� ������� ���������� ��� ����� ����� �� ��� ��������������� ������. ��� ����������, ������ ��� �� ������� ��� �������� ��� ������ ��� �� (�) ��� ������������ ��������, ��� �� ����������� ��� ���� ������ ����������� ���� �� �������� ���� ``���������������'' ���������� ��� ��� ���������� ��� ����� ��� ����������.

5.22 ��, ��, 1,2/6/04: � ��������������� �������, III ��� IV

������������ �� ����������������� ����������� ��� ��� ������ ��� ���������� ��� ���������� ������ ���������� ���� ��� ����������� ������, ��� ��������� ����� ��� �������.


next_inactive up previous
Mihalis Kolountzakis 2004-08-02