Οι πιο πρόσφατες καταχωρήσεις βρίσκονται στο τέλος της σελίδας.

Πανεπιστήμιο Κρήτης -- Μαθηματικό Τμήμα

Θεωρία Ομάδων

Ανοιξη 1999-2000

Διδάσκων: Μιχάλης Ν. Κολουντζάκης

Βαθμολογικό σύστημα: Θα δοθεί μια μη υποχρεωτική πρόοδος κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Επίσης κάθε βδομάδα θα προσδιορίζεται μια ομάδα ασκήσεων, συνήθως μέσα από το βιβλίο, και κάθε δεύτερη εβδομάδα θα γράφουμε ένα μικρό 20λεπτο διαγώνισμα μέσα στην τάξη όπου θα λύνεται μια από τις ασκήσεις που έχει δοθεί στα δύο προηγούμενα φυλλάδια. Ο τελικός βαθμός θα δίνεται από τον τύπο:
max{T, 0.6 T + 0.4 Π, 0.6 T + 0.4 Δ}
όπου Π είναι ο βαθμός της προόδου και Δ ο βαθμός των διαγωνισμάτων. Για την περίοδο του Σεπτεμβρίου μετράει μόνο ο βαθμός της εξέτασης.

Αρχή εξαμήνου: Η σελίδα αυτή θα ενημερώνεται τακτικά για θέματα που αφορούν το μάθημα Θεωρία Ομάδων. Εδώ θα βρίσκετε συνήθως:

1. Μια πολύ σύντομη περιγραφή του τι ειπώθηκε κάθε μέρα στο μάθημα
2. Ποιές ασκήσεις συνιστώ να λύνετε και, ενδεχομένως, υποδείξεις για τη λύση τους
3. Σημαντικές ανακοινώσεις (ημερομηνίες διαγωνισμάτων, στατιστικά στοιχεία για τις επιδόσεις στα διαγωνίσματα, κ.λ.π.)
4. Δείκτες (links) σε άλλες σελίδες στο Internet με παρόμοια θέματα
5. Διάφορα ιστορικά στοιχεία σχετικά με το μάθημα, κ.ά.

Στην κλειστή συλλογή της βιβλιοθήκης έχουν τοποθετηθεί τα ακόλουθα βιβλία γιο θεωρία ομάδων, για δανεισμό μόνο μέσα στη βιβλιοθήκη:

Humphreys	A course in Group Theory.
Schwerdtfeger	Introduction to Group Theory
Dixon	Problems in Group Theory
Maclane & Birkhoff	Algebra

Δε, 31/1/2000: Μιλήσαμε για διάφορα διαδικαστικά θέματα του μαθήματος. Κάναμε μια επανάληψη των βασικών αρχών των διμελών πράξεων πάνω σ'ένα σύνολο. Ορίσαμε την έννοια της ομάδας αξιωματικά. Δέίξαμε τη μοναδικότητα ταυτοτικού στοιχείου και αντιστρόφου. Είδαμε αρκετά παραδείγματα αντιμεταθετικών και μη, άπειρων και πεπερασμένων ομάδων.

Πέ, 3/2/2000: Λύσαμε τις ασκήσεις 15, 18, 21 (σελ. 56). Είδαμε διάφορα παραδείγματα ομάδων, όπως ομάδες μεταθέσεων, ομάδες ριζών της μονάδας, και ομάδες πινάκων. Ορίσαμε την έννοια της υποομάδας και είδαμε διάφορα παραδείγματα, ανάμεσα στα οποία και διάφορες υποομάδες των ακεραίων, πράγμα που μας οδήγησε να διατυπώσουμε το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής (ότι κάθε φυσικός αριθμός γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων παραγόντων). Δείξαμε ότι κάθε στοιχείο σε πεπερασμένη ομάδα έχει πεπερασμένη τάξη.

Γι' αυτή τη βδομάδα διαβάστε τις παραγράφους 1.1 έως 1.3 του βιβλίου. (Δεν έχουμε όμως πει τα πάντα για την 1.3.)

1η ομάδα ασκήσεων: 1-6, 16, 19, 22, 23, 24, 15, 18, 21 (σελ 56), και 1-12, 13, 14 (σελ 67).

Δε, 7/2/2000: Σήμερα τελειώσαμε τη συζήτηση της παραγράφου 1.3. Ορίσαμε και είδαμε διάφορα παραδείγματα κυκλικών ομάδων και υποομάδων. Επίσης κατασκευάσαμε τα διαγράμματα υποομάδων διαφόρων απλών ομάδων. Ξεκινήσαμε τη μελέτη του προβλήματος του ποιες είναι "όλες" οι ομάδες τάξης 4.

2η ομάδα ασκήσεων: 30, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 42 (σελ. 70).

Πέ, 10/2/2000: Ορίσαμε το γινόμενο δύο υποομάδων μιας Αβελιανής ομάδας. Λύσαμε τις ασκήσεις 32, 36, 38 (σελ. 70). Αποδείξαμε το Θεώρημα του Lagrange ότι η αν η H είναι υποομάδα της G, η οποία είναι πεπερασμένη, τότε η τάξη της H διαιρεί την τάξη της G. Δείξαμε επίσης ότι η τάξη ενός στοιχείου μιας πεπερασμένης ομάδας είναι διαιρέτης της τάξης της ομάδας. Επίσης δείξαμε ότι αν μια ομάδα έχει πρώτη τάξη τότε είναι κυκλική και παράγεται μάλιστα από κάθε στοιχείο της εκτός από το 1. Μιλήσαμε επίσης για την ομάδα μεταθέσεων S_n και είδαμε πως συμβολίζουμε τα στοιχεία της, πως τα πολλαπλασιάζουμε και αρκετά παραδείγματα πολλαπλασιασμού κύκλων.

Αυτή τη βδομάδα τελειώσαμε με τις παραγράφους 1.3 και 1.4. Για το θεώρημα του Lagrange διαβάστε από την παράγραφο 1.7 (όλη).

Δε, 14/2/2000: Ορίσαμε την τροχιά ενός σημείου, στοιχείου του συνόλου [n] = {1,2,...,n} υπό μια μετάθεση σ του S_n. Είδαμε ότι δυο μεταθέσεις τ και σ που κινούν διαφορετικά σημεία του [n] η καθεμία αντιμετατίθενται. Είδαμε ότι κάθε μετάθεση γράφεται με μοναδικό τρόπο σα γινόμενο ξένων κύκλων. Επίσης ότι κάθε κύκλος μπορεί να γραφεί με κάποιο τρόπο σα γινόμενο αντιμεταθέσεων, και άρα το ίδιο ισχύει και για κάθε μετάθεση, αφού κάθε μετάθεση γράφεται σα γινόμενο κύκλων. Το γράψιμο μιας μετάθεσης σα γινόμενο αντιμεταθέσεων δεν είναι αναγκαστικά μοναδικό. Ορίσαμε επίσης τη διεδρική ομάδα σε n γράμματα D_n, που είναι η υποομάδα της S_n που απαρτίζεται από εκείνες τις μεταθέσεις των γραμμάτων 1,2,...,n που αντιστοιχούν σε κάποια συμμετρία του κανονικού n-γώνου με κορυφές τα 1,2,...,n. Δείξαμε ότι η D_n έχει 2n στοιχεία.

3η ομάδα ασκήσεων: 1, 2, 6, 7, 10, 11, 12, 16, 33, 35, 36 (σελ. 81) και 1, 2, 4, 6, 10, 13, 15, 16, 18, 20, 23, 25, 26, 27 (σελ. 94).

Μην ξεχνάτε ότι την Πέ, 18/2/2000 θα γίνει το πρώτο από τα 15θήμερα διαγωνίσματα μέσα στην τάξη και την ώρα του μαθήματος.

Πέ, 17/2/2000: Σήμερα δεν έγινε μάθημα (και ούτε και το διαγώνισμα φυσικά) μια και οι φοιτητές προτίμησαν να ακυρώσουν το μάθημα για να πάνε στη Γενική τους Συνέλευση. Το πρώτο 15θήμερο διαγώνισμα συνεπώς ακυρώνεται. Θα γίνει την ερχόμενη Πέμπτη, 25 Φεβ.

Δε, 21/2/2000: Έχοντας δείξει ότι κάθε μετάθεση σ μπορεί να γραφεί σα γινόμενο αντιμεταθέσεων (όχι με μοναδικό τρόπο) ορίσαμε μια μετάθεση άρτια αν μπορεί να γραφεί ως γινόμενο αρτίου πλήθους αντιμεταθέσεων και περιττή αν μπορεί να γραφεί ως γινόμενο περιττού πλήθους αντιμεταθέσεων. Ξοδέψαμε την περισσότερη ώρα αμέσως μετά για να δείξουμε ότι δεν υπάρχουν μεταθέσεις που να είναι και άρτιες και περιττές. Το ουσιαστικό τεχνικό Λήμμα για να δείξουμε αυτό λέει ότι "αν σ μια μετάθεση και τ μια αντιμετάθεση τότε ο αριθμός τροχιών (κύκλων) στη μετάθεση στ διαφέρει από τον αντίστοιχο αριθμό στη μετάθεση σ κατά 1 ή -1". (Κάθε σημείο που μένει σταθερό κάτω από μια μετάθεση θεωρείται ως μια τροχιά από μόνο του.) Ορίσαμε μετά την εναλλάσουσα υποομάδα A_n της S_n ως την υποομάδα που σχηματίζεται από τις άρτιες μεταθέσεις. Εύκολα δείχνουμε ότι η A_n έχει τα μισά ακριβώς στοιχεία της S_n. Λύσαμε τις ασκήσεις (σελ. 84) 36 και (σελ. 94) 18.

Πέ, 24/2/2000: Δείξαμε πως υπολογίζουμε την τάξη μιας μετάθεσης αφού πρώτα τη γράψουμε σα γινόμενο ξένων κύκλων. Ορίσαμε τι σημαίνει για μια συνάρτηση φ:G->H να είναι ομομορφισμός και τι σημαίνει να είναι ισομορφισμός. Δείξαμε ότι κάθε ομάδα τάξης n είναι ισόμορφη με μια υποομάδα της συμμετρικής ομάδας S_n. Οι ομάδες μεταθέσεων είναι δηλ. οι γενικότερες ομάδες που υπάρχουν μια και κάθε άλλη πεπερασμένη ομάδα μπορούμε να τη δούμε σαν υποομάδα μιας συμμετρικής ομάδας. Ορίσαμε τα αριστερά και δεξιά σύμπλοκα μιας υποομάδας H της G. Δείξαμε ξανά το θεώρημα του Lagrange, ότι η τάξη κάθε υποομάδας διαιρεί την τάξη της ομάδας (αν πρόκειται, φυσικά, για πεπερασμένες ομάδες), και ορίσαμε το δείκτη (G:H) της H στην G να είναι ο αριθμός των συμπλόκων της H στην G (θα δείξουμε πως ο αριθμός των αριστερών και των δεξιών στμπλόκων είναι ο ίδιος). Για πεπερασμένες ομάδες ο δείκτης είναι το πηλίκο |G|/|H|. Γράψαμε το πρώτο 15θήμερο διαγώνισμα (άσκηση 37, σελ 70).

4η ομάδα ασκήσεων: 2, 3, 5, 13, 15, 23-29, 31 (σελ. 116)

Οι βαθμοί του πρώτου διαγωνίσματος είναι εδώ.

Δε, 28/2/2000: Σήμερα δείξαμε ότι τα σύνολα των αριστερών και των δεξιών συμπλόκων μιας υποομάδας H της ομάδας G είναι ισοπληθικά, ακόμη και αν είναι άπειρα (δείξαμε δηλ. μια 1-1 και επί απεικόνιση του ενός στο άλλο). Στην περίπτωση της πεπερασμένης ομάδας, επειδή έχουμε τρόπο να υπολογίσουμε το δείκτη, η ισοπληθικότητα είναι φανερή. Κάναμε επίσης τις ασκήσεις 33, 34, 36 και 39 της σελ. 116 του βιβλίου.

Πέ, 2/3/2000: Μιλήσαμε για κυκλικές υποομάδες. Δείξαμε κατ' αρχήν ότι κάθε υποομάδα κυκλικής (πεπερασμένης ή άπειρης) ομάδας είναι κυκλική. Δείξαμε επίσης ότι δυο υποομάδες μιας κυκλικής ομάδας που έχουν την ίδια (πεπερασμένη) τάξη είναι η ίδια ομάδα. Επίσης ότι δυο οποιεσδήποτε κυκλικές ομάδες ίδιας τάξης είναι ισόμορφες. Βρήκαμε όλες τις υποομάδες της Z₁₈ και κάναμε το διάγραμμά τους. Σε όλα αυτά χρησιμοποιήσαμε πάρα πολύ τη διαίρεση δυο ακεραίων και το μονοσήμαντο του πηλίκου και του υπόλοιπου.

5η ομάδα ασκήσεων: 16, 18-21, 29-34, 36, 39-41, 43-45, 49 (σελ. 106)

Δε, 6/3/2000: Σήμερα λύσαμε κυρίως ασκήσεις. Ιδιαίτερα μας απασχόλησε η συνάρτηση φ του Euler η οποία ορίζεται έτσι ώστε φ(n) να είναι το πλήθος των θετικών ακεραίων μικροτέρων του n που είναι πρώτοι ως προς το n. Άρα φ(n) είναι και το πλήθος των γεννητόρων της ομάδας Z_n. Δείξαμε ότι αν οι m και n είναι μεταξύ τους πρώτοι τότε φ(m n) = φ(m) φ(n).

Πέ, 9/3/2000: Ορίσαμε το ευθύ (καρτεσιανό) γινόμενο ομάδων και είδαμε διάφορα παραδείγματα ευθέων γινομένων, ακόμη και με άπειρους παράγοντες. Φτιάξαμε για παράδειγμα μια άπειρη ομάδα που όλα τα στοιχεία της έχουν τάξη 2. Το βασικό θεώρημα που δείξαμε είναι ότι η ομάδα Z_mxZ_n είναι κυκλική (και άρα ισόμορφη με τη Z_n) αν και μόνο αν οι m και n είναι μεταξύ τους πρώτοι. Είδαμε επίσης πως αποδεικνύεται η βασική σχέση

6η ομάδα ασκήσεων: 8, 14, 21, 29, 33, 34, 36, 37, 39, 43-45, 48, 49, 50 (σελ. 130)

Οι βαθμοί του 2ου διαγωνίσματος είναι εδώ.

Δε, 13/3/2000: Δεν έγινε μάθημα λόγω αργίας (Καθαρά Δευτέρα).

Πέ, 16/3/2000: (Το μάθημα διδάχτηκε από το συνάδελφο Δ. Γατζούρα λόγω απουσίας μου.) Διδάχτηκε (χωρίς απόδειξη) το θεώρημα δομής των πεπερασμένα παραγόμενων αβελιανών ομάδων (Θ 1.22) και έγιναν διάφορες εφαρμογές του.

Την εβδομάδα της 13/3/2000 δεν δόθηκαν ασκήσεις για λύση. Το διαγώνισμα της Πέμπτης 23/3/2000 θα γίνει κανονικά και θα αφορά την 6η ομάδα ασκήσεων μόνο.

Δε, 20/3/2000: Τελειώσαμε το πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου (Εισαγωγή στις Ομάδες).

Πέ, 23/3/2000: Επανάληψη στην έννοια του ομομορφισμού. Ομομορφισμοί στέλνουν υποομάδα σε υποομάδα. Επίσης αντίστροφη εικόνα υποομάδας είναι υποομάδα. Πυρήνας ker φ του ομομορφισμού φ. Παραδείγματα ομομορφισμών. Κανονικές υποομάδες και παραδείγματα στην S₃. Ο πυρήνας είναι πάντα κανονική υποομάδα.

Οι βαθμοί του 3ου διαγωνίσματος είναι εδώ.

7η ομάδα ασκήσεων: 1-15, 17-24, 31-33, 35, 36, 38, 41, 43 (σελ. 143).

Δε, 27/3/2000: Είδαμε διάφορα παραδείγματα ζευγαριών ομάδων που είναι ή όχι ισομορφικές μεταξύ τους και είδαμε αποδείξεις του ότι είναι ισομορφικές και επίσης μεθόδους με τις οποίες αποδεικνύουμε ότι δεν είναι. Το δεύτερο στηρίζεται κυρίως στην ύπαρξη κάποιας δομικής ιδιότητας στη μια ομάδα αλλά όχι στην άλλη. Εξ ορισμού τέτοιες ιδιότητες είναι αυτές που διατηρούνται από τους ισομορφισμούς. Δείξαμε επίσης το Θεώρημα του Cayley, ότι κάθε ομάδα είναι ισομορφική με μια ομάδα μεταθέσεων.

8η ομάδα ασκήσεων: 4, 6, 11-14, 18, 21, 23, 24 (σελ. 158).

Πέ, 30/3/2000: Δεν έγινε μάθημα λόγω Γενικής Συνέλευσης των φοιτητών.

Το 4ο 15θήμερο διαγώνισμα θα γίνει τη Δευτέρα, 3/4/2000, αντί για την Πέμπτη, 6/4/2000.

Η πρόοδος (δείτε βαθμολογικό σύστημα στην αρχή της σελίδας) θα γίνει την Παρασκευή, 14/4/2000, στα αμφιθέατρα, 7-9 το βράδυ.

Οι βαθμοί του 4ου διαγωνίσματος είναι εδώ.

Δε, 3/4/2000: Για μια κανονική υποομάδα N μιας ομάδας G ορίσαμε την ομάδα πηλίκο G/N. Αποδείξαμε το Θεμελιώδες Θεώρημα των ομομορφισμών: αν φ:G->H είναι ένας ομομορφισμός τότε η εικόνα φ(G) είναι ισόμορφη με το πηλίκο G/ker φ.

9η ομάδα ασκήσεων: 1-3, 9, 11, 19, 20-32 εκτός 24, (σελ. 169)

Η πρόοδος (δείτε βαθμολογικό σύστημα στην αρχή της σελίδας) θα γίνει την Παρασκευή, 14/4/2000, στα αμφιθέατρα, 7-9 το βράδυ.

Πέ, 13/4/2000: Δείξαμε ότι κάθε κανονική υποομάδα μιας ομάδας είναι πυρήνας κάποιου ομομορφισμού. Ορίσαμε τις απλές ομάδες (χωρίς γνήσιες υποομάδες που είναι κανονικές), τις μέγιστες κανονικές υποομάδες (που δεν περιέχονται σε καμιά άλλη γνήσια υποομάδα που να είναι κανονική) και δείξαμε ότι το πηλίκο G/N είναι απλή ομάδα αν και μόνο αν η N είναι μέγιστη κανονική υποομάδα της G. Ορίσαμε το μεταθέτη δύο στοιχείων μιας ομάδας και την υποομάδα μεταθετών.

10η ομάδα ασκήσεων: 1, 5, 7, 10, 15-19, 23-27, 31-33 (σελ 180).

Το διαγώνισμα της προόδου είναι εδώ (μορφή Postscript -- δείτε εδώ για οδηγίες).
Οι βαθμοί της προόδου είναι εδώ.

Δε, 17/4/2000: Αποδείξαμε ξανά ότι η G/N είναι απλή ομάδα αν και μόνο αν η N είναι μέγιστη κανονική υποομάδα της G. Δείξαμε επίσης ότι η υποομάδα που παράγεται από τους αντιμεταθέτες

Έκτακτο μάθημα, Τρ. 18/4/2000, 19:30 (ακριβώς) - 21:00, Αίθουσα Θ 201.

Τρ, 19/4/2000: Μιλήσαμε για την έννοια της δράσης μιας ομάδας G σε ένα σύνολο X. Αυτό είναι ουσιαστικά μια "ερμηνεία" των στοιχείων της ομάδας ως μεταθέσεις του συνόλου X με τρόπο ώστε η σύνθεση των μεταθέσεων να αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασμό των αντίστοιχων στοιχείων της ομάδας. Είδαμε διάφορα παραδείγματα δράσης: δράση μιας ομάδας στον εαυτό της με 1) πολλ/σμό από αριστερά, 2) πολλ/σμό από δεξιά, και 3) συζυγία, είδαμε δράση μιας υποομάδας H της G πάνω στην G με τους άνω τρόπους 1,2 και 3, και είδαμε επίσης με λεπτομέρεια τη δράση της ομάδας συμμετριών του τετραγώνου D₄ πάνω σε διάφορα γεωμετρικά αντικείμενα που ορίζονται πάνω στο τετράγωνο. Ορίσαμε την ομάδα ισοτροπίας G_x ενός στοιχείου x του X (ως εκείνα τα στοιχεία της G που αφήνουν το στοιχείο x αμετακίνητο), και το σύνολο X_g, όπου g ανήκει στην G, να είναι εκείνα τα στοιχεία του X που δε μετακινεί το g. Επίσης ορίσαμε την τροχιά του στοιχείου x του X να είναι όλα τα στοιχεία του X στα οποία μπορούμε να στείλουμε το x μέσω κάποιου g της G. Η τροχιά του x συμβολίζεται με Gx. Δείξαμε το θεώρημα:

11η ομάδα ασκήσεων: 1-6, 9-11 (σελ. 219).

Πέ, 20/4/2000: Το θεώρημα του Burnside για τον υπολογισμό του πλήθους r των τροχιών μιας δράσης της ομάδας G σ' ένα σύνολο X:

12η ομάδα ασκήσεων: 1, 3, 4, 7 (σελ. 227).

Τις δύο εβδομάδες μετά το Πάσχα θα διδάξει στη θέση μου ο κος Κουβιδάκης, αλλά μόνο τις 2 Πέμπτες. Τις δύο Δευτέρες το μάθημα δε θα γίνει. Επίσης θα υπάρξει ένα δίωρο ασκήσεων την Παρασκευή 2 Ιουνίου, στη Θ 207, 12-2.

Η τελική εξέταση του μαθήματος θα είναι στις 3 Ιουνίου, το πρωί.

Οι βαθμοί του 5ου διαγωνίσματος είναι εδώ.

Το τελικό διαγώνισμα είναι εδώ (μορφή Postscript -- δείτε εδώ για οδηγίες).

Η τελική βαθμολογία είναι εδώ.

Το διαγώνισμα Σεπτεμβρίου βρίσκεται εδώ σε μορφή Postscript και σε μορφή PDF.