Πραγματική Ανάλυση (μεταπτ.)

Μιχάλης Κολουντζάκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών,
Πανεπιστήμιο Κρήτης,
Βούτες, 70013 Ηράκλειο, E-mail: kolount AT gmail.com

Φθινόπωρο 2016-17

Περιεχόμενα

• 1 Ωράριο
• 2 Περιγραφή του μαθήματος
• 3 Σημειώσεις
• 4 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις
• 5 Φυλλάδια ασκήσεων
  • 5.1 Βαθμολογία εβδομαδιαίων ασκήσεων
  
  
• 6 Ημερολόγιο Μαθήματος
  • 6.1 Τρ, 20-9-2016: Η έννοια της σ-άλγεβρας και της μετρήσιμης συνάρτησης
  • 6.2 Πέ, 22-9-2016: Μετρησιμότητα συναρτήσεων. Η Borel σ-άλγεβρα. Προσέγγιση από απλές συναρτήσεις.
    • 6.2.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 1
    • 6.2.2 Λύσεις Ασκήσεων Νο 1
  • 6.3 Τρ, 27-9-2016: Μέτρο και ολοκλήρωμα.
  • 6.4 Πέ, 29-9-2016: Οριακά θεωρήματα για το ολοκλήρωμα. Ολοκληρώσιμες συναρτήσεις.
    • 6.4.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 2
    • 6.4.2 Λύσεις Ασκήσεων Νο 2
    • 6.4.3 Σχόλια για το 2ο φυλλάδιο ασκήσεων
  • 6.5 Τρ, 4-10-2016: Θ. αναπαράστασης του Riesz και μέτρο Lebesgue
  • 6.6 Πέ, 6-10-2016: Σύνολο Cantor. Μη μετρήσιμο σύνολο. Κυρτότητα και ανισότητες.
    • 6.6.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 3
    • 6.6.2 Λύσεις Ασκήσεων Νο 3
  • 6.7 Τρ, 11-10-2016: Ανισότητα Hölder και Minkowski. Χώροι $L^p$.
  • 6.8 Πέ, 13-10-2016: Πυκνότητα διαφόρων ειδών συναρτήσεων στους χώρους $L^p$
    • 6.8.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 4
    • 6.8.2 Λύσεις Ασκήσεων Νο 4
  • 6.9 Τρ, 18-10-2016: Χώροι Hilbert
  • 6.10 Πέ, 20-10-2016: Χώροι Hilbert (συνέχεια)
    • 6.10.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 5
    • 6.10.2 Λύσεις Ασκήσεων Νο 5
    • 6.10.3 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Ενδιάμεσο Διαγώνισμα
    • 6.10.4 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Υπόδειγμα του ενδιάμεσου διαγωνίσματος
  • 6.11 Τρ, 25-10-2016: Στοιχεία ανάλυσης Fourier
  • 6.12 Πέ, 27-10-2016: Στοιχεία ανάλυσης Fourier. Το θεώρημα του Fejer
    • 6.12.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: 2ο υπόδειγμα του ενδιάμεσου διαγωνίσματος
    • 6.12.2 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Μάθημα Τρίτης 1-11-2016
  • 6.13 Τρ, 1-11-2016: Λύση ασκήσεων
    • 6.13.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Διαγώνισμα
  • 6.14 Πέ, 3-11-2016: Ενδιάμεσο Διαγώνισμα
    • 6.14.1 Διαγώνισμα
    • 6.14.2 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 6
    • 6.14.3 Λύσεις Ασκήσεων Νο 6
  • 6.15 Τρ, 8-11-2016: Θ. Baire και Θ. Banach-Steinhhaus
  • 6.16 Πέ, 10-11-2016: Θεώρημα Ανοιχτής Απεικόνισης και ακολουθίες που δεν είναι συντελεστές Fourier
    • 6.16.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 7
    • 6.16.2 Λύσεις Ασκήσεων Νο 7
    • 6.16.3 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα την εβδομάδα της 14ης Νοεμβρίου 2016
  • 6.17 Τρ, 22-11-2016: Μιγαδικά μέτρα. Ολική κύμανση μιγαδικού μέτρου.
  • 6.18 Πέ, 24-11-2016: Θεώρημα Radon-Nikodym και κάποιες συνέπειές του
    • 6.18.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 8
    • 6.18.2 Λύσεις Ασκήσεων Νο 8
  • 6.19 Τρ, 29-11-2016: Μέτρα γινόμενο και θεώρημα του Fubini.
  • 6.20 Πέ, 1-12-2016: Συζήτηση για μερικές από τις ασκήσεις του Φυλλαδίου 7.
    • 6.20.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 9
  • 6.21 Τρ, 6-12-2016: Ανισότητες για συνελίξεις
  • 6.22 Πέ, 8-12-2016: Παράγωγοι μέτρων
  • 6.23 Τρ, 13-12-2016: Παράγωγοι μέτρων
  • 6.24 Πέ, 15-12-2016: Λύση ασκήσεων
    • 6.24.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τελικό διαγώνισμα: ώρα και μέρος
    • 6.24.2 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Μάθημα πριν το διαγώνισμα
    • 6.24.3 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τελικό διαγώνισμα

1 Ωράριο

Τρ, Πέ 9-11 στην Β212.

2 Περιγραφή του μαθήματος

Το μεταπτυχιακό μάθημα «Πραγματική Ανάλυση» είναι μια εισαγωγή στη θεωρία ολοκλήρωσης καθώς και σε συναφείς έννοιες και αποτελέσματα της Πραγματικής και Συναρτησιακής ανάλυσης και της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Σκοπός του μαθήματος είναι να διδάξει στο φοιτητή τις βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στο χτίσιμο της θεωρίας του ολοκληρώματος αλλά και χρήση του ολοκληρώματος αυτού (ολοκλήρωμα Lebesgue) στη Μαθηματική πράξη.

3 Σημειώσεις

Θα ακολουθήσουμε το βιβλίο του Walter Rudin, «Real and Complex Analysis, 3rd Edition».

Σε κάποιες περιπτώσεις όμως μπορεί να στηριχθούμε σε άλλα βιβλία ή σημειώσεις.

4 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις

Ο βαθμός του φοιτητή θα προκύψει κατά 20% από τα σετ ασκήσεων που θα λύνει κάθε εβδομάδα, κατά 30% από το ενδιάμεσο διαγώνισμα (περί την 7η εβδομάδα του εξαμήνου) και κατά 50% από το τελικό διαγώνισμα.

5 Φυλλάδια ασκήσεων

Κάθε εβδομάδα, συνήθως Πέμπτη, θα σας δίνω από ένα φυλλάδιο ασκήσεων, τις λύσεις των οποίων θα πρέπει να μου επιστρέψετε μια βδομάδα μετά, στο μάθημα.

Θα πρέπει οι λύσεις που θα παραδίδετε να είναι σωστές, σύντομες (χωρίς να μακρυγορείτε αλλά και χωρίς να αφήνετε απ' έξω κάτι σημαντικό) και να είναι δικές σας. Το να παραδώσετε ασκήσεις που έχετε γράψει από άλλους δεν επιτρέπεται. Μπορείτε φυσικά να συζητάτε τα προβλήματα με άλλους αλλά η λύση που θα μου δίνετε θα πρέπει να είναι γραμμένη από σας και να έχει κατανοηθεί πλήρως από εσάς. Το να μου δίνετε ασκήσεις που δεν έχετε λύσει δε βοηθάει ούτε και μένα (γιατί δε θα καταλαβαίνω αν έχετε πρόβλημα να κατανοήσετε κάτι) αλλά ούτε και σας.

Περιοδικά θα ζητώ από κάποιους από σας να μας παρουσιάσουν τη λύση κάποιας άσκησης στο μάθημα.

5.1 Βαθμολογία εβδομαδιαίων ασκήσεων

Μπορείτε να τη βλέπετε εδώ

6 Ημερολόγιο Μαθήματος

6.1 Τρ, 20-9-2016: Η έννοια της σ-άλγεβρας και της μετρήσιμης συνάρτησης

Είδαμε τι είναι μια σ-άλγεβρα πάνω σε ένα σύνολο $X$. Σε ένα τέτοιο μετρήσιμο χώρο ορίζεται έπειτα η έννοια της μετρήσιμης συνάρτησης $f:X \to Y$, όπου $Y$ είναι ένας μετρικός (ή, γενικότερα, τοπολογικός) χώρος. Κάναμε μια πολύ σύντομη ανασκόπηση του τι είναι μετρική και μετρικός χώρος και ορίσαμε επίσης την έννοια του τοπολογικού χώρου (αν και κυρίως θα χρησιμοποιούμε μετρικούς χώρους). Δείξαμε τέλος ότι η σύνθεση μιας συνεχούς συνάρτησης με μια μετρήσιμη συνάρτηση διατηρεί τη μετρησιμότητα (Θεώρημα 1.7 του βιβλίου σας). Διαβάστε μόνοι σας και το Θεώρημα 1.8 που είναι πολύ παρόμοιο.

Όσοι από εσάς έχετε ξεχάσει τα περί μετρικών χώρων ή δεν τα μάθατε ποτέ, θα πρέπει να θυμηθείτε διάφορα βασικά. Αρχίστε διαβάζοντας τις πρώτες 17 σελίδες από τις πολύ καλές σημειώσεις του συναδέλφου κ. Μήτση.

Την Πέμπτη θα πάρετε το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων, με παράδοση μια βδομάδα μετά.

6.2 Πέ, 22-9-2016: Μετρησιμότητα συναρτήσεων. Η Borel σ-άλγεβρα. Προσέγγιση από απλές συναρτήσεις.

Διατήρηση της μετρησιμότητας από αλγεβρικές πράξεις μεταξύ συναρτήσεων, όπως και από μέγιστα, ελάχιστα, sup και inf, καθώς και limsup, liminf και lim μετρησίμων συναρτήσεων.

σ-άλγεβρα που παράγεται από μια οικογένεια συνόλων. Σύνολα Borel σ' ένα τοπολογικό χώρο. Σύνολα $F_\sigma, G_\delta$ και παραδείγματα.

Οι επεκτεταμένοι πραγματικοί αριθμοί $[-\infty, +\infty] = {\mathbb{R}}\cup{\left\{{+\infty, -\infty}\right\}}$ και αλγεβρικές πράξεις με τα άπειρα.

Απλές συνάρτήσεις (μη αρνητικές προς το παρόν) και θεώρημα μονότονης προσέγγισης κάθε μη αρνητικής μετρήσιμης συνάρτησης από κάτω από ακολουθία απλών συναρτήσεων.

Μη αρνητικά μέτρα και μιγαδικά μέτρα.

6.2.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 1

Φυλλάδιο ασκήσεων No 1. Παραδοτέτο στην τάξη στις 29-9-2016.

6.2.2 Λύσεις Ασκήσεων Νο 1

Λύσεις ασκήσεων No 1.

6.3 Τρ, 27-9-2016: Μέτρο και ολοκλήρωμα.

Σήμερα είδαμε μερικά παραδείγματα χώρων μέτρου (κυρίως το counting measure, τη μάζα Dirac) και έπειτα ορίσαμε το ολοκλήρωμα απλής μη αρνητική συνάρτηση και από αυτό τον ορισμό και το θέωρημα που δείξαμε την προηγούμενη φορά που μας επιτρέπει να προσεγγίσουμε κάθε μη αρνητική μετρήσιμη συνάρτηση από μια αύξουσα ακολουθία απλών ορίσαμε και το ολοκλήρωμα οποασδήποτε μη αρνητικής μετρήσιμης συνάρτησης. Είδαμε διάφορες ιδιότητες του ολοκληρώματος και καταλήξαμε να αποδείξουμε το θεώρημα μονότονης σύγκλισης καθώς και το πόρισμά του για την ολοκλήρωση κατά όρους σειράς μη αρνητικών συναρτήσεων. Είδαμε επίσης με ποια μεθοδολογία μπορεί κανείς να μεταγράψει κάποια θεωρήματα που αφορούν ολοκληρώματα σε αντίστοιχα θεωρήματα που αφορούν σειρές, χρησιμοποιώντας το counting measure.

6.4 Πέ, 29-9-2016: Οριακά θεωρήματα για το ολοκλήρωμα. Ολοκληρώσιμες συναρτήσεις.

Αποδείξαμε το Λήμμα του Fatou και το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης (Dominated Convergence Theorem). Ορίσαμε το ολοκλήρωμα μιγαδικών (και πραγματικών) συναρτήσεων και πλέον δε μιλάμε μόνο για ολοκληρώματα μη αρνητικών συναρτήσεων. Είδαμε τις βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος (γραμμικότητα, τριγωνική ανισότητα). Μιλήσαμε για το τι σημαίνει για μια ιδιότητα να ισχύει «σχεδόν παντού» και το πώς μπορεί κανείς σε διάφορα θεωρήματα, όπως το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης, να απαιτεί τις υποθέσεις του να ισχύουν μόνο σχεδόν παντού (και όχι κατ' ανάγκην παντού). Είδαμε ότι μια σειρά συγκλίνει σχεδόν παντού όταν η σειρά των ολοκληρωμάτων των απολύτων όρων συγκλίνει και στην περίπτωση αυτή μπορούμε να αλλάξουμε το ολοκλήρωμα με το άθροισμα.

Έχουμε ουσιαστικά τελειώσει με το Κεφάλαιο 1 του βιβλίου.

6.4.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 2

Φυλλάδιο ασκήσεων No 2. Παραδοτέτο στην τάξη στις 6-10-2016.

6.4.2 Λύσεις Ασκήσεων Νο 2

Λύσεις ασκήσεων No 2.

6.4.3 Σχόλια για το 2ο φυλλάδιο ασκήσεων

Μετά τη διόρθωση και του 2ου φυλλαδίου έχω να κάνω τα παρακάτω σχόλια και παρακαλώ πολύ να τα λάβετε υπόψιν σας.

1. Παρακαλώ πολύ γράφετε πιο καθαρά. Σε ορισμένες περιπτώσεις μου είναι δύσκολο να καταλάβω τι γράφετε. Δεν είστε γιατροί και δεν είμαι φαρμακοποιός.
2. Κοιτάτε τις λύσεις που ανεβάζω και συγκρίνετε με τις δικές σας. (Καλό είναι να κρατάτε ένα αντίγραφο των ασκήσεων που μου δίνετε μήπως και είτε αργήσω να τα διορθώσω ή χαθεί κάτι. Όσοι έχετε smartphone ένα πολύ καλό πρόγραμμα για «σκανάρισμα» εγγράφων είναι το camscanner.)
3. Κάποιοι μου γράφουν μερικές φοβερά πολύπλοκες λύσεις που σχεδόν σίγουρα τις έχουν διαβάσει από κάπου. Το πρόβλημα είναι ότι δεν τις καταλαβαίνουν. Αν δε καταλαβαίνετε κάτι μην το γράφετε. Ο βαθμός που θα πάρετε στα φυλλάδια των ασκήσεων δεν είναι τόσο μεγάλος. Είναι πολύ προτιμότερο αν δε καταλαβαίνετε μια άσκηση να μην τη γράφετε, ώστε κι εγώ να βλέπω πού έχετε δυσκολίες.
4. Προσπαθείτε να μη γράφετε πάρα πολλά. (Ορισμένα γραπτά είναι κανονική οικολογική καταστροφή.) Είναι κι αυτό μια τέχνη που πρέπει να μάθετε, το να μην υπερεξηγείτε αυτά που θα όφειλαν να είναι προφανή. Αλλιώς ο αναγνώστης δεν καταλαβαίνει ποιο κομμάτι της λύσης σας είναι το σημαντικό.
5. Δεν εναλλάσουμε όρια χωρίς αιτιολόγηση (το είδα σε μερικά γραπτά). Τα δύο όρια $\lim_m \lim_n a_{m,n}$ και $\lim_n \lim_m a_{m,n}$ της διπλής ακολουθίας $a_{m,n}$ δεν είναι κατ' ανάγκη ίσα. Πάρτε π.χ. την $a_{m,n} = {\bf 1}\left(n \ge m\right)$.
6. Σε πολλά γραπτά είδα τη συνεπαγωγή «η $f$ είναι σ.π. πεπερασμένη, άρα υπάρχει κάποιο $M<\infty$ τέτοιο ώστε $f\le M$ σ.π.» Αυτό είναι λάθος (σοβαρό). Σχεδόν παντού πεπερασμένη δε συνεπάγεται ότι είναι φραγμένη η $f$. Πάρτε π.χ. την $f(x)=\frac{1}{x}$ για $x \in (0,1)$. Είναι παντού πεπερασμένη αλλά σίγουρα όχι φραγμένη.
7. Όπυ βάζω στα γραπτά το σημάδι +++ σημαίνει ότι θα ήθελα να επεξηγήσετε περισσότερο το σημείο αυτό.

6.5 Τρ, 4-10-2016: Θ. αναπαράστασης του Riesz και μέτρο Lebesgue

Είδαμε κατ' αρχήν την έννοια του θετικού γραμμικού συναρτησοειδούς, παρατηρήσαμε ότι στο γραμμικό χώρο $C_c({\mathbb{R}})$ το ολοκλήρωμα Riemann μιας συνάρτησης

$$f \to \int_a^b f(x) dx$$

υπάρχει (το ξανααποδείξαμε) και είναι θετικό γραμμικό συναρτησοειδές και έπειτα αναφέραμε (χωρίς απόδειξη) το θεώρημα αναπαράστασης του Riesz (Θ. 2.14 στο βιβλίο του Rudin). Δείξαμε πώς από το θεώρημα αυτό συνάγεται η ύπαρξη του μέτρου Lebesgue, ενός μέτρου που ορίζεται σε μια σ-άλγεβρα μεγαλύτερη από τη Borel σ-άλγεβρα, και που γενικεύει το ολοκλήρωμα Riemann (που το έχουμε μόνο για συνεχείς ή, έστω, τμηματικά συνεχείς συναρτήσεις) σε όλες τις Borel μετρήσιμες συναρτήσεις στο ${\mathbb{R}}$ ή στο ${\mathbb{R}}^n$. Δείξαμε μερικές βασικές ιδιότητες του μέτρου Lebesgue, πως π.χ. δίνει μέτρο 0 σε κάθε αριθμήσιμο σύνολο. Δεν είναι απαραίτητο όμως για ένα σύνολο να είναι αριθμήσιμο για να έχει μέτρο Lebesgue 0 και ξεκινήσαμε να βλέπουμε το παράδειγμα του τριαδικού συνόλου του Cantor ως ένα παράδειγμα συνόλου μέτρου 0 που έχει τον πληθάριμο του συνεχούς. Δεν είπαμε ακόμη το παράδειγμα συνόλου στο ${\mathbb{R}}$ που δεν είναι Lebesgue μετρήσιμο (Θ. 2.22).

Μια συνοπτική περιγραφή του μέτρου και ολοκληρώματος Lebesgue, με έμφαση στη χρήση του και σχεδόν καθόλου στην έννοια της μετρησιμότητας, μπορείτε να βρείτε στο πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου αυτού. Ίσως να σας φανεί χρήσιμη μαζί με τις ασκήσεις που περιέχονται εκεί.

6.6 Πέ, 6-10-2016: Σύνολο Cantor. Μη μετρήσιμο σύνολο. Κυρτότητα και ανισότητες.

Μιλήσαμε με λεπτομέρεια για το σύνολο του Cantor (ένα υπαριθμήσιμο σύνολο στο ${\mathbb{R}}$ που έχει μέτρο Lebesgue μηδέν). Το σύνολο Cantor (του οποίου υπάρχουν πολλές παραλλαγές) έχει πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες και είναι πηγή παραδειγμάτων στην Ανάλυση. Ρίξτε μια ματιά εδώ.

Αποδείξαμε ότι υπάρχουν υποσύνολα του ${\mathbb{R}}$ που δεν είναι Lebesgue μετρήσιμα (§2.22 στο Rudin - δεν πήγαμε πέρα από κει στο Κεφ. 2).

Από το Κεφ. 3 αποδείξαμε την ανισότητα του Jensen για κυρτές συναρτήσεις (που είδαμε ότι αποτελεί κατά κάποιον τρόπο μια γενίκευση του ορισμού της κυρτότητας συνάρτησης) και αποδείξαμε επίσης και την ανισότητα του Hölder (Θ. 3.5 στο Rudin).

6.6.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 3

Φυλλάδιο ασκήσεων No 3. Παραδοτέτο στην τάξη στις 13-10-2016.

6.6.2 Λύσεις Ασκήσεων Νο 3

Λύσεις ασκήσεων No 3.

6.7 Τρ, 11-10-2016: Ανισότητα Hölder και Minkowski. Χώροι $L^p$.

Δείξαμε σήμερα ξανά την ανισότητα Hölder (χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Young: $ab \le a^p/p + b^q/q$ για $a, b\ge 0$ και $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$). Από την ανισότητα Hölder δείξαμε μετά την ανισότητα του Minkowski που είναι η τριγωνική ανισότητα για τις νόρμες ${\left\Vert{\cdot}\right\Vert}_p$. Είδαμε ότι αυτές οι ανισότητες μας δίνουν (χρησιμοποιώντας το counting measure) και τις αντίστοιχες ανισότητες για πεπερασμένα αθροίσματα και σειρές. Αποδείξαμε ότι οι χώροι $L^p(\mu)$ είναι πλήρεις μετρικοί χώροι.

6.8 Πέ, 13-10-2016: Πυκνότητα διαφόρων ειδών συναρτήσεων στους χώρους $L^p$

Δείξαμε ότι σε κάθε χώρο μέτρου οι απλές συναρτήσεις είναι πυκνές στους χώρους $L^p(\mu)$, $1 \le p \le \infty$. (Για το χώρο $L^\infty$ πρέπει κανείς να επιτρέψει και απλές συναρτήσεις στις οποίες τα σύνολα στα οποία είναι σταθερές μπορούν να έχουν και άπειρο μέτρο. Για τους ολοκληρωτικούς χώρους $L^p$ αυτό δε χρειάζεται.)

Δείξαμε έπειτα ότι ο χώρος $C_c(X)$ (συνεχείς συναρτήσεις $X \to {\mathbb{C}}$ με συμπαγή φορέα) είναι επίσης πυκνές στους $L^p$, $1 \le p < \infty$, φτάνει ο χώρος $X$ να είναι ένας τοπικά συμπαγής μετρικός χώρος. Η πυκνότητα αυτή δεν ισχύει για το $L^\infty$.

Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο δείξαμε ότι οι ολοκληρωτικοί χώροι $L^p({\mathbb{R}}^d)$ είναι διαχωρίσιμοι, ότι δηλ. έχουν κάποιο αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο. Αυτό δεν ισχύει για τον $L^\infty({\mathbb{R}}^d)$ και το αποδείξαμε.

6.8.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 4

Φυλλάδιο ασκήσεων No 4. Παραδοτέτο στην τάξη στις 20-10-2016.

6.8.2 Λύσεις Ασκήσεων Νο 4

Λύσεις ασκήσεων No 4.

6.9 Τρ, 18-10-2016: Χώροι Hilbert

Σήμερα κάναμε μια μικρή εισαγωγή στους χώρους Hilbert. Ξεκινήσαμε το Κεφ. 4 και καλύψαμε τις έννοιες μέχρι και το Θ. 4.11 (διάσπαση χώρου Hilbert στο άθροισμα ενός κλειστού υπόχωρου και του ορθογωνίου συμπληρώματός του (ορθογώνιες προβολές).

6.10 Πέ, 20-10-2016: Χώροι Hilbert (συνέχεια)

Σήμερα συνεχίσαμε να μιλάμε για χώρους Hilbert. Αποδείξαμε το θεώρημα αναπαράστασης 4.12 και μιλήσαμε μετά για ορθοκανονικά σύνολα. Υπολογίσαμε την ορθογώνια προβολή του $x$ πάνω σε ένα υπόχωρο που παράγεται από ένα πεπερασμένο ορθοκανονικό σύνολο $u_1,\ldots,u_n$, και είδαμε ότι οι συντελεστές της προβολής ως προς τα $u_j$ είναι οι αριθμοί $(x,u_j)$. Από αυτό αποδείξαμε την ανισότητα του Bessel για κάθε ορθοκανονικό σύνολο. Καταλήξαμε με το Θ. 4.18 που συνοψίζει κάποιες βασικές έννοιες για ορθοκανονικά σύνολα και αναπτύγματα ως προς αυτά.

6.10.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 5

Φυλλάδιο ασκήσεων No 5. Παραδοτέτο στην τάξη στις 20-10-2016.

6.10.2 Λύσεις Ασκήσεων Νο 5

Λύσεις ασκήσεων No 5.

6.10.3 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Ενδιάμεσο Διαγώνισμα

Το ενδιάμεσο διαγώνισμα θα γίνει την Πέμπτη 3-11-2016, την ώρα του μαθήματος. Να είστε στην αίθουσα ακριβώς στις 9:00 (η αίθουσα ενδέχεται να αλλάξει-θα ενημερωθείτε). Εκείνη την εβδομάδα δε θα έχετε να παραδώσετε ασκήσεις (αλλά θα παραλάβετε νέο φυλλάδιο την ημέρα του διαγωνίσματος).

6.10.4 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Υπόδειγμα του ενδιάμεσου διαγωνίσματος

Μπορείτε εδώ να δείτε ένα υπόδειγμα του διαγωνίσματος της 3-11-2016. Το διαγώνισμα θα έχει διάρκεια 2 ώρες. Θα εξεταστείτε σε 5 (μάλλον) θέματα τα οποία θα σας είναι άγνωστα χωρίς αυτό να σημαίνει ότι θα είναι και δύσκολα. Θα πάρετε και 2ο υπόδειγμα το επόμενο Σαββατοκύριακο. Δε θα έχετε να παραδώσετε φυλλάδιο ασκήσεων την εβδομάδα του ενδιάμεσου διαγωνίσματος.

6.11 Τρ, 25-10-2016: Στοιχεία ανάλυσης Fourier

Μιλήσαμε κατ' αρχήν για τους χώρους $L^p({\mathbb{T}})$ και $C({\mathbb{T}})$ (χώροι 1-περιοδικών συναρτήσεων) και για την ορθοκανονική βάση

$$e_n(x) = e^{2\pi i n x}, n\in{\mathbb{Z}},$$

χωρίς όμως να αποδείξουμε την πληρότητα των εκθετικών. Είδαμε ότι οι συντελεστές Fourier

$$\widehat{f}(n) = \int_0^1 f(x) e^{-2\pi n x} dx,$$

ορίζονται ευρύτερα για όλες τις συναρτήσεις στο $L^1({\mathbb{T}})$ (με άλλα λόγια για όλες τις 1-περιοδικές συναρτήσεις στο ${\mathbb{R}}$ που είναι ολοκληρώσιμες στο $[0,1]$. Μιλήσαμε επίσης για τον μετασχηματισμό Fourier

$$\widehat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}}f(x) e^{-2\pi i \xi x} dx, (xi \in {\mathbb{R}})$$

που ορίζεται για κάθε $f \in L^1({\mathbb{R}})$ και αποδείξαμε το Λήμμα Riemann-Lebesgue (δηλ. $\lim_{{\left\vert{\xi}\right\vert}\to\infty}\widehat{f}(\xi) = 0$) και το ότι ο μετασχηματισμός Fourier είναι ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση στο ${\mathbb{R}}$.

Μιλήσαμε επίσης για τον πυρήνα του Dirichlet και για τον πυρήνα του Fejer.

Αυτά που είπαμε (και που θα πούμε και την Πέμπτη) μπορείτε να τα βρείτε στα Κεφ. 2 και 3 του βιβλίου αυτού.

6.12 Πέ, 27-10-2016: Στοιχεία ανάλυσης Fourier. Το θεώρημα του Fejer

Συνεχίσαμε σήμερα τη συζήτηση για ανάλυση Fourier περιοδιών συναρτήσεων. Αποδείξαμε το Θεώρημα του Fejer που λέει ότι οι Cesaro μέσοι όροι των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier μια συνεχούς περιοδικής συνάρτησης συγκλίνουν ομοιόμορφα στη συνάρτηση. Αυτό έχει ως συνέπεια την πληρότητα των εκθετικών (πυκνότητα των τριγωνομετρικών πολυωνύμων) στο χώρο $L^2$.

Διαβάστε από εδώ.

6.12.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: 2ο υπόδειγμα του ενδιάμεσου διαγωνίσματος

Εδώ.

6.12.2 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Μάθημα Τρίτης 1-11-2016

Στο μάθημα της Τρίτης θα ασχοληθούμε με λύση ασκήσεων και δε θα καλύψουμε νέα «ύλη».

6.13 Τρ, 1-11-2016: Λύση ασκήσεων

Σήμερα ασχοληθήκαμε με διάφορες από τις ασκήσεις των υποδειγμάτων διαγωνίσματος.

6.13.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Διαγώνισμα

Το διαγώνισμα θα γίνει στην Α208. Παρακαλώ να είστε εκεί στις 9:00 ακριβώς.

6.14 Πέ, 3-11-2016: Ενδιάμεσο Διαγώνισμα

6.14.1 Διαγώνισμα

Διαγώνισμα και λύσεις.

6.14.2 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 6

Φυλλάδιο ασκήσεων No 6. Παραδοτέτο στην τάξη στις 10-11-2016.

6.14.3 Λύσεις Ασκήσεων Νο 6

Λύσεις ασκήσεων No 6.

6.15 Τρ, 8-11-2016: Θ. Baire και Θ. Banach-Steinhhaus

Αποδείξαμε σήμερα το θεώρημα του Baire και είδαμε πώς αποδεικνύεται και το θεώρημα Banach-Steinhaus (Θεώρημα Ομοιόμορφου Φράγματος). Ως συνέπεια του θ. Banach-Steinhaus είδαμε ότι υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις (στο $C({\mathbb{T}})$) των οποίων η σειρά Fourier δε συγκλίνει σε ένα σημείο.

6.16 Πέ, 10-11-2016: Θεώρημα Ανοιχτής Απεικόνισης και ακολουθίες που δεν είναι συντελεστές Fourier

Δείξαμε σήμερα το Θεώρημα Ανοιχτής Απεικόνισης και το χρησιμοποιήσαμε για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ακολουθία $a_n$, $n\in{\mathbb{Z}}$, που τείνει στο 0 αλλά δεν είναι ακολουθία συντελεστών Fourier μιας $L^1$ συνάρτησης.

6.16.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 7

Φυλλάδιο ασκήσεων No 7. Παραδοτέτο στην τάξη στις 24-11-2016.

6.16.2 Λύσεις Ασκήσεων Νο 7

Λύσεις ασκήσεων No 7.

6.16.3 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα την εβδομάδα της 14ης Νοεμβρίου 2016

Την Τρίτη 15-11-2016 θα απουσιάζω και το μάθημα δε θα γίνει. Δε θα γίνει επίσης την Πέμπτη 17-11-2016 (αργία Πολυτεχνείου). Θα συναντηθούμε ξανά την Τρίτη 22-11-2016.

6.17 Τρ, 22-11-2016: Μιγαδικά μέτρα. Ολική κύμανση μιγαδικού μέτρου.

Ορίσαμε (Κεφ. 6) την έννοια του μιγαδικού μέτρου και την ολική κύμανση ${\left\vert{\mu}\right\vert}$ ενός μιγαδικού μέτρου $\mu$. Δείξαμε ότι το ${\left\vert{\mu}\right\vert}$ είναι ένα θετικό, πεπερασμένο μέτρο. Ορίσαμε επίσης τις έννοιες της απόλυτης συνέχειας και του τι σημαίνει ένα μέτρο να είναι ιδιάζον ως προς ένα άλλο. Αποδείξτε τις ιδιότητες που περιγράφονται στην Πρόταση 6.8 του βιβλίου ως εξάσκηση στις έννοιες αυτές.

6.18 Πέ, 24-11-2016: Θεώρημα Radon-Nikodym και κάποιες συνέπειές του

Αποδείξαμε σήμερα το θεώρημα Radon-Nikodym. Είδαμε την ανάλυση Hahn πραγματικών μέτρων. Δε συνεχίσαμε στον δυϊκό του $L^p(\mu)$.

6.18.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 8

Φυλλάδιο ασκήσεων No 8. Παραδοτέτο στην τάξη στις 1-12-2016.

6.18.2 Λύσεις Ασκήσεων Νο 8

Λύσεις ασκήσεων No 8.

6.19 Τρ, 29-11-2016: Μέτρα γινόμενο και θεώρημα του Fubini.

Ορίσαμε το γινόμενο δύο σ-αλγεβρών και την έννοια του μέτρου γινόμενο και αποδείξαμε το Θεώρημα του Fubini. Το χρησιμοποιήσαμε για να δείξουμε ότι η συνέλιξη δύο $f, g \in L^1({\mathbb{R}})$ ορίζεται σχεδόν παντού και ότι ${\left\Vert{f*g}\right\Vert _{L^1}} \le {\left\Vert{f}\right\Vert _{L^1}} {\left\Vert{g}\right\Vert _{L^1}}$.

6.20 Πέ, 1-12-2016: Συζήτηση για μερικές από τις ασκήσεις του Φυλλαδίου 7.

Συζητήσαμε προσεκτικά τη λύση των ασκήσεων 1, 2 και 5 από το Φυλλάδιο 7.

Στο χρόνο που μας έμεινε δείξαμε την ανισότητα ${\left\Vert{f*g}\right\Vert}_p \le {\left\Vert{f}\right\Vert}_p {\left\Vert{g}\right\Vert _{L^1}}$.

6.20.1 Φυλλάδιο Ασκήσεων Νο 9

Φυλλάδιο ασκήσεων No 9. Παραδοτέτο στην τάξη στις 8-12-2016.

6.21 Τρ, 6-12-2016: Ανισότητες για συνελίξεις

Είδαμε σήμερα ότι μπορεί κανείς να συμπεράνε για μια ανισότητα που αφορά νόρμες συνέλιξης το ποια ακριβώς συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν οι εκθέτες βάζοντας $f(\lambda x)$ στη θέση της συνάρτησης $f(x)$ για όλες τις συναρτήσεις που συμμετέχουν στην ανισότητα. Έτσι προκύπτει μια δύναμη του $\lambda$ σε κάθε μεριά της ανισότητας και πρέπει οι εκθέτες να είναι ίδιοι. Δοκιμάστε το αυτό π.χ. στην ανισότητα του Hölder

$${\left\vert{ \int fg}\right\vert} \le {\left\Vert{f}\right\Vert}_p {\left\Vert{g}\right\Vert}_q$$

(για συναρτήσεις ${\mathbb{R}}\to{\mathbb{C}}$ για παράδειγμα) και θα δείτε ότι θα προκύψει η σχέση $1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$. Κάντε το ίδιο και για την ανισότητα του Young: ${\left\Vert{f*g}\right\Vert}_r \le {\left\Vert{f}\right\Vert}_p {\left\Vert{g}\right\Vert}_q$ και θα δείτε ότι θα προκύψει η σχέση $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1+\frac{1}{r}$.

Τέλος δείξαμε την ανισότητα του Young ακολουθώντας το βιβλίο του Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, I, σελ. 116, Theorem 4.5.1 και Corollary 4.5.2.

6.22 Πέ, 8-12-2016: Παράγωγοι μέτρων

Σήμερα ξεκινήσαμε το Κεφ. 7 (Differentiation) του βιβλίου που ακολουθούμε.

Την ερχόμενη εβδομάδα παρακαλώ να έρχεστε στο μάθημα με τυχόν ερωτήσεις που θα θέλατε να απαντηθούν, επί ολόκληρης της ύλης που έχουμε καλύψει αυτό το εξάμηνο. Αν είστε καλά προετοιμασμένοι και έχετε πράγματα που θέλετε να ρωτήσετε τότε θα προτιμήσω να απαντώ αυτά από το να προχωράμε πιο κάτω σε νέο υλικό.

6.23 Τρ, 13-12-2016: Παράγωγοι μέτρων

Δώσαμε το τέλος της απόδειξης για το ότι για κάθε $f \in L^1({\mathbb{R}}^d)$ σχεδόν κάθε σημείο του ${\mathbb{R}}^d$ είναι σημείο Lebesgue της $f$. Δε συνεχίσαμε το Κεφάλαιο από κει και πέρα. Για το υπόλοιπο της ώρας λύναμε διάφορες ασκήσεις.

6.24 Πέ, 15-12-2016: Λύση ασκήσεων

Σήμερα λύσαμε διάφορες ασκήσεις κατά τη διάρκεια του μαθήματος.

Για να προετοιμαστείτε για το τελικό διαγώνισμα συνιστώ παράλληλα με το διάβασμα του βιβλίου σας να λύσετε ξανά όλες τις ασκήσεις που παίρνατε εβδομαδιαία (για όλες υπάρχουν και οι λύσεις τους εδώ). Θα πρέπει να βεβαιώνεστε ότι καταλαβαίνετε τις λύσεις που διαβάζετε (το ιδανικό βέβαια είναι να μπορείτε να τις βρίσκετε ξανά μόνοι σας). Θα είμαι διαθέσιμος για να βοηθώ ολόκληρο το μήνα του Ιανουαρίου.

Καλές διακοπές και καλό διάβασμα.

6.24.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τελικό διαγώνισμα: ώρα και μέρος

Το τελικό διαγώνισμα θα γίνει την Τρίτη 31-1-2017 στη Β212 και ώρα 9:00. Η διάρκεια θα είναι σχεδόν σίγουρα πάνω από 3 ώρες, οπότε υπολογίστε ανάλογα τις υποχρεώσεις σας για μετά. Αν υπάρξει κάποια αλλαγή στην ώρα θα ανακοινωθεί εδώ.

6.24.2 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Μάθημα πριν το διαγώνισμα

Καλή Χρονιά σε όλους,

Θα γίνει ένα δίωρο μάθημα την Παρασκευή 27-1-2017, 10:00-12:00, στη συνηθισμένη αίθουσα B212. Σκοπός του μαθήματος αυτού είναι να έρθετε προετοιμασμένοι να ρωτήσετε πράγματα από το μάθημα που δεν έχετε καταλάβει. Αν κάποιους δεν τους βολεύει αυτή η ώρα και έχουν πράγματα να ρωτήσουν ας μου στείλουν ένα μήνυμα να συνεννοηθούμε γιατί αυτή την εβδομάδα δε θα είμαι κάθε μέρα στο γραφείο μου.

6.24.3 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τελικό διαγώνισμα

Είναι εδώ.