Η σελίδα αυτή βρίσκεται στη διεύθυνση http://www.csd.uch.gr/~kolount/complex.html όπως επίσης και στη διεύθυνση http://www.math.uiuc.edu/~kolount/complex.html

Μπορείτε να την προσπελάσετε χρησιμοποιώντας Netscape, Mosaic, Internet Explorer (αυτά χρειάζονται τερματικά graphics) είτε το πρόγραμμα lynx. Αυτό δεν απαιτεί graphics και μπορείτε να το τρέξετε από σχεδόν οποιοδήποτε τερματικό δίνοντας π.χ. την εντολή
lynx http://www.csd.uch.gr/~kolount/complex.html

Στην περίπτωση που δεν έχετε graphics υπάρχει περίπτωση το τερματικό σας να μη χειρίζεται καλά τους Ελληνικούς χαρακτήρες. Θα υπάρχουν τότε στην κορυφή της σελίδας εναλλακτικές διευθύνσεις (URL) που θα είναι πάντα αναγνώσιμες και από τις οποίες (ανάλογα με το τί τερματικό έχετε) θα μπορείτε να έχετε κανονικά πρόσβαση στη σελίδα.

Οι πιο πρόσφατες καταχωρήσεις βρίσκονται στο τέλος της σελίδας.

Πανεπιστήμιο Κρήτης -- Μαθηματικό Τμήμα

Μιγαδική Ανάλυση (M 211)

Χειμερινό Εξάμηνο 1997-98

Διδάσκων: Μιχάλης Ν. Κολουντζάκης

Βοηθός μεταπτυχιακός φοιτητής: Γιώργος Κετσετσής

1. Επισκόπηση μιγαδικών αριθμών
2. Αναλυτικές συναρτήσεις, συνθήκες Cauchy-Riemann, αρμονικές συναρτήσεις
3. Στοιχειώδεις συναρτήσεις (exp, cos, sin, log, αντίστροφες τριγωνομετρικές)
4. Το θεώρημα του Cauchy, θεώρημα Morera, ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy
5. Δυναμοσειρές, σειρές Taylor και Laurent
6. Ρίζες
7. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα
8. Σύμμορφες απεικονίσεις

Ασκήσεις Καθ'όλη τη διάρκεια του εξαμήνου θα δίνεται ένα φυλλάδιο με 5-10 ασκήσεις/εβδομάδα. Κάθε 2η βδομάδα και για 15 περίπου λεπτά οι φοιτητές θα γράφουν (με κλειστές σημειώσεις) μια άσκηση που έχει επιλεγεί από το διδάσκοντα από τα προηγούμενα 2 φυλλάδια (ή μια πολύ παρόμοια). Η συμμετοχή των φοιτητών σ'αυτό είναι προαιρετική αλλά συνιστάται έντονα η συμμετοχή σας ώστε τα διαγωνίσματα (πρόοδος, τελικός) να μην σας έρθουν δύσκολα.

Βαθμολογικό σύστημα: Εστω I ο βαθμός της εξέτασης του Ιανουαρίου, M ο βαθμός της προόδου και T ο βαθμός των ασκήσεων.
Ο τελικός βαθμός για την περίοδο του Ιανουαρίου θα είναι το μέγιστο των:

1. I
2. 0.6 I + 0.4 M
3. 0.6 I + 0.4 T
4. 0.6 I + 0.2 M + 0.2 T

Ασκηση 1: Μπορείτε να παραλείψετε μια από τις παραπάνω 4 ποσότητες χωρίς να αλλάξει το βαθμολογικό σύστημα για την περίοδο Ιανουαρίου;

Αρχή εξαμήνου: Η σελίδα αυτή θα ενημερώνεται τακτικά για θέματα που αφορούν τη Μιγαδική Ανάλυση (Μ 211). Εδώ θα βρίσκετε συνήθως:

1. Μια πολύ σύντομη περιγραφή του τι ειπώθηκε κάθε μέρα στο μάθημα
2. Ποιές ασκήσεις συνιστώ να λύνετε και, ενδεχομένως, υποδείξεις για τη λύση τους
3. Παλιά θέματα εξετάσεων
4. Σημαντικές ανακοινώσεις (ημερομηνίες διαγωνισμάτων, στατιστικά στοιχεία για τις επιδόσεις στα διαγωνίσματα, κ.λ.π.)
5. Δείκτες (links) σε άλλες σελίδες στο Internet με παρόμοια θέματα
6. Διάφορα ιστορικά στοιχεία σχετικά με το μάθημα, κ.ά.

Γιατί η σελίδα;
Ενας από τους λόγους ύπαρξης αυτής της σελίδας είναι σα κίνητρο για την απόκτηση από το φοιτητή ικανότητας χρήσης του Internet. Σκοπός είναι να γνωρίζει κανείς τι είδους πληροφορίες μπορεί να βρεί στο δίκτυο καθώς και το πώς να τις αναζητήσει.
Φυσικά, μια και υπάρχει κόσμος που δεν θέλει να αποκτήσει τέτοιες γνώσεις και δε θέλει να έχει επαφή με τον υπολογιστή, η σελίδα αυτή θα τυπώνεται και θα αναρτάται έξω από το γραφείο μου περίπου μια φορά τη βδομάδα, ώστε να μπορεί κανείς να πάρει όλη την πληροφορία απο εκεί.

Μερικά ιστορικά στοιχεία για τον Κωνσταντίνο Καραθεοδωρή , ίσως το μεγαλύτερο Ελληνα μαθηματικό των νεότερων χρόνων και με τεράστια συνεισφορά στη Μιγαδική Ανάλυση.

Πέ, 18 Σεπ: Στην κλειστή συλλογή της βιβλιοθήκης έχω τοποθετήσει τα εξής βιβλία σχετικά με το μάθημα (είναι όλα γραμμένα στα Αγγλικά).

1. J.B. Conway, Functions of one complex variable, Springer (1973).
2. G. Polya and G. Latta, Complex Variables, Wiley (1974).
3. J. Marsden and M. Hoffman, Basic Complex Analysis, Freeman (1987).

Πα, 19 Σεπ: Μπορείτε να αναζητείτε ηλεκτρονικά βιβλία στη βιβλιοθήκη της Σχολής Θετ. Επιστημών. (Δώστε library για όνομα login.)

Δ, 22 Σεπ: Οι αίθουσες τερματικών στην πτέρυγα Γ θα παραμένουν ανοιχτές 9πμ-9μμ (καθημερινές) και 9πμ-3μμ (Σάββατο) Αυτά ισχύουν από 29/9 αλλά οι αίθουσες θα είναι γενικά ανοιχτές και αυτή την εβδομάδα.
Εκεί υπάρχουν απλά τερματικά (χωρίς graphics) τύπου VT (όπου τα ελληνικά γράμματα εν γένει δεν έχουν πρόβλημα) και τερματικά graphics τύπου X-terminals τα οποία (προσωρινά ελπίζω) έχουν πρόβλημα με τα Ελληνικά, αλλά είναι σαφώς προτιμητέα από τα VT κατά τα άλλα. Αν δε σας πειράζει να βλέπετε Ελληνικά με λατινικούς χαρακτήρες τότε χρησιμοποιείστε αυτά. Σύντομα θα έχουμε και αρκετά PC που θα κάνουν την πρόσβαση στο δίκτυο ακόμη πιο άνετη.
Στα VT χρησιμοποιείτε το πρόγραμμα lynx ενώ στα X-terminals και PC το πρόγραμμα netscape.

Tρ, 23 Σεπ: Κάναμε επισκόπηση των μιγαδικών αριθμών (Κεφ. 1, § 1-7). Την Πέμπτη θα μοιραστεί το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων και θα αρχίσουμε να μιλάμε για συναρτήσεις με μια μιγαδική μεταβλητή.

Tε, 24 Σεπ: 1η ομάδα ασκήσεων:
σελ. 24: 6, 13, 18
σελ. 39: 1, 3, 6, 8
σελ. 50: 8, 9, 11

Πε, 25 Σεπ: Κεφ. 2, § 9-12. Μιλήσαμε για συναρτήσεις με μια μιγαδική μεταβλητή και είδαμε μερικά παραδείγματα απεικονίσεων χωρίων του μιγαδικού επιπέδου μέσω συναρτήσεων. Είδαμε επίσης και τον ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης όταν η μεταβλητή συγκλίνει σε ένα πεπερασμένο μιγαδικό αριθμό ή στο άπειρο.
Ελπίζω την Τρίτη να έχω να σας μοιράσω στην τάξη φωτοτυπίες από τα σχετικά τμήματα του βιβλίου που αφορούν τις ασκήσεις κυρίως. Μπορείτε επίσης να δανείζεστε το βιβλίο από την κλειστή συλλογή της βιβλιοθήκης.

Τρ, 30 Σεπ: Κεφ. 2, § 13-16. Μιλήσαμε για στερεογραφική προβολή, συνέχεια συναρτήσεων και τέλος δώσαμε τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής. Είδαμε παραδείγματα συναρτήσεων που έχουν παράγωγο και παραδείγματα μη παραγωγισίμων συναρτήσεων.

Πέ, 2 Οκτ: Κεφ. 2, § 16-17. Επαναλάβαμε τον ορισμό της παραγώγου και τον αναδιατυπώσαμε ως
f(z+h) = f(z) + f'(z) h + o(h)
όπου η συνάρτηση o(h) έχει την ιδιότητα
o(h) / h --> 0, όταν το h --> 0.
Αποδείξαμε πως ένα πολυώνυμο του z δεν μπορεί να παίρνει μόνο πραγματικές τιμές σε όλο το μιγαδικό επίπεδο. Τέλος δείξαμε πως μια συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy-Riemann.

Μερικά ιστορικά στοιχεία για τους Cauchy και Riemann.

Σά, 4 Οκτ: Τα τερματικά graphics τύπου X-terminals της πτέρυγας Γ τώρα υποστηρίζουν και Ελληνικούς χαρακτήρες. Ετσι μπορείτε να βλέπετε τη σελίδα αυτή (καθώς και τις σελίδες προς τις οποίες υπάρχουν δείκτες από εδώ) σε περιβάλλον graphics. Ετσι μπορεί στο μέλλον να υπάρχουν και εικόνες εδώ, πράγμα που απέφευγα να κάνω μέχρι τώρα επειδή οι περισσότεροι από σας δεν είχατε πρόσβαση σε περιβάλλον γραφικών.

Δε, 6 Οκτ: Ο Γιώργος Κετσετσής (μεταπτυχιακός φοιτητής του Μαθηματικού Τμήματος) ορίστηκε βοηθός για το μάθημα. Θα βρίσκεται στο γραφείο του (Η 304) κάθε Δευτέρα 6-9μμ για να σας βοηθήσεις με όποιες ερωτήσεις τυχόν έχετε για το μάθημα.
Επίσης, όσοι από σας θέλετε, μπορείτε να γράφετε τις ασκήσεις που σας δίνω και να τις δίνετε στο Γιώργο για διόρθωση. Δε θα παίρνετε βαθμό από αυτό αλλά θα σας βοηθήσει στο να ξέρετε αν έχετε λύσει σωστά κάποιες ασκήσεις.

Τρ, 7 Οκτ: Κεφ. 2, § 18,20,21. Αποδείξαμε πως οι συνθήκες Cauchy-Riemann και η συνέχεια των μερικών παραγώγων συνεπάγονται την ύπαρξη μιγαδικής παραγώγου. Αποδείξαμε επίσης πως το πραγματικό και το φανταστικό μέρος μιας αναλυτικής συνάρτησης είναι αρμονικές συναρτήσεις (χρησιμοποιήσαμε χωρίς απόδειξη πως κάθε αναλυτική συνάρτηση έχει συνεχείς μερικές παραγώγους 2ης τάξης).
Υπενθυμίζεται πως την προσεχή Πέμπτη, 9 Οκτ, θα έχουμε το πρώτο διαγώνισμα πάνω στις δύο πρώτες ομάδες ασκήσεων.

Πέ, 9 Οκτ: Κεφ. 3, § 22-25. Στοιχειώδεις συναρτήσεις. Είχαμε το πρώτο διαγώνισμα (άσκηση 2 του 2ου φυλλαδίου) και μοιράστηκε το 3ο φυλλάδιο ασκήσεων.

Κυ, 12 Οκτ: Ο μέσος όρος στο πρώτο διαγώνισμα ήταν 6.9/10. Το πλέον κοινό λάθος ήταν η εύρεση των μερικών παραγώγων των συναρτήσεων u και v στο (0,0) παραγωγίζοντας τον πρώτο τύπο του κλαδικού ορισμού. Αυτό είναι φυσικά λάθος αφού η συνάρτηση δε δίνεται από αυτό τον τύπο στο (0,0).
Επίσης υπήρχε μια γενική σύγχυση ως προς το ποιές επιπλέον συνθήκες χρειάζονται ώστε από τις εξισώσεις Cauchy-Riemann να μπορούμε να συμπεράνουμε την ύπαρξη μιγαδικής παραγώγου σε ένα σημείο.

Τρ, 14 Οκτ: Κεφ. 4, § 30-32. Συναρτήσεις από τους πραγματικούς στους μιγαδικούς, παράγωγοι και ολοκληρώματα τους. Παραμετρίσεις καμπυλών στο C. Μήκος τόξου. Επικαμπύλια ολοκληρώματα (ολοκληρώματα βρόχου, κατά το βιβλίο).

Πέ, 16 Οκτ: Κεφ. 4, § 33-34. Είδαμε διάφορα παραδείγματα υπολογισμού επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων. Επίσης μια βασική ανισότητα για το μέτρο ενός ολοκληρώματος μέσω του μεγίστου της ολοκληρωτέας συνάρτησης και του μήκους του δρόμου. Ορίσαμε την παράγουσα συνάρτησης και αποδείξαμε πως μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένα χωρίο D έχει παράγουσα στο D αν και μόνο αν το ολοκλήρωμά της είναι 0 πάνω σε κάθε κλειστή καμπύλη στο D (που είναι το ίδιο με το να πει κανείς πως η τιμή ενός ολοκληρώματος δεν εξαρτάται από το δρόμο που διαλέγει κανείς αλλά μόνο από τα άκρα του.

4η ομάδα ασκήσεων:
σελ. 111: 5, 7.
σελ. 120: 2, 3, 7, 11, 13, 14, 16.

Τρ, 21 Οκτ: Κεφ. 4, § 35,38: Το θεώρημα του Cauchy. Το αποδείξαμε με την (μη αναγκαία) υπόθεση ότι η παράγωγος της f είναι συνεχής. Η απόδειξη χωρίς αυτή την υπόθεση βρίσκεται στις § 36,37 τις οποίες δεν καλύψαμε (αλλά ίσως να το κάνουμε στο προσεχές μέλλον).
Την επόμενη Πέμπτη, 23/10, θα έχουμε το 2ο διαγώνισμα πάνω στην 3η και 4η ομάδα ασκήσεων.
Επίσης την Πέμπτη θα έχουμε την έναρξη του φοιτητικού σεμιναρίου. Ομιλητής ο Γ. Μενεγάκης με θέμα την ύπαρξη συνεχών πουθενά παραγωγισίμων συναρτήσεων με μεθόδους κατηγορίας.

Πέ, 23 Οκτ: Κεφ. 4, § 39: Είδαμε τον τύπο του Cauchy για τα ολοκληρώματα, ο οποίος μας επιτρέπει να εκφράσουμε την τιμή μιας αναλυτικής συνάρτησης f σε ένα σημείο z ενός χωρίου D με σύνορο μιαν απλή κλειστή καμπύλη Γ ως ένα έπικαμπύλιο ολοκλήρωμα πάνω στη Γ μιας συνάρτησης που καθορίζεται από τις τιμές της f πάνω στη Γ και μόνο. Είδαμε επίσης διάφορα παραδείγματα ολοκληρωμάτων που υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο του Cauchy.
Μοιράστηκε το 5ο φυλλάδιο ασκήσεων και είχαμε το 2ο 15ήμερο διαγώνισμα.

Δε, 27 Οκτ: Ο μέσος όρος στο 2ο διαγώνισμα ήταν περίπου 5/10. Ο μέσος όρος αφορά μόνο τα γραπτά τα οποία παραδόθηκαν (18 αυτή τη φορά έναντι 32 την προηγουμένη).
Δεδομένου ότι η άσκηση που σας ζητήθηκε να γράψετε είχε (σχεδόν η ίδια) λυθεί μέσα στην τάξη την Τρίτη 21 Οκτ, τα αποτελέσματα σαφώς δεν ήταν αντίστοιχα με τις δυνατότητες σας. Θα ήθελα να σας τονίσω εδώ πως δεν είναι ιδιαίτερα επιτυχημένη η τακτική του να αποφασίζετε πριν το διαγώνισμα πως "κάποιες ασκήσεις αποκλείεται να πέσουν". Επίσης θα έπρεπε να έρχεστε στο γραφείο μου για ερωτήσεις αρκετές μέρες νωρίτερα και όχι πάντα την προηγουμένη όπως συνηθίζετε, αφού αυτό δεν σας αφήνει αρκετό χρόνο να κατανοήσετε τις όποιες υποδείξεις σας δίνονται.

Το φοιτητικό σεμινάριο συνεχίζει τις δραστηριότητες του. Αυτή την Πέμπτη, 30 Οκτ (8μμ, Θ207), θα μιλήσει η Μαρίζα Ζυμωνοπούλου με θέμα Γεωμετρικές Πιθανότητες: Το προβλημα των τεσσάρων σημείων του J.J. Sylvester.

Πέ, 30 Οκτ: Κεφ. 4, § 40-41. Ο ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy για την παράγωγο. Κάθε αναλυτική συνάρτηση έχει άπειρες μιγαδικές (και μερικές) παραγώγους. Το θεώρημα του Morera.

6η ομάδα ασκήσεων: σελ. 151: 4,5,9.
Επίσης, για να εξοικειωθείτε με προβλήματα όπως αυτό του 2ου διαγωνίσματος κοιτάξετε τις ασκήσεις 1-6 της σελίδας 254 (αυτές οι τελευταίες δε θα εξεταστούν στο επόμενο διαγώνισμα).

Τρ, 4 Νοε: Κεφ. 4, § 42: Αρχή μεγίστου. Την Πέμπτη 6 Νοεμβρίου θα έχουμε το 3ο 15θήμερο διαγώνισμα.

Πέ, 6 Νοε: Κεφ. 4, § 43: Το θεώρημα του Liouville και το θεμελιώδες θεώρημα της Αλγεβρας (δηλ. ότι κάθε μη σταθερό πολυώνυμο μιας μιγαδικής μεταβλητής μηδενίζεται τουλάχιστον σε ένα σημείο). Ακέραιες συναρτήσεις που είναι φραγμένες από μια δύναμη του |z|.

Φοιτητικό σεμινάριο: Κατασκευή συγκεκριμένης συνάρτησης η οποία είναι παντού συνεχής και πουθενά παραγωγίσιμη (ομιλητής: Γιάννης Τουλόπουλος).

7η ομάδα ασκήσεων: σελ. 159, 1-8.

Η κατανομή της βαθμολογίας των τριών πρώτων ασκήσεων έχει ως εξής (άριστα = 30):
31 31 30 29 29 28 26 25 25 25 24 24 23 22 20 20 19 19 17 15 15 15 14 12 10 10 9 7 7 6 4 4 4 3 0
Ο μέσος όρος στο τελευταίο διαγώνισμα ήταν 10.69 ! (από 26 γραπτά).

Φοιτητικό σεμινάριο: Η κατανομή του κλασματικού μέρους του nθ για άρρητο θ. Τα θεωρήματα των L.Kronecker και H.Weyl.
Ομιλήτριες: Ιωάννα Μπρόκου και Βάσω Φλώρου.
Πέμπτη 13 Νοεμβρίου, 8μμ, Αμφιθέατρο Σ. Πνευματικού.

Πέ, 13 Νοε: Κεφ. 5, § 44-46. Σειρές μιγαδικών αριθμών, δυναμοσειρές, σειρές Taylor αναλυτικών συναρτήσεων και σύγκλιση αυτών στη συνάρτηση, παραδείγματα αναπτυγμάτων σε δυναμοσειρά.

8η ομάδα ασκήσεων: σελ. 174, 1-11.

ΠΡΟΟΔΟΣ: Κυριακή, 23 Νοεμβρίου, 5μμ, Αμφιθέατρα Σ.Π. και Β.Ξ.
Η εξεταστέα ύλη είναι μέχρι και τη σελίδα 174.
Δεν επιτρέπεται η χρήση σημειώσεων παρά μόνο μιας σελίδας Α4 στην οποία επιτρέπεται να γράψετε ό,τι θέλετε (κι από τις δύο πλευρές).

Τρ, 18 Νοε: Κεφ. 5, § 47-48. Σειρές Laurent και παραδείγματα.
Μην ξεχάσετε ότι την Πέμπτη έχουμε το τακτικό μας 15θήμερο διαγώνισμα παρά το ότι την Κυριακή έχουμε πρόοδο.

Ωρα ασκήσεων: Παρασκευή, 21 Νοεμβρίου, 5μμ, Θ207 ή Θ201. Ελάτε προετοιμασμένοι να κάνετε ερωτήσεις για πράγματα που δεν καταλάβατε.

Πέ, 20 Νοε: Κεφ. 5, § 49. Απόλυτη και ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειρών.

Το φοιτητικό σεμινάριο έχει ως θέμα αυτή την Πέμπτη (8μμ, Αμφ. Σ.Π.) το θεώρημα της φιλίας. Ομιλήτριες οι Ευαγγελία Καλλιγιανάκη και Ειρήνη Μαυριτσάκη.

9η ομάδα ασκήσεων:
σελ. 182: 1, 3, 4, 7, 9, 10
σελ. 198: 1, 4, 5

Ο μέσος βαθμός στο τελευταίο διαγώνισμα ήταν 5.27 (από 22 γραπτά).
Σας ζητήθηκε να δείξετε ότι αν μια ακέραια f=u+iv έχει u+2v φραγμένο πάνω τότε η f είναι σταθερή. Η απάντηση είναι ότι η u+2v=Re( (1-2i)f ) και αφού η (1-2i)f είναι ακέραια, από το θεώρημα που σας δόθηκε μέσα στην τάξη, η (1-2i)f, άρα και η f, είναι σταθερή.

Τρ, 25 Νοε: Κεφ. 5, § 50-51. Ολοκλήρωση και παραγώγιση δυναμοσειρών. Οι σειρές Taylor και Laurent παριστάνουν αναλυτικές συναρτήσεις μέσα στους δίσκους ή δακτυλίους σύγκλισής τους.

Πέ, 27 Νοε: Κεφ. 5, § 52. Πολλαπλασιασμός (αλλά όχι και διαίρεση) δυναμοσειρών.
Κεφ. 6, § 53-55. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και η χρήση τους για υπολογισμό ολοκληρωμάτων. Ταξινόμηση μεμονωμένων ανωμαλιών μιας αναλυτικής συνάρτησης.

10η ομάδα ασκήσεων:
σελ. 198: 13, 14.
σελ. 210: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8

Φοιτητικό σεμινάριο: Το θεώρημα του Γάμου και Λατινικά Τετράγωνα, Αμφ. Σ. Πνευματικού, 8μμ, 27/11/97.
Ομιλήτρια: Franziska Berger.

Τρ, 2 Δεκ και Πέ, 4 Δεκ: Κεφ. 6, § 56-59. Υπολογισμός ολοκληρωτικών υπολοίπων σε πόλους και χρήση επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων για τον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων πάνω στην πραγματική ευθεία.

11η ομάδα ασκήσεων:
σελ. 217: 1, 3, 6, 7, 12.
σελ. 228: 1, 2

Φοιτητικό σεμινάριο: Παιχνίδια με άπειρες κινήσεις και νικητήριες στρατηγικές: Το παιχνίδι των S.Banach και S.Mazur.
Θ 201, 8μμ, 4/12/97.
Ομιλήτρια: Δέσποινα Νίκα.

Τρ, 9 Δεκ και Πέ, 11 Δεκ: Κεφ. 6, § 60, 63. Υπολογισμός πραγματικών ολοκληρωμάτων (συνέχεια). Κοιτάξτε οπωσδήποτε τις ασκήσεις 12, 13 της σελ. 236. Υπολογισμός του αριθμού ριζών μέσα σε απλή καμπύλη και θεώρημα Rouche.

Εγραψα και μοίρασα 4 σελίδες με ασκήσεις που είναι επιλεγμένες έτσι ώστε να σας βοηθήσουν στην προετοιμασία σας για το τελικό διαγώνισμα. Πάρτε ένα αντίγραφο από το γραφείο μου πριν φύγετε για διακοπές.

Το τελευταίο διαγώνισμα για το μάθημα θα γίνει την επόμενη Τρίτη 16 Δεκ. Την Πέμπτη 18 Δεκ. θα γίνει κανονικά διάλεξη για το μάθημα.

Φοιτητικό σεμινάριο: Θεωρήματα τύπου Ramsey.
Θ 201, 8μμ, 11/12/97.
Ομιλήτρια: Κατερίνα Χατζημαλή.

Τρ, 16 Δεκ και Πέ, 18 Δεκ: Κεφ. 7, § 64-66. Η απεικόνιση w = 1/z. Πώς μετασχηματίζονται οι κύκλοι και οι ευθείες. Η απεικόνιση στο γενικευμένο επίπεδο (μαζί με το σημείο στο άπειρο). Απεικονίσεις με διγραμμικούς μετασχηματισμούς.
Λύστε τις ασκήσεις της σελ. 254 και τις 1-10 της σελ. 261.

Το τελικό διαγώνισμα θα γίνει στις 18 Ιανουαρίου, 1998, 5μμ.
Η εξεταστέα ύλη είναι από την αρχή του βιβλίου μέχρι και την § 66 με την εξαίρεση των § 19, 28, 29, 36, 37, 61, 62.
Όπως και στην πρόοδο, στο τελικό διαγώνισμα θα μπορείτε να έχετε μαζί σας μόνο μια σελίδα Α4 με ό,τι σημειώσεις θέλετε.

Είναι πιθανό να οριστεί ένα δίωρο ασκήσεων πριν το διαγώνισμα.

Ασκήσεις, Πέμπτη, 15 Ιαν., 5μμ, Θ-207.

Η κατανομή τελικών βαθμών για όσους έδωσαν το διαγώνισμα Ιανουαρίου έχει ως εξής:
10 10 9 9 8.5 8.5 8.5 8.5 8 8 7.5 7 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6 6 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 3.5 3 3 2