\( \newcommand{\Ds}{\displaystyle} \newcommand{\PP}{{\mathbb P}} \newcommand{\RR}{{\mathbb R}} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\CC}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\NN}{{\mathbb N}} \newcommand{\TT}{{\mathbb T}} \newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Abs}[1]{{\left|{#1}\right|}} \newcommand{\Floor}[1]{{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}} \newcommand{\Ceil}[1]{{\left\lceil{#1}\right\rceil}} \newcommand{\sgn}{{\rm sgn\,}} \newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}} \newcommand{\Norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}} \newcommand{\Prob}[1]{{{{\mathbb P}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\Mean}[1]{{{{\mathbb E}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\cis}{{\rm cis}\,} \newcommand{\one}{{\mathbf 1}} \newcommand{\One}[1]{{\bf 1}\left(#1\right)} \renewcommand{\Re}{{\rm Re\,}} \renewcommand{\Im}{{\rm Im\,}} \renewcommand{\arg}{{\rm arg\,}} \renewcommand{\Arg}{{\rm Arg\,}} \renewcommand{\deg}{{\rm deg\,}} \renewcommand{\vol}{{\rm vol\,}} \renewcommand{\span}{{\rm span\,}} \newcommand{\ft}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}} \newcommand{\FT}[1]{\left(#1\right)^\wedge} \newcommand{\Lone}[1]{{\left\|{#1}\right\|_{1}}} \newcommand{\Linf}[1]{{\left\|{#1}\right\|_\infty}} \newcommand{\inner}[2]{{\langle #1, #2 \rangle}} \)

1. 21-9-2026: Αρχίζει το εξάμηνο.
2. 14-9-2026: Δε θα γίνουν οι διαλέξεις του μαθήματος τις 2 εβδομάδες από 25 Οκτωβρίου έως 8 Νοεμβρίου. Τα εργαστήρια (Παρασκευή) αυτών των δύο εβδομάδων θα γίνουν κανονικά.

Δε 9-11, Τρ 1-3, Τε 9-11. Εργαστήριο: Πα 1-3. (Το μάθημα της Τρίτης μόνο τις πρώτες εβδομάδες του εξαμήνου.)
Δε, Τε: Αμφιθέατρο: Α201. Τρ: Αίθουσα Α214, Πα: (εργαστήριο) Ε212 (αναγνωστήριο).

Ώρες γραφείου διδάσκοντα: Παρασκευή 1-2, στο Ε 212.

• Σύντομη επισκόπηση βασικών ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών και γνωστών στοιχειωδών συναρτήσεων (πολυωνυμικές, ρητές, δυνάμεις, εκθετικές, τριγωνομετρικές). Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Σημείωση: στο μάθημα αυτό δεν γίνεται αναφορά στην έννοια του supremum.
• Ακολουθίες. Όριο ακολουθίας (εψιλοντικός ορισμός). Αλγεβρικές και ανισοτικές ιδιότητες ορίων. Ύπαρξη ορίου μονότονης ακολουθίας (χωρίς απόδειξη). Ο αριθμός e. Ακολουθίες οριζόμενες με αναδρομικό τύπο.
• Όριο συνάρτησης (εψιλοντικός ορισμός). Αλγεβρικές και ανισοτικές ιδιότητες ορίων. Ύπαρξη ορίου μονότονης συνάρτησης (χωρίς απόδειξη).
• Συνέχεια συνάρτησης. Είδη ασυνεχειών. Αλγεβρικές ιδιότητες συνέχειας. Θεωρήματα φραγμένης συνάρτησης (χωρίς απόδειξη), μέγιστης-ελάχιστης τιμής (χωρίς απόδειξη), ενδιάμεσης τιμής (χωρίς απόδειξη), θεώρημα Bolzano, θεώρημα διατήρησης προσήμου. Σύνολο τιμών γνησίως μονότονης συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα. Η συνέχεια της αντίστροφης γνησίως μονότονης συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα.
• Παράγωγος συνάρτησης. Αλγεβρικές ιδιότητες παραγώγων. Κανόνας αλυσίδας, παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης. Θεωρήματα Fermat, Rolle, μέσης τιμής (Lagrange και Cauchy). Παράγωγος και μονοτονία. Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Δεύτερη παράγωγος και κυρτότητα. Μελέτη συνάρτησης. Οι δύο κανόνες του l’Hôpital.
• Ορισμένο ολοκλήρωμα Riemann (βάσει αθροισμάτων Riemann). Ολοκληρωσιμότητα συνεχούς συνάρτησης (χωρίς απόδειξη) και μονότονης συνάρτησης (χωρίς απόδειξη). Αλγεβρικές και ανισοτικές ιδιότητες ολοκληρωμάτων (ελάχιστες αποδείξεις).
• Παράγουσες και αόριστα ολοκληρώματα συνάρτησης. Θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού. Τεχνικές υπολογισμού ολοκληρωμάτων. Εφαρμογές σε υπολογισμούς εμβαδών, όγκων κ.τ.λ. Απλά γενικευμένα ολοκληρώματα.
• Σειρές αριθμών. Σύγκλιση και απόκλιση σειράς. Αλγεβρικές και ανισοτικές ιδιότητες. Σειρές με μη-αρνητικούς όρους. Κριτήρια σύγκλισης (ολοκληρωτικό, συμπύκνωσης, απόλυτης σύγκλισης, λόγου, ρίζας, εναλλασσόμενων προσήμων). Δυναμοσειρές. Διάστημα σύγκλισης. Σειρές Taylor γνωστών συναρτήσεων (εκθετικής, ημιτόνου, συνημιτόνου, λογαρίθμου, τόξο εφαπτομένης).

1. Θα χρησιμοποιήσουμε το παρακάτω κείμενο: [Π]: Μ. Παπαδημητράκης, Απειροστικός Λογισμός (δείτε εδώ)
2. Επίσης θα χρησιμοποιούμε τις βιντεοδιαλέξεις/ασκήσεις που φαίνονται εδώ [V]. Εδώ θα γίνονται κάποιες αλλαγές (προσθήκες, διορθώσεις) κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Οι διαλέξεις αυτές αντιστοιχούν στο μάθημα όπως διδάχτηκε το 2021-22.

Ο βαθμός σας θα προκύψει από 3 υποχρεωτικά διαγωνίσματα μέσα στο εξάμηνο, χωρίς τελικό διαγώνισμα. Έτσι η ύλη του μαθήματος χωρίζεται περίπου στα 3 και εξετάζεται χωριστά. Οι συντελεστές του κάθε διαγωνίσματος είναι 20%, 40%, 40% (ο χαμηλότερός σας βαθμός μετράει 20% και οι δύο άλλοι από 40%).

Όσοι από σας περνάτε το μάθημα με τα διαγωνίσματα ενδέχεται να κληθείτε και σε υποχρεωτική προφορική εξέταση, η οποία θα γίνει μέσα στην εξεταστική περίοδο του Ιανουαρίου.

Τα διαγωνίσματα θα γίνουν στις παρακάτω μέρες:

1. Δευτέρα 19 Οκτωβρίου 2026,
2. Δευτέρα 23 Νοεμβρίου 2026 και
3. Τετάρτη 16 Δεκεμβρίου 2026.

Και τις τρεις μέρες τα διαγωνίσματα θα γίνουν την ώρα του μαθήματος, δηλ. 9-11 πμ.

Αν κάποιος από σας έχει αντικειμενικό και σοβαρό λόγο για τον οποίο δε μπορεί να γράψει τα ενδιάμεσα διαγωνίσματα και θέλει να εξεταστεί μόνο με τελική (ενδεχομένως προφορική) εξέταση θα πρέπει να μου στείλει email μέχρι 11 Οκτωβρίου 2026 εξηγώντας τους λόγους που έχει και μετά από έγκριση θα δώσει μόνο τελική εξέταση. Όσοι δεν έχουν πάρει έγκριση μέχρι αυτή την ημερομηνία θα πρέπει αναγκαστικά να συμμετάσχουν στα 3 υποχρεωτικά διαγωνίσματα.

Εδώ φαίνονται όσοι θα δώσουν μόνο την τελική εξέταση.

Δε, 21 Σεπ. 2026

Σήμερα είδαμε τον ορισμό μιας ακολουθίας και παραδείγματα. Είδαμε έπειτα τι σημαίνει για μια ακολουθία να είναι μονότονη (αύξουσα ή φθίνουσα) και γνήσια μονότονη. Επίσης είδαμε την έννοια του άνω και κάτω φράγματος μιας ακολουθίας και το τι σημαίνει για μια ακολουθία να είναι άνω ή κάτω φραγμένη.

Από το βιβλίο [Π] διαβάστε τις § 3.1, 3.2, και λύστε τις ασκήσεις από κει. Από τις βιντεοδιαλέξεις [V] καλύψαμε αυτά..

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 1 εδώ.
Και σε στενή μορφή για smartphones εδώ.

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 1 (λύσεις) εδώ.
Και σε στενή μορφή για smartphones (λύσεις) εδώ.

Τρ, 22 Σεπ. 2026

Σήμερα μιλήσαμε για το όριο μιας ακολουθίας, $L = \lim a_n$, πρώτα για την περίπτωση που το $L$ είναι πραγματικός αριθμός και μετά για τις περιπτώσεις $L = \pm \infty$. Σε όλες τις περιπτώσεις είδαμε αρκετά παραδείγματα ορίων και πώς, για να αποδείξουμε ότι το όριο είναι το $L$, εργαζόμαστε για να βρούμε ένα $n_0$ τ.ώ. για $n \ge n_0$ να ισχύει είτε $\Abs{a_n - L} \le \epsilon$, $a_n \ge M$ ή $a_n \le -M$, ανάλογα με το αν εργαζόμαστε για να δείξουμε $a_n \to L \in \RR$, $a_n \to +\infty$ ή $a_n \to -\infty$.

Από το βιβλίο [Π] διαβάστε την § 3.3 και λύστε τις ασκήσεις εκεί. Από τις βιντεοδιαλέξεις [V] καλύψαμε μέχρι και το ΌρΑκ-12.

Τε, 23 Σεπ. 2026

Σήμερα, μετά από μια γρήγορη επανάληψη στα προηγούμενα, είδαμε ότι αν αλλάξουμε πεπερασμένες στο πλήθος τιμές μιας ακολουθίας τότε δεν αλλάζει το όριό της (το όριο λοιπόν είναι μια τελική ιδιότητα μιας ακολουθίας, ή, με άλλα λόγια, αν δύο ακολουθίες ταυτίζονται από ένα δείκτη και πέρα τότε έχουν το ίδιο όριο). Είδαμε ότι αν προσθέσουμε μια μηδενική ακολουθία σε μια άλλη τότε δεν αλλάζει το όριό της. Είδαμε την έννοια της υπακολουθίας, είδαμε παραδείγματα και αποδείξαμε ότι μια ακολουθία συγκλίνει στο $L \in \overline{\RR}$ αν και μόνο αν κάθε υπακολουθία της συγκλίνει στο $L$. Μιλήσαμε για το όριο του αθροίσματος δύο ακολουθιών, δείξαμε ότι κάθε ακολουθία που συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό είναι φραγμένη και δείξαμε ότι το γινόμενο μηδενικής ακολουθίας με φραγμένη ακολουθία είναι επίσης μηδενική ακολουθία.

Από το βιβλίο [Π] διαβάστε την § 3.4 και μέρος της § 3.5. Από τις βιντεοδιαλέξεις [V] καλύψαμε από το ΌρΑκ-12 έως το ΌρΑκ-27.

Δε, 28 Σεπ. 2026

Μιλήσαμε για το όριο του γινομένου δύο ακολουθιών και είδαμε ότι αν $a_n \to A, b_n \to B$, με $A, B \in \RR$ τότε έχουμε $a_n b_n \to A B$. Είδαμε και σε ποιες περιπτώσεις μπορούμε να επιτρέψουμε τις τιμές $\pm\infty$ στα $A, B$ και ποιο είναι τότε το συμπέρασμα (οι <<απροσδιόριστες>>> μορφές είναι μόνο οι $0 \cdot \pm\infty$). Είδαμε έπειτα ποιο είναι το όριο μιας πολυωνυμικής ακολουθίας $$ a_n = p(n) = p_0 + p_1 n + p_2 n^2 + \cdots + p_d n^d, $$ όπου τα $p_0, \ldots, p_d$ είναι σταθερές και $p_d \neq 0$ (το όριο είναι ${\rm sgn}\, p_d \infty$, όπου ${\rm sgn x}$ είναι το πρόσημο του πραγματικού αριθμού $x$ ή $0$ αν $x=0$). Αποδείξαμε ότι αν $a_n \le b_n$ τότε $\lim a_n \le \lim b_n$ αν τα όρια υπάρχουν. Είδαμε επίσης ότι αν $\lim a_n \lt \lim b_n$ τότε τελικά ισχύει $a_n \lt b_n$.

Από το βιβλίο [Π] διαβάστε τις § 3.5, 3.6. Από τις βιντεοδιαλέξεις [V] καλύψαμε από το ΌρΑκ-12 έως το ΌρΑκ-40.

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 2 εδώ.
Και σε στενή μορφή για smartphones εδώ.

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 2 (λύσεις) εδώ.
Και σε στενή μορφή για smartphones (λύσεις) εδώ.

Τρ, 29 Σεπ. 2026

Αποδείξαμε ότι αν $x_n \le a_n \le y_n$ τελικά και $\lim_n x_n = \lim_n y_n = x \in \overline{\RR}$ τότε και $\lim_n a_n = x$. Έπειτα αποδείξαμε την ανισότητα του Bernoulli $$ (1+x)^n \ge 1+nx $$ για $n \ge 1, x \ge -1$, και τη χρησιμοποιήσαμε για να δείξουμε διάφορα όρια: των ακολουθιών $a^n$ και $a^{1/n}$ για όλες τις πραγματικές τιμές του $a$, της ακολουθίας $n^{1/n}$ και της $a^n/n^b$ για όλες τις σταθερές $a \gt 0$, $b \gt 0$.

Από το βιβλίο [Π] διαβάστε την § 3.7. Από τις βιντεοδιαλέξεις [V] καλύψαμε από το ΥπΌρ-1 έως το ΥπΌρ-14..

Τε, 30 Σεπ. 2026

Δείξαμε ότι $\frac{a^n}{n!} \to 0$ για κάθε $a\gt 0$. Έπειτα δείξαμε ότι όλες οι μονότονες ακολουθίες συγκλίνουν στο $\overline{\RR}$. Αν μια αύξουσα ακολουθία είναι και φραγμένη άνω τότε συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό. Ομοίως μια φθίνουσα ακολουθία που είναι φραγμένη κάτω. Δείξαμε έπειτα ότι η ακολουθία $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ έχει όριο έναν πραγματικό αριθμό τον οποίο ονομάσαμε $e$. Υπολογίσαμε όρια διαφόρων ακολουθιών στα οποία εμφανίζεται ο αριθμός $e$. Είδαμε, τέλος, ότι αν μια ακολουθία ορίζεται με αναδρομικό τύπο τότε το όριό της (αν ξέρουμε ότι υπάρχει) ικανοποιεί μια εξίσωση που προκύπτει από τον αναδρομικό τύπο και άρα, συνήθως, εύκολα μπορούμε να το υπολογίσουμε.

Από το βιβλίο [Π] διαβάστε το υπόλοιπο του Κεφ. 3 και λύστε ασκήσεις από εκεί. Από τις βιντεοδιαλέξεις [V] καλύψαμε από το ΥπΌρ-15 έως το ΥπΌρ-26..

Δε, 5 Οκτ. 2026

Δείξαμε ότι αν $a_n \to L \in \overline{\RR}$ τότε και η ακολουθία των μέσων όρων της $a_n$ $$ \mu_n = \frac{a_1+\cdots+a_n}{n} $$ επίσης συγκλίνει στο $L$. Είδαμε ότι η αντίστροφη συνεπαγωγή δεν ισχύει, υπάρχουν δηλ. ακολουθίες $a_n$ που δε συγκλίνουν αλλά με την ακολουθία $\mu_n$ να συγκλίνει. Έπειτα αρχίσαμε να μιλάμε για το όριο μιας συνάρτησης $f$ σε ένα σημείο $x_0 \in \overline{\RR}$. Ορίσαμε τι σημαίνει $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = L, $$ όταν $x_0, L \in \overline{\RR}$ και είδαμε διάφορα παραδείγματα.

Από το βιβλίο [Π] διαβάστε τις § 4.1, 4.2. Από τις βιντεοδιαλέξεις [V] καλύψαμε από το ΥπΌρ-27 έως το ΥπΌρ-28. και από το ΌρΣυν-1 έως το ΌρΣυν-10..

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 3 εδώ.
Και σε στενή μορφή για smartphones εδώ.

Τρ, 6 Οκτ. 2026

Σήμερα είδαμε αρκετά παραδείγματα ορίων συναρτήσεων. Επίσης είδαμε πώς συμπερφέρεται το όριο του αθροίσματος ή το γινομένου δύο συναρτήσεων όταν τα όρια των επί μέρους συναρτήσεων υπάρχουν. Μιλήσαμε επίσης για πλευρικά όρια συναρτήσεων και είδαμε ότι αν σε ένα σημείο $a \in \RR$ τα πλευρικά όρια στο $a$ είτε δεν υπάρχουν είτε είναι διαφορετικά μεταξύ τους τότε το όριο της συνάρτησης στο $a$ δεν υπάρχει.

Από το βιβλίο [Π] διαβάστε την § 4.5. Από τις βιντεοδιαλέξεις [V] καλύψαμε από το ΌρΣυν-11 έως το ΌρΣυν-23..

Τε, 7 Οκτ. 2026

Είδαμε σήμερα τον εναλλακτικό ορισμό του τι σημαίνει το $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ μέσω ακολουθιών που συγκλίνουν στο $x_0$: για κάθε ακολουθία $a_n \to x_0$ (με $a_n \neq x_0$, για κάθε $n$) ισχύει $f(a_n) \to L$. Είδαμε ότι για κάθε μονότονη συνάρτηση $f$ σε κάθε σημείο υπάρχουν τα πλευρικά της όρια (ενδεχομένως να είναι και $\pm \infty$). Είδαμε διάφορα παραδείγματα συγκεκριμένων συναρτήσεων και μιλήσαμε για τα όριά τους. Τέλος αποδείξαμε ότι ο αριθμός $\sqrt2$ είναι άρρητος.

Από το βιβλίο [Π] διαβάστε την § 4.5. Από τις βιντεοδιαλέξεις [V] καλύψαμε από το Συν-1 έως το Συν-6..