\( \newcommand{\Ds}{\displaystyle} \newcommand{\PP}{{\mathbb P}} \newcommand{\RR}{{\mathbb R}} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\CC}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\NN}{{\mathbb N}} \newcommand{\TT}{{\mathbb T}} \newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Abs}[1]{{\left|{#1}\right|}} \newcommand{\Floor}[1]{{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}} \newcommand{\Ceil}[1]{{\left\lceil{#1}\right\rceil}} \newcommand{\sgn}{{\rm sgn\,}} \newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}} \newcommand{\Norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}} \newcommand{\Prob}[1]{{{{\mathbb P}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\Mean}[1]{{{{\mathbb E}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\cis}{{\rm cis}\,} \newcommand{\one}{{\mathbf 1}} \newcommand{\One}[1]{{\bf 1}\left(#1\right)} \renewcommand{\Re}{{\rm Re\,}} \renewcommand{\Im}{{\rm Im\,}} \renewcommand{\arg}{{\rm arg\,}} \renewcommand{\Arg}{{\rm Arg\,}} \renewcommand{\deg}{{\rm deg\,}} \renewcommand{\vol}{{\rm vol\,}} \renewcommand{\span}{{\rm span\,}} \newcommand{\ft}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}} \newcommand{\FT}[1]{\left(#1\right)^\wedge} \newcommand{\Lone}[1]{{\left\|{#1}\right\|_{1}}} \newcommand{\Linf}[1]{{\left\|{#1}\right\|_\infty}} \newcommand{\inner}[2]{{\langle #1, #2 \rangle}} \)

1. 22-9-2025: Αρχίζουν οι διαλέξεις.
2. 9/10/2025: Προστίθεται δίωρο ασκήσεων κάθε Παρασκευή 9-11 στην ίδια αίθουσα. Αρχίζουμε από την Παρασκευή 10/10/2025. Παρακαλώ ενημερώστε και τους συμφοιτητές σας μια και η ανακοίνωση αυτή βγαίνει μόλις την προηγουμένη μέρα.
3. 16/10/2025: Δε θα γίνουν τα μαθήματα της Τετάρτης 5/11/2025 και Παρασκευής 7/11/2025 λόγω απουσίας μου. Θα αναπληρωθούν.

Δε 9-11, Τε 9-11. Ασκήσεις: Πα 9-11 Ασκήσεις: Πα 9-11.
Αίθουσα: Α208

Ώρες γραφείου διδάσκοντα: Δευτέρα 11-12, στο γραφείο μου Γ 213.

Δείτε εδώ για την περιγραφή του οδηγού σπουδών του Τμήματος.

Περιεχόμενα:

• Νόρμες σε γραμμικούς χώρους και εσωτερικά γινόμενα.
• Το θεώρημα του Weierstrass για ομοιόμορφη προσέγγιση
• Τριγωνομετρικά πολυώνυμα και προσέγγιση από αυτά.
• Ιδιότητες της βέλτιστης προσέγγισης.
• Πολυώνυμα Chebyshev και ιδιότητές τους.
• Παρεμβολή (interpolation).
• Σειρές Fourier.
• Ορθογώνια πολυώνυμα (orthogonal polynomials).
• Αριθμητική ολοκλήρωση (numerical integration).
• Το θεώρημα Stone-Weierstrass.

Μπορείτε εδώ να δείτε την ιστοσελίδα του μαθήματος την τελευταία φορά που το δίδαξα.

Θα στηριχτούμε σε σημειώσεις (εδώ για στενή μορφή για κινητό τηλέφωνο) που έχω γράψει και που θα ανανεώνονται όπως προχωράει το εξάμηνο.

Οι σημειώσεις αυτές έχουν στηριχθεί σε μεγάλο βαθμό στο βιβλίο N. L. Carothers, A short course on approximation theory και όσοι θέλους θα μπορούν να συμβουλεύονται και αυτό το βιβλίο.

Ενδιάμεσο διαγώνισμα 40%, τελικό διαγώνισμα 60%.

Δε, 22 Σεπ. 2025

Μιλήσαμε για γραμμικούς χώρους συναρτήσεων και είδαμε πολλά παραδείγματα. Έπειτα μιλήσαμε για την έννοια της νόρμας σε ένα γραμμικό χώρο, είδαμε πώς μια μετρική για ένα γραμμικό χώρο μπορεί να προκύψει από μια νόρμα (υπάρχουν και μετρικές πάνω σε ένα γραμμικό χώρο που δεν προκύπτουν από μια νόρμα, όπως π.χ. η διακριτή μετρική όπου κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείων έχει απόσταση 1). Είδαμε επίσης παραδείγματα μετρικών πάνω στο χώρο $\CC^2$, και συγκεκριμένα τις μετρικές $\Norm{\cdot}_2, \Norm{\cdot}_1, \Norm{\cdot}_\infty$. Διαβάστε μέχρι και την § 1.2.

Τε, 24 Σεπ. 2025

Μιλήσαμε για την έννοια του εσωτερικού γινομένου και είδαμε ποια είναι η νόρμα σε ένα γραμμικό χώρο που παράγεται από ένα εσωτερικό γινόμενο. Αποδείξαμε την ανισότητα Cauchy-Schwarz $$ \Abs{\inner{x}{y}} \le \Norm{x} \cdot \Norm{y} $$ και με αυτήν αποδείξαμε την τριγωνική ανισότητα για τη νόρμα που παράγεται από ένα εσωτερικό γινόμενο. Είδαμε πότε δύο νόρμες στον ίδιο διανυσματικό χώρο ονομάζονται ισοδύναμες και δείξαμε ότι οι νόρμες $\Norm{\cdot}_1, \Norm{\cdot}_2, \Norm{\cdot}_\infty$ στο $\CC^n$ είναι μεταξύ τους ισοδύναμες. Οι αντίστοιχες νόρμες όμως (που ορίζονται με ολοκληρώματα αντί για αθροίσματα) πάνω στο χώρο $C([a, b])$ είδαμε ότι ανά δύο δεν είναι ισοδύναμες.

Διαβάστε μέχρι και την § 1.4.

Φυλλάδιο Προβλημάτων No 1: εδώ.

Δε, 29 Σεπ. 2025

Σήμερα αποδείξαμε ότι δυο οποιεσδήποτε νόρμες σε χώρο πεπερασμένης διάστασης είναι ισοδύναμες. Είδαμε ότι αυτό είναι συνέπεια του ότι η μοναδιαία μπάλα σε ένα γραμμικό χώρο $V$ $$ B = \Set{v \in V: \ \|v\| \le 1} $$ όπως και η μοναδιαία σφαίρα $$ S = \Set{v \in V: \|v\| = 1} $$ είναι συμπαγή σύνολα (σε αντίθεση με χώρους άπειρης διάστασης, οπότε δεν είναι). Δείξαμε επίσης ότι αν $W \subseteq V$ είναι ένας υπόχωρος του $V$ πεπερασμένης διάστασης τότε για κάθε $x \in V$ υπάρχει $x^* \in W$ τέτοιο ώστε η απόσταση $\|x-x^*\|$ είναι η μικρότερη δυνατή ανάμεσα σε στοιχεία του $W$ (δεν είναι απαραίτητα μοναδική αυτή η βέλτιστη προσέγγιση του $x$ από στοιχεία του $W$). Σε περίπτωση που η απεικόνιση $V \to W$ που δίνεται από $x \to x^*$ είναι καλώς ορισμένη (όταν η βέλτιστη προσέγγιση είναι δηλ. μοναδική) τότε δείξαμε ότι η απεικόνιση αυτή είναι συνεχής συνάρτηση $V \to W$.

Τε, 1 Οκτ. 2025

Ξεκινήσαμε να μιλάμε για ομοιόμορφη σύγκλιση από πολυώνυμα. Διατυπώσαμε το θεώρημα του Weierstrass (κάθε συνάρτηση στο $C([a, b])$ προσεγγίζεται ομοιόμορφα από πολυώνυμα) και είδαμε ότι δε μπορούμε να παραλείψουμε τις προϋποθέσεις του (δε μπορούμε να κάνουμε άφρακτο το διάστημα ή ανοιχτό αντί για κλειστό, δε μπορούμε να παραλείψουμε τη συνέχεια της συνάρτησης). Τέλος αρχίσαμε να κάνουμε την απόδειξη του Landau για το θ. Weierstrass. Διαβάστε μέχρι πριν το θεώρημα 2.3.

Φυλλάδιο Προβλημάτων No 2: εδώ.

Δε, 6 Οκτ. 2025

Σήμερα τελειώσαμε την απόδειξη του θεωρήματος του Weierstrass που οφείλεται στον Landau. Στη διάρκεια της απόδειξης κάναμε και μια μικρή επανάληψη στην έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας συναρτήσεων. Στο υπόλοιπο της ώρας που μας έμεινε προσπαθήσαμε να λύσουμε την άσκηση 4(γ) από το 2ο φυλλάδιο ασκήσεων αλλά δεν τα καταφέραμε 😢. Μετά από λίγο ο συνάδελφός σας Γ. Τσαούσης μου είπε μια πολύ ωραία λύση που γράφω παρακάτω.

Ας είναι $p(x)$ ένα πολυώυμο τέτοιο ώστε $p(x_n) = e^{x_n}$ για μια ακολουθία $x_n \to 0$. Θέλουμε να καταλήξουμε σε άτοπο. Μπορούμε περνώντας σε μια υπακολουθία της $x_n$ (τα θετικά ή τα αρνητικά) και αλλάζοντας την αρίθμηση να περάσουμε σε μια μονότονη (π.χ. φθίνουσα) ακολουθία $x_n$ με αυτή την ιδιότητα. Ορίζουμε τώρα τη συνάρτηση $f(x) = p(x)-e^x$. Έχουμε $f(x_n)=0$ για κάθε $n$. Από το θεώρημα της μέσης τιμής υπάρχει ένα σημείο $z^1_n \in (x_{n+1}, x_n)$ τέτοιο ώστε $$ f'(z^1_n) = 0,\ \ \ \forall n. $$ Ομοίως υπάρχει $z^2_n \in (z^1_{n+1}, z^1_n)$ τέτοιο ώστε $$ f^{(2)}(z^2_n) = 0,\ \ \ \forall n. $$ Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο έχουμε για κάθε $k \in \NN$ μια ακολουθία $z^k_n$ τέτοια ώστε $f^{(k)}(z^k_n) = 0$ για κάθε $n$. Αν όμως $k\gt \deg p$ τότε $f^{(k)}(x) = -e^x\neq 0$ για κάθε $x$ πράγμα που αποτελεί αντίφαση.

Τε, 8 Οκτ. 2025

Σήμερα παρουσιάσαμε την πιθανοθεωρητική απόδειξη του θεωρήματος του Weierstrass που οφείλεται στον Bernstein. Διαβάστε μέχρι και την § 2.3.1.

Φυλλάδιο Προβλημάτων No 3: εδώ.

Πα, 10 Οκτ. 2025

Ασκήσεις: Σήμερα λύσαμε τις παρακάτω ασκήσεις από τα 2 πρώτα φυλλάδια: Φ1: 3, 5, Φ2: 1, 2, 5.

Δε, 13 Οκτ. 2025

Σήμερα είδαμε την έννοια του μέτρου συνέχειας μια συνάρτησης το οποία μετράει πόσο "συνεχής" είναι μια συνάρτηση $f:K \to \CC$ $$ \omega_f(\delta) = \sup\Set{\Abs{f(x)-f(y}:\ x, y \in K,\ \Abs{x-y} \le \delta}. $$ Δείξαμε ότι αν $E_n(f)$ (για $f \in C([0, 1])$) είναι το infimum της απόστασης $\Norm{f-p}_\infty$, με το πολυώνυμο $p$ να έχει βαθμό $\le n$ τότε $E_n(f) \le 2 \omega_f(n^{-1/2})$.

Ξεκινήσαμε να μιλάμε για τριγωνομετρικά πολυώνυμα. Διαβάστε μέχρι και την § 3.1.

Τε, 15 Οκτ. 2025

Μιλήσαμε κυρίως για εσωτερικά γινόμενα τριγωνομετρικών πολυωνύμων, πώς τα υπολογίζουμε και πώς χρησιμοποιούμε την ορθογωνιότητα των συναρτήσεων $e^{2\pi i n x}$, $n \in \ZZ$, στο διάστημα $[0, 2\pi]$, για να υπολογίζουμε με ευκολία διάφορα ολοκληρώματα. Λύσαμε επίσης την Άσκηση 3.10 από τις σημειώσεις (μόνο για πραγματικά $\lambda_j$). Διαβάστε μέχρι και την § 3.2.

Φυλλάδιο Προβλημάτων No 4: εδώ.