ΜΕΜ-255: Θεωρία Προσέγγισης
και Εφαρμογές
Φθινόπωρο 2025-26
Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
Πανεπιστήμιο Κρήτης
Διδάσκων: Μιχάλης Κολουντζάκης
▶ Ανακοινώσεις
▶ Ωράριο
Δε 9-11, Τε 9-11. Ασκήσεις: Πα 9-11 Ασκήσεις: Πα 9-11.
Αίθουσα: Α208
Ώρες γραφείου διδάσκοντα: Δευτέρα 11-12, στο γραφείο μου Γ 213.
▶ Περιγραφή Μαθήματος
Δείτε εδώ για την περιγραφή του οδηγού σπουδών του Τμήματος.
Περιεχόμενα:
Μπορείτε εδώ να δείτε την ιστοσελίδα του μαθήματος την τελευταία φορά που το δίδαξα.
▶ Βιβλία και σημειώσεις
Οι σημειώσεις αυτές έχουν στηριχθεί σε μεγάλο βαθμό στο βιβλίο N. L. Carothers, A short course on approximation theory και όσοι θέλους θα μπορούν να συμβουλεύονται και αυτό το βιβλίο.
▶ Βαθμολογικό σύστημα
Ενδιάμεσο διαγώνισμα 40%, τελικό διαγώνισμα 60%.
▶ Ημερολόγιο μαθήματος
Μιλήσαμε για γραμμικούς χώρους συναρτήσεων και είδαμε πολλά παραδείγματα. Έπειτα μιλήσαμε για την έννοια της νόρμας σε ένα γραμμικό χώρο, είδαμε πώς μια μετρική για ένα γραμμικό χώρο μπορεί να προκύψει από μια νόρμα (υπάρχουν και μετρικές πάνω σε ένα γραμμικό χώρο που δεν προκύπτουν από μια νόρμα, όπως π.χ. η διακριτή μετρική όπου κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείων έχει απόσταση 1). Είδαμε επίσης παραδείγματα μετρικών πάνω στο χώρο $\CC^2$, και συγκεκριμένα τις μετρικές $\Norm{\cdot}_2, \Norm{\cdot}_1, \Norm{\cdot}_\infty$. Διαβάστε μέχρι και την § 1.2.
Μιλήσαμε για την έννοια του εσωτερικού γινομένου και είδαμε ποια είναι η νόρμα σε ένα γραμμικό χώρο που παράγεται από ένα εσωτερικό γινόμενο. Αποδείξαμε την ανισότητα Cauchy-Schwarz $$ \Abs{\inner{x}{y}} \le \Norm{x} \cdot \Norm{y} $$ και με αυτήν αποδείξαμε την τριγωνική ανισότητα για τη νόρμα που παράγεται από ένα εσωτερικό γινόμενο. Είδαμε πότε δύο νόρμες στον ίδιο διανυσματικό χώρο ονομάζονται ισοδύναμες και δείξαμε ότι οι νόρμες $\Norm{\cdot}_1, \Norm{\cdot}_2, \Norm{\cdot}_\infty$ στο $\CC^n$ είναι μεταξύ τους ισοδύναμες. Οι αντίστοιχες νόρμες όμως (που ορίζονται με ολοκληρώματα αντί για αθροίσματα) πάνω στο χώρο $C([a, b])$ είδαμε ότι ανά δύο δεν είναι ισοδύναμες.
Διαβάστε μέχρι και την § 1.4.
Φυλλάδιο Προβλημάτων No 1: εδώ.
Σήμερα αποδείξαμε ότι δυο οποιεσδήποτε νόρμες σε χώρο πεπερασμένης διάστασης είναι ισοδύναμες. Είδαμε ότι αυτό είναι συνέπεια του ότι η μοναδιαία μπάλα σε ένα γραμμικό χώρο $V$ $$ B = \Set{v \in V: \ \|v\| \le 1} $$ όπως και η μοναδιαία σφαίρα $$ S = \Set{v \in V: \|v\| = 1} $$ είναι συμπαγή σύνολα (σε αντίθεση με χώρους άπειρης διάστασης, οπότε δεν είναι). Δείξαμε επίσης ότι αν $W \subseteq V$ είναι ένας υπόχωρος του $V$ πεπερασμένης διάστασης τότε για κάθε $x \in V$ υπάρχει $x^* \in W$ τέτοιο ώστε η απόσταση $\|x-x^*\|$ είναι η μικρότερη δυνατή ανάμεσα σε στοιχεία του $W$ (δεν είναι απαραίτητα μοναδική αυτή η βέλτιστη προσέγγιση του $x$ από στοιχεία του $W$). Σε περίπτωση που η απεικόνιση $V \to W$ που δίνεται από $x \to x^*$ είναι καλώς ορισμένη (όταν η βέλτιστη προσέγγιση είναι δηλ. μοναδική) τότε δείξαμε ότι η απεικόνιση αυτή είναι συνεχής συνάρτηση $V \to W$.
Ξεκινήσαμε να μιλάμε για ομοιόμορφη σύγκλιση από πολυώνυμα. Διατυπώσαμε το θεώρημα του Weierstrass (κάθε συνάρτηση στο $C([a, b])$ προσεγγίζεται ομοιόμορφα από πολυώνυμα) και είδαμε ότι δε μπορούμε να παραλείψουμε τις προϋποθέσεις του (δε μπορούμε να κάνουμε άφρακτο το διάστημα ή ανοιχτό αντί για κλειστό, δε μπορούμε να παραλείψουμε τη συνέχεια της συνάρτησης). Τέλος αρχίσαμε να κάνουμε την απόδειξη του Landau για το θ. Weierstrass. Διαβάστε μέχρι πριν το θεώρημα 2.3.
Φυλλάδιο Προβλημάτων No 2: εδώ.
Σήμερα τελειώσαμε την απόδειξη του θεωρήματος του Weierstrass που οφείλεται στον Landau. Στη διάρκεια της απόδειξης κάναμε και μια μικρή επανάληψη στην έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας συναρτήσεων. Στο υπόλοιπο της ώρας που μας έμεινε προσπαθήσαμε να λύσουμε την άσκηση 4(γ) από το 2ο φυλλάδιο ασκήσεων αλλά δεν τα καταφέραμε 😢. Μετά από λίγο ο συνάδελφός σας Γ. Τσαούσης μου είπε μια πολύ ωραία λύση που γράφω παρακάτω.
Ας είναι $p(x)$ ένα πολυώυμο τέτοιο ώστε $p(x_n) = e^{x_n}$ για μια ακολουθία $x_n \to 0$. Θέλουμε να καταλήξουμε σε άτοπο. Μπορούμε περνώντας σε μια υπακολουθία της $x_n$ (τα θετικά ή τα αρνητικά) και αλλάζοντας την αρίθμηση να περάσουμε σε μια μονότονη (π.χ. φθίνουσα) ακολουθία $x_n$ με αυτή την ιδιότητα. Ορίζουμε τώρα τη συνάρτηση $f(x) = p(x)-e^x$. Έχουμε $f(x_n)=0$ για κάθε $n$. Από το θεώρημα της μέσης τιμής υπάρχει ένα σημείο $z^1_n \in (x_{n+1}, x_n)$ τέτοιο ώστε $$ f'(z^1_n) = 0,\ \ \ \forall n. $$ Ομοίως υπάρχει $z^2_n \in (z^1_{n+1}, z^1_n)$ τέτοιο ώστε $$ f^{(2)}(z^2_n) = 0,\ \ \ \forall n. $$ Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο έχουμε για κάθε $k \in \NN$ μια ακολουθία $z^k_n$ τέτοια ώστε $f^{(k)}(z^k_n) = 0$ για κάθε $n$. Αν όμως $k\gt \deg p$ τότε $f^{(k)}(x) = -e^x\neq 0$ για κάθε $x$ πράγμα που αποτελεί αντίφαση.
Σήμερα παρουσιάσαμε την πιθανοθεωρητική απόδειξη του θεωρήματος του Weierstrass που οφείλεται στον Bernstein. Διαβάστε μέχρι και την § 2.3.1.
Φυλλάδιο Προβλημάτων No 3: εδώ.
Ασκήσεις: Σήμερα λύσαμε τις παρακάτω ασκήσεις από τα 2 πρώτα φυλλάδια: Φ1: 3, 5, Φ2: 1, 2, 5.
Σήμερα είδαμε την έννοια του μέτρου συνέχειας μια συνάρτησης το οποία μετράει πόσο "συνεχής" είναι μια συνάρτηση $f:K \to \CC$ $$ \omega_f(\delta) = \sup\Set{\Abs{f(x)-f(y}:\ x, y \in K,\ \Abs{x-y} \le \delta}. $$ Δείξαμε ότι αν $E_n(f)$ (για $f \in C([0, 1])$) είναι το infimum της απόστασης $\Norm{f-p}_\infty$, με το πολυώνυμο $p$ να έχει βαθμό $\le n$ τότε $E_n(f) \le 2 \omega_f(n^{-1/2})$.
Ξεκινήσαμε να μιλάμε για τριγωνομετρικά πολυώνυμα. Διαβάστε μέχρι και την § 3.1.
Μιλήσαμε κυρίως για εσωτερικά γινόμενα τριγωνομετρικών πολυωνύμων, πώς τα υπολογίζουμε και πώς χρησιμοποιούμε την ορθογωνιότητα των συναρτήσεων $e^{2\pi i n x}$, $n \in \ZZ$, στο διάστημα $[0, 2\pi]$, για να υπολογίζουμε με ευκολία διάφορα ολοκληρώματα. Λύσαμε επίσης την Άσκηση 3.10 από τις σημειώσεις (μόνο για πραγματικά $\lambda_j$). Διαβάστε μέχρι και την § 3.2.
Φυλλάδιο Προβλημάτων No 4: εδώ.
Ασκήσεις: Λύσαμε σήμερα τις ασκήσεις 1-6 από το 3ο φυλλάδιο.
Σήμερα δείξαμε το θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass για τριγωνομετρικά πολυώνυμα χρησιμοποιώντας το θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass για αλγεβρικά πολυώνυμα. Είδαμε ότι και το αντίστροφο είναι δυνατό: μπορεί κανείς να υποθέσει ως γνωστό το θ. Weierstrass για τριγωνομετρικά πολυώνυμα και να το δείξει για αλγεβρικά πολυώνυμα. Τελειώσαμε έτσι το Κεφάλαιο 3.
Αρχίσαμε να μιλάμε για τις ιδιότητες της βέλτιστης προσέγγισης από αλγεβρικά πολυώνυμα βαθμού μέχρι $n$. Διαβάστε την αρχή του Κεφ. 4 (όχι την § 4.1).
Σήμερα διατυπώσαμε το Θ. 4.2 (ιδιότητες της βέλτιστης προσέγγισης στην ομοιόμορφη νόρμα $\Linf{\cdot}$ μιας $f \in C([a, b])$ από το χώρο των πολυωνύμων βαθμού μέχρι $N$), είδαμε κάποιες απλές συνέπειές του και, τέλος, το αποδείξαμε. Έχουμε τελειώσει με το Κεφ. 4.
Φυλλάδιο Προβλημάτων No 5: εδώ.
Ασκήσεις: Κάναμε την τελευταία άσκηση του 3ου φυλλαδίου και όλες εκτός από την τελευταία του 4ου φυλλαδίου.
Μιλήσαμε σήμερα για τα πολυώνυμα Chebyshev. Είδαμε πώς αυτά ορίζονται μέσω ενός προβλήματος μεγιστοποίησης, είδαμε πώς υπολογίζονται και διάφορες ιδιότητές τους. Διαβάστε μέχρι και το πρόβλημα 5.3.
Τελειώσαμε σήμερα το Κεφάλαιο για τα πολυώνυμα Chebyshev και αρχίσαμε να μιλάμε για παρεμβολή. Αναφέραμε και το Θεώρημα 6.3 αλλά τθα το αποδείξουμε την επόμενη φορά.
Φυλλάδιο Προβλημάτων No 6: εδώ.
Ασκήσεις: Σήμερα λύσαμε την τελευταία άσκηση του Φυλλαδίου 4 και όλες τις ασκήσεις του Φυλλαδίου 5.
Δείξαμε σήμερα το θεώρημα 6.3 των σημειώσεων και το χρησιμοποιήσαμε για να δείξουμε ότι στην περίπτωση της συνάρτησης $e^x$ η παρεμβολή σε μεγάλο πλήθος σημείων (σε ένα σταθερό διάστημα) δίνει παρεμβάλλοντα πολυώνυμα που συγκλίνουν ομοιόμορφα στη $e^x$. Διατυπώσαμε επίσης το γενικό πρόβλημα παρεμβολής, όπου παρεμβάλλουμε με γραμμικούς συνδυασμούς κάποιων "συναρτήσεων βάσης" $f_1(x), \ldots, f_N(x)$ που δεν είναι αναγκαστικά πολυώνυμα (αλλά είναι συνεχείς συναρτήσεις) και είδαμε ότι το πρόβλημα έχει λύση αν και μόνο αν $\det (f_j(x_i))_{i,j=1}^N \neq 0$. Σε αντίθεση με αυτά που συμβαίνουν στη διάσταση 1 είδαμε ότι σε μεγαλύτερες διαστάσεις όποιες συνεχείς, πραγματικές $f_1(x), \ldots, f_N(x)$ και να επιλέξουμε ως συναρτήσεις βάσης σε ένα ανοιχτό σύνολο $\Omega \subseteq \RR^d$, $d\ge 2$, πάντα υπάρχουν διαφορετικά σημεία $x_1, \ldots, x_N$ για τα οποία $$ \det (f_j(x_i))_{i,j=1}^N = 0. $$
Ξεκινήσαμε να μιλάμε για σειρές Fourier συνεχών και $2\pi$-περιοδικών συναρτήσεων $\RR\to\CC$. Διαβάστε μέχρι και το θεώρημα 7.1 (Λήμμα Riemann-Lebesgue).
Φυλλάδιο Προβλημάτων No 7: εδώ.