\( \newcommand{\Ds}{\displaystyle} \newcommand{\PP}{{\mathbb P}} \newcommand{\RR}{{\mathbb R}} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\CC}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\NN}{{\mathbb N}} \newcommand{\TT}{{\mathbb T}} \newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Abs}[1]{{\left|{#1}\right|}} \newcommand{\Floor}[1]{{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}} \newcommand{\Ceil}[1]{{\left\lceil{#1}\right\rceil}} \newcommand{\sgn}{{\rm sgn\,}} \newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}} \newcommand{\Norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}} \newcommand{\Prob}[1]{{{{\mathbb P}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\Mean}[1]{{{{\mathbb E}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\cis}{{\rm cis}\,} \newcommand{\one}{{\mathbf 1}} \renewcommand{\Re}{{\rm Re\,}} \renewcommand{\Im}{{\rm Im\,}} \renewcommand{\arg}{{\rm arg\,}} \renewcommand{\Arg}{{\rm Arg\,}} \renewcommand{\deg}{{\rm deg\,}} \newcommand{\ft}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\FT}[1]{\left(#1\right)^\wedge} \newcommand{\Lone}[1]{{\left\|{#1}\right\|_{1}}} \newcommand{\Linf}[1]{{\left\|{#1}\right\|_\infty}} \)

1. 18 Ιαν. 2024: Τελικοί βαθμοί εδώ.
2. 14 Δεκ. 2023: Το μάθημα της Πέμπτης 21/12/2023 δε θα γίνει. Θα γίνει όμως μάθημα (επανάληψη, ερωτήσεις, κλπ) τη Δευτέρα 8/1/2024 και ώρα 11:00-13:00 στη Β208.
3. 13 Δεκ. 2023: Βαθμοί ενδιάμεσου διαγωνίσματος εδώ. Μπορείτε να δείτε τα διαγωνίσματά σας την Παρασκευή 15/12/2023 στις 12:00 στο γραφείο μου.
4. 20 Νοε. 2023: Στο ενδιάμεσο διαγώνισμα θα εξεταστείτε μέχρι και ό,τι έχετε διδαχθεί την Πέμπτη 16/11/2023.
5. 14 Νοε. 2023: Αναπληρώσεις μαθημάτων Παρασκευή, 9-11, Ε204 (για τις 1/12 και 8/12).
6. 24 Οκτ. 2023: Το ενδιάμεσο διαγώνισμα θα γίνει την Παρασκευή 24/11/2023 και ώρες 9-11 στην αίθουσα Ε204.
7. 3 Οκτ. 2023: Στο διάστημα 1 Νοεμβρίου έως 13 Νοεμβρίου δε θα γίνουν μαθήματα λόγω απουσίας μου. Οι διαλέξεις θα αναπληρωθούν αργότερα.
8. 26 Σεπ. 2023: Αρχίζουν οι διαλέξεις.

Τρ 3-5, Πέ 3-5.
Αίθουσα: Α212

Ώρες γραφείου διδάσκοντα: Τρ 10-11.

Δείτε εδώ.

Μπορείτε εδώ να δείτε την ιστοσελίδα του μαθήματος την τελευταία φορά που το δίδαξα.

Θα στηριχτούμε σε σημειώσεις που έχω γράψει και που θα ανανεώνονται όπως προχωράει το εξάμηνο.

Ενδιάμεσο διαγώνισμα 40%, τελικό διαγώνισμα 60%. Για όσους περάσουν το μάθημα με τις γραπτές εξετάσεις θα υπάρξει και προφορική εξέταση.

Τρ, 26 Σεπ. 2023

Σήμερα μιλήσαμε για γραμμικούς χώρους συναρτήσεων και είδαμε διάφορα παραδείγματα. Έπειτα ορίσαμε την έννοια της νόρμας σε γραμμικούς χώρους και είδαμε επίσης διάφορα παραδείγματα. Κάναμε περίπου μέχρι και τη σελίδα 4 των σημειώσεων.

Πέ, 28 Σεπ. 2023

Συνεχίσαμε σήμερα τη συζήτηση για νόρμες σε γραμμικούς χώρους. Ορίσαμε και την $L^2$ νόρμα στο χώρο $C([a, b])$ όπως και στο $\CC^n$ και αποδείξαμε την ανισότητα Cauchy-Schwartz μέσω της οποίας δείξαμε την τριγωνική ανισότητα για την $L^2$ νόρμα. Μιλήσαμε για την έννοια της ισοδυναμίας νορμών και δείξαμε ότι στο $\CC^n$ οι νόρμες $\Norm{\cdot}_1, \Norm{\cdot}_2, \Norm{\cdot}_\infty$ είναι ισοδύναμες (βρήκαμε και τις βέλτιστες σταθερές). Είδαμε επίσης ότι οι αντίστοιχες νόρμες στο χώρο $C([a, b])$ είναι ανά δύο μη ισοδύναμες. Διαβάστε μέχρι και την § 1.4.

Φυλλάδιο Προβλημάτων No 1: εδώ.

Τρ, 3 Οκτ. 2023

Σήμερα αποδείξαμε ότι δυο οποιεσδήποτε νόρμες σε χώρο πεπερασμένης διάστασης είναι ισοδύναμες. Είδαμε ότι αυτό είναι συνέπεια του ότι η μοναδιαία μπάλα σε ένα γραμμικό χώρο $V$ $$ B = \Set{v \in V: \ \|v\| \le 1} $$ όπως και η μοναδιαία σφαίρα $$ S = \Set{v \in V: \|v\| = 1} $$ είναι συμπαγή σύνολα (σε αντίθεση με χώρους άπειρης διάστασης, οπότε δεν είναι). Δείξαμε επίσης ότι αν $W \subseteq V$ είναι ένας υπόχωρος του $V$ πεπερασμένης διάστασης τότε για κάθε $x \in V$ υπάρχει $x^* \in W$ τέτοιο ώστε η απόσταση $\|x-x^*\|$ είναι η μικρότερη δυνατή ανάμεσα σε στοιχεία του $W$ (δεν είναι απαραίτητα μοναδική αυτή η βέλτιστη προσέγγιση του $x$ από στοιχεία του $W$). Σε περίπτωση που η απεικόνιση $V \to W$ που δίνεται από $x \to x^*$ είναι καλώς ορισμένη (όταν η βέλτιστη προσέγγιση είναι δηλ. μοναδική) τότε δείξαμε ότι η απεικόνιση αυτή είναι συνεχής συνάρτηση $V \to W$.

Πέ, 5 Οκτ. 2023

Ξεκινήσαμε να μιλάμε για ομοιόμορφη σύγκλιση από πολυώνυμα. Διατυπώσαμε το θεώρημα του Weierstrass (κάθε συνάρτηση στο $C([a, b])$ προσεγγίζεται ομοιόμορφα από πολυώνυμα) και είδαμε ότι δε μπορούμε να παραλείψουμε τις προϋποθέσεις του (δε μπορούμε να κάνουμε άφρακτο το διάστημα ή ανοιχτό αντί για κλειστό, δε μπορούμε να παραλείψουμε τη συνέχεια της συνάρτησης). Τέλος αρχίσαμε να κάνουμε την απόδειξη του Landau για το θ. Weierstrass. Μιλήσαμε επίσης λίγο γενικότερα για την έννοια της συνέλιξης δύο συναρτήσεων στο $\RR$. Διαβάστε μέχρι το θεώρημα 2.3 (δεν το αποδείξαμε).

Φυλλάδιο Προβλημάτων No 2: εδώ.

Τρ, 10 Οκτ. 2023

Σήμερα τελειώσαμε την απόδειξη του Landau για το θεώρημα του Weierstrass. Αρχίσαμε να μιλάμε για την απόδειξη του Bernstein που στηρίζεται σε πιθανοθεωρητικά επιχειρήματα. Διαβάστε μέχρι και το Θεώρημα 2.4 (ανισότητα Chebyshev).

Πέ, 12 Οκτ. 2023

Σήμερα τελειώσαμε την απόδειξη του Bernstein για το θεώρημα του Weierstrass. Έπειτα λύσαμε μερικές ασκήσεις που ζητήθηκαν από τους φοιτητές και αρχίσαμε να μιλάμε για το μέτρο συνέχειας μιας συνάρτησης. Είδαμε μερικές από τις ιδιότητες του μέτρου συνέχειας. Διαβάστε μέχρι και το Πρόβλημα 2.11.

Φυλλάδιο Προβλημάτων No 3: εδώ.

Τρ, 17 Οκτ. 2023

Επαναλάβαμε τις βασικές ιδιότητες του μέτρου συνέχειας μιας συνάρτησης $f$, δηλ. της συνάρτησης $$ \omega_f(\delta) = \sup\Set{\Abs{f(x)-f(y)}:\ \Abs{x-y}\le \delta}, $$ και δείξαμε ότι για τα πολυώνυμα Bernstein της $f:[0,1]\to\CC$ $$ B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^n f(k/n) {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k} $$ ισχύει η ανισότητα $$ \Abs{f(x) - B_n(f)(x)} \le 2 \omega_f(n^{-1/2}). $$ Η ανισότητα αυτή μας λέει, μέσω του μέτρου συνέχειας της $f$, πόσο μεγάλος αρκεί να είναι ο βαθμός του πολυωνύμου $p(x)$ με το οποίο θέλουμε να προσεγγίσουμε την $f$ ώστε να πετύχουμε επιθυμητή προσέγγιση $\Linf{f-p} \le \epsilon$.

Έπειτα αρχίσαμε να μιλάμε για τριγωνομετρικά πολυώνυμα και είδαμε μερικά παραδείγματα.

Πέ, 19 Οκτ. 2023

Συνεχίσαμε να μιλάμε σήμερα για τριγωνομετρικά πολυώνυμα. Είδαμε ξανά το θέμα της μοναδικότητας των συντελεστών ή, ισοδύναμα, της γραμμικής ανεξαρτησίας των συναρτήσεων $e_\lambda(x) = e^{2\pi i \lambda x}$. Δώσαμε διαφορετικές αποδείξεις της γραμμικής ανεξαρτησίας για ακέραιες τιμές του $\lambda$ και είδαμε μερικά πράγματα για την πολύ χρήσιμη ορίζουσα Vandermonde. Είδαμε επίσης την απόδειξη της γραμμικής ανεξαρτησίας και χωρίς την υπόθεση ότι τα $\lambda$ είναι ακέραιοι. Διαβάστε μέχρι το Πρόβλημα 3.2.

Τη δεύτερη ώρα είδαμε τη λύση διαφόρων ασκήσεων από τα φυλλάδια.

Φυλλάδιο Προβλημάτων No 4: εδώ.

Τρ, 24 Οκτ. 2023

Συνεχίσαμε να μιλάμε για τριγωνομετρικά πολυώνυμα. Αποδείξαμε το θεώρημα ομοιόμορφης προσέγγισης του Weierstrass από τριγωνομετρικά πολυώνυμα χρησιμοποιώντας το αντίστοιχα θεώρημα για αλγεβρικά πολυώνυμα. Κάναμε και το αντίστροφο: δείξαμε πώς το θεώρημα για τριγωνομετρικά πολυώνυμα συνεπάγεται αυτό για αλγεβρικά πολυώνυμα. Διαβάστε μέχρι και την § 3.4.

Πέ, 26 Οκτ. 2023

Σήμερα αρχίσαμε να μιλάμε για τις ιδιότητες της βέλτιστης προσέγγισης μιας συνάρτησης $f \in C([a, b])$ από το χώρο $\mathcal{P}_n$ των (αλγεβρικών) πολυωνύμων βαθμού $\le n$, στη νόρμα $\Linf{\cdot}$. Ξεκινήσαμε την απόδειξη του Θ. 4.2 και αποδείξαμε το πρώτο μέρος αυτού, ότι δηλ. η βέλτιστη προσέγγιση έχει μια εναλασσόμενη σειρά + σημείων και - σημείων μήκους τουλάχιστον $n+2$. Θα τελειώσουμε την απόδειξη του Θ. 4.2 στην επόμενη διάλεξη.

Φυλλάδιο Προβλημάτων No 5: εδώ.

Τρ, 31 Οκτ. 2023

Σήμερα τελειώσαμε το Κεφ. 4 (ιδιότητες της βέλτιστης προσέγγισης στην ομοιόμορφη νόρμα). Λύσαμε επίσης κάμποσες από τις ασκήσεις των φυλλαδίων.

Τρ, 14 Νοε. 2023

Μιλήσαμε σήμερα για τα πολυώνυμα Chebyshev. Διαβάστε τις § 5.1, 5.2.

Φυλλάδιο Προβλημάτων No 6: εδώ.

Πέ, 16 Νοε. 2023

Τελειώσαμε σήμερα τη συζήτηση για τα πολυώνυμα Chebyshev (Κεφ. 5). Αρχίσαμε να μιλάμε για το πρόβλημα της παρεμβολής. Διαβάστε μέχρι και το Θ. 6.2.

Τρ, 21 Νοε. 2023

Τελειώσαμε σήμερα το Κεφάλαιο 6 που αφορά την παρεμβολή.

Πέ, 23 Νοε. 2023

Η σημερινή μέρα ήταν αφιερωμένη σε λύση ασκήσεων από τα προηγούμενα ως προετοιμασία για το ενδιάμεσο διαγώνισμα.

Πα, 24 Νοε. 2023

Έγινε σήμερα το ενδιάμεσο διαγώνισμα. Θέματα εδώ..

Τρ, 28 Νοε. 2023

Λύσαμε πρώτα όλες τις ασκήσεις του ενδιάμεσου διαγωνίσματος. Έπειτα αρχίσαμε να μιλάμε για σειρές Fourier. Διαβάστε από το Κεφ. 7 μέχρι και το θεώρημα 7.2.

Πέ, 30 Νοε. 2023

Συνεχίσαμε τα περί σειρών Fourier. Διαβάστε μέχρι και το Θ. 7.3.

Πα, 1 Δεκ. 2023

Τελειώσαμε τα περί σειρών Fourier. Διαβάστε μέχρι το τέλος του Κεφ. 7.

Φυλλάδιο Προβλημάτων No 7: εδώ.

Τρ, 5 Δεκ. 2023

Ξεκινήσαμε να μιλάμε για ορθογώνια πολυώνυμα. Διαβάστε μέχρι και την εκφώνηση του Θ. 8.2.

Πέ, 7 Δεκ. 2023

Συνεχίσαμε να μιλάμε για ορθογώνια πολυώνυμα. Σχεδόν τελειώσαμε το αντίστοιχο κεφάλαιο και απομένει η απόδειξη του Λήμματος 8.1 από το Λήμμα 8.2.

Πα, 8 Δεκ. 2023

Τελειώσαμε σήμερα το Θεώρημα που αφορά τις ρίζες των ορθογωνίων πολυωνύμων και μπήκαμε στο κεφάλαιο για κανόνες αριθμητικής ολοκλήρωσης. Μιλήσαμε για απλούς και σύνθετους κανόνες αριθμητικής ολοκλήρωσης και αποδείξαμε το Θεώρημα 9.1 για την απόδοση ενός σύνθετου κανόνα αριθμητικής ολοκλήρωσης σε σχέση με την τάξη του αντίστοιχου απλού κανόνα.

Φυλλάδιο Προβλημάτων No 8: εδώ.

Τρ, 12 Δεκ. 2023

Σήμερα τελειώσαμε τη συζήτηση για την αριθμητική ολοκλήρωση με την περιγραφή των κανόνων αριθμητικής ολοκλήρωσης του Gauss, οι οποίοι συνδυάζουν πράγματα που έχουμε ήδη δει για ορθογώνια πολυώνυμα και για την παρεμβολή Lagrange για να πετύχουν τάξη ολοκλήρωσης $2n-1$ με $n$ σημεία.

Αρχίσαμε να μιλάμε για το θεώρημα Stone-Weierstrass μιλώντας αρχικά για άλγεβρες συναρτήσεων. Διαβάστε μέχρι και τα παραδείγματα που ακολουθούν τον ορισμό των αλγεβρών συναρτήσεων.

Φυλλάδιο Προβλημάτων No 9: εδώ.

Πέ, 14 Δεκ. 2023

Συνεχίσαμε να μιλάμε για το θεώρημα Stone-Weierstrass. Διαβάστε μέχρι και το Λήμμα 10.2.

Τρ, 19 Δεκ. 2023

Τελειώσαμε σήμερα την απόδειξη του Θεωρήματος Stone-Weierstrass.