Σειρές

Σωστό ή λάθος;

Η σειρά \(\Ds \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\) συγκλίνει.

Σωστό ή λάθος;

Αν η ακολουθία \(a_n\) είναι τελικά σταθερή τότε η σειρά \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) συγκλίνει.

Ποιο είναι το άθροισμα της σειράς
\[\Ds\sum_{k=0}^\infty 0.5^k;\]

Αριθμητική απάντηση με ακρίβεια 3 δεκαδικών.

Ποιο είναι το άθροισμα της σειράς
\[\Ds\sum_{j=2}^\infty \frac{2^{j+1}}{3^j};\]

Αριθμητική απάντηση με ακρίβεια 3 δεκαδικών.

Ποιο είναι το άθροισμα της σειράς
\[\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n+3^n}{5^n};\]

Αριθμητική απάντηση με ακρίβεια 3 δεκαδικών.

Ποιο είναι το άθροισμα της σειράς
\[\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)};\]

Αριθμητική απάντηση με ακρίβεια 3 δεκαδικών.

Ποιο είναι το άθροισμα της σειράς
\[\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+2)};\]

Αριθμητική απάντηση με ακρίβεια 3 δεκαδικών.

Στην απόδειξη ότι η αρμονική σειρά αποκλίνει (τα μερικά αθροίσματά της δηλ. τείνουν στο \(+\infty\)) βρήκαμε ουσιαστικά κάποιο κάτω φράγμα για την ακολουθία των μερικών αθροισμάτων
\[S_N = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n}\]
το οποίο τείνει στο \(+\infty\) με το \(N\).

Ποιο από τα παρακάτω είναι το κάτω φράγμα που βρήκαμε; Δεν το προσδιορίζουμε ακριβώς αλλά αγνούμε μια σταθερά, γι' αυτό εμφανίζεται το \(C\) μπροστά από την έκφραση που μπορεί να είναι οποιαδήποτε σταθερά.

Επιλέξτε ένα.

Σωστό ή λάθος;

Η παρακάτω σειρά συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{n!}.\]

Σωστό ή λάθος;

Η παρακάτω σειρά συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό:
\[\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\left((n+1)^{3/2}-n^{3/2}\right).\]

Σωστό ή λάθος;

Αν οι ακολουθίες \(a_n, b_n\) είναι τελικά ίσες και οι ακολουθίες \(c_n, d_n\) είναι τελικά ίσες τότε
\[\sum_{n=1}^\infty a_n+c_n \text{ συγκλίνει } \implies \sum_{n=1}^\infty b_n+d_n \text{ συγκλίνει}.\]

Σωστό ή λάθος;

Αν \(a_n \ge 0\) και \(\sum_{n=1}^\infty a_n < \infty\) τότε
\[\sum_{n=1}^\infty a_n^2 < \infty.\]

Σωστό ή λάθος;

\[\Ds \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{1+n^2} < \infty\]

Χρησιμοποιήστε το κριτήριο του ολοκληρώματος.

Σωστό ή λάθος;

Η παρακάτω σειρά συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό:
\[\sum_{k=1}^\infty \sin\frac{1}{k}.\]

Σωστό ή λάθος;

Η παρακάτω σειρά συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό:
\[\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{1/2}+k^{3/2}}.\]

Σωστό ή λάθος;

Η παρακάτω σειρά συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό:
\[\sum_{k=1}^\infty \left(1-\frac{1}{k}\right)^{k^2}.\]

Σωστό ή λάθος;

Η παρακάτω σειρά συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό:
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{(2n)!}.\]

Σωστό ή λάθος;

Η παρακάτω σειρά συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό:
\[\sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^3.\]

Σωστό ή λάθος;

Η παρακάτω σειρά συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό:
\[\sum_{n=10}^\infty \ln\left(1+\frac{1}{n}\right).\]

Σωστό ή λάθος;

Η παρακάτω σειρά συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό:
\[\sum_{n=1}^\infty \sin\frac{(-1)^n}{n}.\]

Σωστό ή λάθος;

Η παρακάτω σειρά συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό:
\[\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \left( (k+1)^{1/2}-k^{1/2}\right).\]