Όρια ακολουθιών

Υποθέτουμε ότι \(a_n\to L\in\mathbb R\) και ότι \(a_n\ne L\) για κάθε \(n\). Επιλέξτε όσες προτάσεις είναι πάντα σωστές.

Υποθέτουμε ότι \(a_n\to L\in\mathbb R\). Στον ορισμό του ορίου, για κάθε \(\epsilon>0\) υπάρχει \(n_0=n_0(\epsilon)\). Υποθέστε \(0<\epsilon<1\) και επιλέξτε ακριβώς τις προτάσεις που πάντα ισχύουν.

Ποιες από τις παρακάτω ακολουθίες συγκλίνουν σε πραγματικό αριθμό;

Η ακολουθία \(a_n\) συγκλίνει στο 0. Επιλέξτε όσες προτάσεις είναι πάντα σωστές.

Επιλέξτε όσες από τις παρακάτω ακολουθίες συγκλίνουν στο \(+\infty\).

Για να αποδείξουμε ότι \(x_n=n^3-100n^2\to+\infty\), αρκεί να βρούμε \(y_n\) με \(y_n\le x_n\) τελικά και \(y_n\to+\infty\).

Ποιες από τις παρακάτω μπορούν να παίξουν αυτό το ρόλο;

Επιλέξτε τις προτάσεις που είναι πάντα σωστές. Το σύμβολο \(\mathbf1_A\) είναι 1 όταν ισχύει η συνθήκη \(A\) και 0 αλλιώς.

Επιλέξτε όσες από τις παρακάτω προτάσεις είναι πάντα σωστές. Υποθέτουμε ότι όλοι οι παρανομαστές που εμφανίζονται δεν είναι 0.

Δίνονται οι παρακάτω ακολουθίες (\(n\ge1\)):

\(a_n=\mathbf1_{n\ge10}n\), \(b_n=\mathbf1_{n<10}n\), \(c_n=\mathbf1_{n\ge100}n\), \(d_n=\mathbf1_{n<100}n\).

Το \(\mathbf1_{\text{συνθήκη}}\) είναι 1 αν ισχύει η συνθήκη και 0 αλλιώς. Επιλέξτε τις σωστές προτάσεις.

Ποιες από τις παρακάτω ακολουθίες είναι υπακολουθίες της \(a_n=n^2\);

Ποιες από τις παρακάτω ακολουθίες είναι υπακολουθίες της \(a_n:0,1,0,1,0,1,\ldots\);

Ας είναι \(a_n\) η ακολουθία \(0,1,0,1,0,1,\ldots\). Ποιες προτάσεις είναι σωστές;

Έστω \(a_n=(n+1)/n\) και \(b_n=(n+2)/n\). Ποιο είναι το όριο της \(a_n+b_n\);

Έστω \(a_n=n^2\) και \(b_n=\log_{10}n\). Ποιο είναι το όριο της \(a_n+b_n\);

Αντί για \(+\infty\) γράφετε 1000000, και αντί για \(-\infty\) γράφετε -1000000.

Έχουμε \(a_n\to+\infty\), \(b_n\to-\infty\), \(c_n\to10\), \(d_n\to0\). Σε ποιες περιπτώσεις γνωρίζουμε το όριο του αθροίσματος χωρίς άλλη πληροφορία;

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι πάντα αληθείς;

Αν \(a_n=(n-1)/n\) και \(b_n=(n+1)/n\), ποιο είναι το όριο της \(a_nb_n\);

Σε ποιες περιπτώσεις μπορούμε να ξέρουμε το όριο της \(a_nb_n\) χωρίς περαιτέρω πληροφορία;

Σωστό ή λάθος;

Αν \(p(x)=c_kx^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_0\), με \(c_k\ne0\), είναι πολυώνυμο γνωστού βαθμού \(k\), τότε μπορούμε να βρούμε το όριο της ακολουθίας \(a_n=p(-n)\) μόνο από το πρόσημο του \(c_k\).

Αν \(a_n\to1\) και \(b_n\to2\), ποιες προτάσεις είναι πάντα σωστές; «Τελικά» σημαίνει από κάποιο δείκτη και πέρα.

Υπάρχει μια διάταξη των παρακάτω ακολουθιών έτσι ώστε τελικά να ισχύει

[[1]] \(\le\) [[2]] \(\le\) [[3]] \(\le\) [[4]].

Τοποθετήστε τις παρακάτω ακολουθίες στις σωστές θέσεις:

1. \(3n^2-10n+1\)
2. \(2n^2+1000n+50\)
3. \(\frac1{10}n^3-100n^2-30\)
4. \(10^6n+1\)

Οι παρακάτω ακολουθίες \(a_n\) συγκλίνουν σε πραγματικό αριθμό \(a\). Σε ποιες περιπτώσεις ισχύει \(a_n\le a\) τελικά;