Καταχρηστικά ολοκληρώματα

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα
\[\int_1^\infty \frac{\ln{x}}{x^2}\,dx.\]

Η απάντηση είναι αριθμός με ακρίβεια 2 δεκαδικών ψηφίων.

Σωστό ή λάθος;

Ας είναι \(f:[0, +\infty) \to [0, +\infty)\) μια συνάρτηση που είναι Riemann ολοκληρώσιμη σε κάθε φραγμένο διάστημα.

Αν  \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) τότε \(\int_0^\infty f(x)\,dx = +\infty\).

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα
\[\int_0^\infty x e^{-x^2} \,dx.\]

Η απάντηση είναι αριθμός με ακρίβεια 2 δεκαδικών ψηφίων.

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα
\[\int_{-\infty}^\infty x e^{-x^2} \,dx.\]

Η απάντηση είναι αριθμός με ακρίβεια 2 δεκαδικών ψηφίων.

Σωστό ή λάθος;

Ας είναι \(f:[1, +\infty) \to [0, +\infty)\) μια συνάρτηση που είναι Riemann ολοκληρώσιμη σε κάθε φραγμένο διάστημα.

Αν  \(\Ds \int_1^\infty f(x)\,dx < \infty\) (αν δηλ. το ολοκλήρωμα είναι πραγματικός αριθμός) τότε \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\).

Σωστό ή λάθος;

Αν \(f:[0, +\infty) \to [0, +\infty)\) είναι φθίνουσα και \(\int_0^\infty f(x)\,dx < \infty\) τότε
\[ \lim_{x \to \infty} x f(x) = 0.\]

Ποια από τα παρακάτω καταχρηστικά ολοκληρώματα μη αρνητικών συναρτήσεων συγκλίνουν σε πραγματικό αριθμό;

Ποια από τα παρακάτω καταχρηστικά ολοκληρώματα μη αρνητικών συναρτήσεων συγκλίνουν σε πραγματικό αριθμό;

Η \(f:[1, +\infty) \to [0, +\infty)\) είναι Riemann ολοκληρώσιμη σε κάθε φραγμένο διάστημα. Ποιες από τις παρακάτω υποθέσεις συνεπάγονται ότι
\[ \int_1^\infty f(t)\,dt < \infty;\]