Απειροστικός Λογισμός Μιας Μεταβλητής

\( \newcommand{\Ds}{\displaystyle} \newcommand{\PP}{{\mathbb P}} \newcommand{\RR}{{\mathbb R}} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\CC}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\NN}{{\mathbb N}} \newcommand{\TT}{{\mathbb T}} \newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Abs}[1]{{\left|{#1}\right|}} \newcommand{\Floor}[1]{{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}} \newcommand{\Ceil}[1]{{\left\lceil{#1}\right\rceil}} \newcommand{\sgn}{{\rm sgn\,}} \newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}} \newcommand{\Norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}} \newcommand{\Prob}[1]{{{{\mathbb P}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\Mean}[1]{{{{\mathbb E}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\cis}{{\rm cis}\,} \newcommand{\one}{{\mathbf 1}} \newcommand{\One}[1]{{\bf 1}\left(#1\right)} \renewcommand{\Re}{{\rm Re\,}} \renewcommand{\Im}{{\rm Im\,}} \renewcommand{\arg}{{\rm arg\,}} \renewcommand{\Arg}{{\rm Arg\,}} \renewcommand{\deg}{{\rm deg\,}} \renewcommand{\vol}{{\rm vol\,}} \renewcommand{\span}{{\rm span\,}} \newcommand{\ft}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}} \newcommand{\FT}[1]{\left(#1\right)^\wedge} \newcommand{\Lone}[1]{{\left\|{#1}\right\|_{1}}} \newcommand{\Linf}[1]{{\left\|{#1}\right\|_\infty}} \newcommand{\inner}[2]{{\langle #1, #2 \rangle}} \)

Συνέχεια

Αν \(q(x)\) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού \(n \ge 1\) και \(p(x)\) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού \(m \ge 1\), σε πόσα, το πολύ, σημεία μπορεί να είναι ασυνεχής\({}^*\) η συνάρτηση
\[f(x) = \frac{1}{q(x) p(x)};\]

Η απάντηση είναι συνάρτηση των \(n\) και \(m\).

\({}^*\) Σημείωση: Ας πάρουμε το παράδειγμα \(q(x) = x-1\). Αυστηρά μιλώντας δεν έχει νόημα να μιλάμε για συνέχεια ή όχι στο σημείο 1 για τη συνάρτηση
\[\frac{1}{q(x)} = \frac{1}{x-1}\]
γιατί η συνάρτηση αυτή δεν ορίζεται καν στο 1. Όμως έχει επικρατήσει ακόμη και σε αυτή την περίπτωση να λέμε ότι η συνάρτηση είναι ασυνεχής στο 1, κι ας μην ορίζεται εκεί.

Έχει επικρατήσει να λέμε ότι μια συνάρτηση \(f(x)\) που δεν ορίζεται στο \(x_0\) είναι συνεχής στο \(x_0\) αν μπορεί να οριστεί εκεί ώστε να είναι συνεχής. Για παράδειγμα, έχει επικρατήσει να λέμε ότι η συνάρτηση
\[\frac{\sin{x}}{x}\]
είναι συνεχής στο 0, αφού μπορεί να γίνει συνεχής στο 0 αν την ορίσουμε εκεί κατάλληλα (της δώσουμε την τιμή 1).

Για τη συνάρτηση \(\Ds \frac{1}{x-1}\) αυτό δε γίνεται: ό,τι τιμή κι αν της δώσουμε στο 1 πάλι ασυνεχής θα είναι. Ομοίως και τη συνάρτηση \(\Ds \sin\frac{1}{x}\) τη λέμε ασυνεχή στο 0 παρά το ότι δεν ορίζεται στο 0, αφου το όριό της στο 0 δεν υπάρχει.

Απάντηση

Προεπισκόπηση τύπου

Γράψτε έναν τύπο για να εμφανιστεί εδώ.