Απειροστικός Λογισμός Μιας Μεταβλητής

\( \newcommand{\Ds}{\displaystyle} \newcommand{\PP}{{\mathbb P}} \newcommand{\RR}{{\mathbb R}} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\CC}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\NN}{{\mathbb N}} \newcommand{\TT}{{\mathbb T}} \newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Abs}[1]{{\left|{#1}\right|}} \newcommand{\Floor}[1]{{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}} \newcommand{\Ceil}[1]{{\left\lceil{#1}\right\rceil}} \newcommand{\sgn}{{\rm sgn\,}} \newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}} \newcommand{\Norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}} \newcommand{\Prob}[1]{{{{\mathbb P}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\Mean}[1]{{{{\mathbb E}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\cis}{{\rm cis}\,} \newcommand{\one}{{\mathbf 1}} \newcommand{\One}[1]{{\bf 1}\left(#1\right)} \renewcommand{\Re}{{\rm Re\,}} \renewcommand{\Im}{{\rm Im\,}} \renewcommand{\arg}{{\rm arg\,}} \renewcommand{\Arg}{{\rm Arg\,}} \renewcommand{\deg}{{\rm deg\,}} \renewcommand{\vol}{{\rm vol\,}} \renewcommand{\span}{{\rm span\,}} \newcommand{\ft}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}} \newcommand{\FT}[1]{\left(#1\right)^\wedge} \newcommand{\Lone}[1]{{\left\|{#1}\right\|_{1}}} \newcommand{\Linf}[1]{{\left\|{#1}\right\|_\infty}} \newcommand{\inner}[2]{{\langle #1, #2 \rangle}} \)

Εφαρμογές ολοκληρωμάτων

Συνεχής ανατοκισμός κεφαλαίου

Άνοιγμα στο YouTube

Καταθέτουμε 100 ευρώ σε μια τράπεζα με επιτόκιο 10% το χρόνο. Η πολιτική της τράπεζας είναι ότι αν το ποσό που βρίσκεται στο λογαριασμό είναι πάνω από 1000 ευρώ τότε το επιτόκιο ανεβαίνει στο 20% (για όλο το ποσό, όχι μόνο για το ποσό παραπάνω από 1000 ευρώ). Υποθέτουμε επίσης ότι οι κανόνες της τράπεζας δεν αλλάζουν και ότι έχουμε συνεχή ανατοκισμό.

Σε πόσα χρόνια θα γίνει το ποσό μας 2000 ευρώ;

Αριθμητική απάντηση με ακρίβεια 3 δεκαδικών ψηφίων.

Απάντηση

Διαφορική εξίσωση για την εξέλιξη του κεφαλαίου υπό συνεχή ανατοκισμό

Άνοιγμα στο YouTube

Σε μια μεγάλη τράπεζα αναλαμβάνει ένας νέος και δραστήριος διευθυντής με σκοπό να προσελκύσει καταθέσεις οι οποίες τον τελευταίο καιρό δεν πάνε καλά.

Του έρχεται λοιπόν η ιδέα να διαφημίσει ένα νέου τύπου καταθετικό λογαριασμό στον οποίο, αντί τα χρήματα να τοκίζονται με το συνηθισμένο ετήσιο επιτόκιο με συνεχή ανατοκισμό, όπου τα χρήματα εξελίσσονται σύμφωνα με τη διαφορική εξίσωση
\[ y'(t) = r y(t)\]
με \(r\) να είναι το επιτόκιο (έχουμε \(r = 0.1\)), ο ρυθμός άυξησης των χρημάτων (στο νέο προϊόν) να είναι ανάλογος του τετραγώνου του υπάρχοντος ποσού, υπόκειται δηλ. στη διαφορική εξίσωση
\[y'(t) = s y^{2}(t)\]
όπου \(s\) είναι ένα μειωμένο επιτόκιο (έχουμε \(s = 0.01\)).

Ένας και μοναδικός πελάτης πείθεται από την καμπάνια αυτή (ο κόσμος φοβάται τους νεωτερισμούς) και καταθέτει 200 ευρώ στην τράπεζα.

Βρείτε το ποσό που έχει μαζευτεί στο λογαριασμό του πελάτη στο χρόνο \(t\) ως συνάρτηση του χρόνου \(t\).

Προεπισκόπηση τύπουΓράψτε έναν τύπο για να εμφανιστεί εδώ.

Έντρομοι μετά από κάποιους μήνες οι ιδιοκτήτες της τράπεζας διαπιστώνουν ότι η τράπεζα δεν έχει πια χρήματα. Όλα έχουν μπει στο λογαριασμό του νέου αυτού πελάτη ως τόκοι. Στην αρχή υποψιάζονται ότι κάποιος έχει μπει στα συστήματά τους και τα έχει "χακάρει", αλλά οι έρευνές τους προς αυτή την κατεύθυνση αποβαίνουν άκαρπες.

Ευτυχώς όμως στην τράπεζα αυτή βρισκόταν εκείνη την εποχή κάποια φοιτήτρια του Τμήματος Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης που έκανε εκεί την πρακτική της άσκηση. Άργησε μερικές μέρες γιατί ήταν λίγο ντροπαλή αλλά τελικά βρήκε το θάρρος και πήγε στον Πρόεδρο της τράπεζας και του εξήγησε ότι τίποτε παράνομο δεν είχε συμβεί, απλά με τον τρόπο που δίνονταν οι τόκοι με το νέο σύστημα αυτό ήταν αναμενόμενο, όπως του απέδειξε. (Ο νέος διευθυντής καθαιρέθηκε την ίδια μέρα.)

Όσο κεφάλαιο και να είχε η τράπεζα στα χρηματοκιβώτιά της, όσα δισεκατομμύρια κι αν είχε αρχικά, δεν υπήρχε περίπτωση να αντέξει αυτούς τους τόκους πέρα από μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή.

Πόσα χρόνια μετά την κατάθεση είναι αυτή η στιγμή;

Προεπισκόπηση τύπουΓράψτε έναν τύπο για να εμφανιστεί εδώ.

Δεκαδικός αριθμός με ακρίβεια 2 ψηφίων.

Ένα ελατήριο έχει σχήμα έλικας όπως φαίνεται στο σχήμα.

Η τριδιάστατη καμπύλη αυτή έχει παραμετρικές εξισώσεις
\[x(t) = \cos{t},\ \ y(t) = \sin{t},\ \ z(t) = t,\]
και ο χρόνος ξεκινά από το 0 (οπότε η καμπύλη ξεκινά από το σημείο (1, 0, 0)). Αν η καμπύλη κάνει \(n\) πλήρεις περιστροφές ποιο είναι το μήκος της;

Ο τύπος του μήκους καμπύλης για τριδιάστατες καμπύλες είναι τελείως ανάλογος με τον τύπο για τις διδιάστατες:
\[L = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}\,dt,\]
όπου \([a, b]\) είναι το διάστημα που διανύει η παράμετρος \(t\).

Η απάντησή σας είναι συνάρτηση του \(n\).

Τον αριθμό \(\pi\) τον γράφετε ως pi.

Απάντηση

Προεπισκόπηση τύπου

Γράψτε έναν τύπο για να εμφανιστεί εδώ.

Εμβαδό από ολοκλήρωση μήκους

Άνοιγμα στο YouTube

Θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδό ενός τραπεζίου με άνω πλευρά μήκους \(a\), κάτω πλευρά μήκους \(b\) και ύψος \(h\):

Θα το κάνουμε αυτό ολοκληρώνοντας για \(t\) από 0 έως \(h\) το μήκος της τομής της οριζόντας ευθείας που απέχει \(t\) από πάνω με το τραπέζιο, το μήκος δηλ. ΘΗ.

Ποιο είναι το μήκος αυτής της τομής; Η απάντηση είναι συνάρτηση των \(a, b, h, t\).

Προεπισκόπηση τύπουΓράψτε έναν τύπο για να εμφανιστεί εδώ.

Ολοκληρώνοντας της συνάρτηση που βρήκατε στο προηγούμενο, ποιο είναι το εμβαδό του τραπεζίου; Η απάντηση είναι συνάρτηση των \(a, b, h\).

Προεπισκόπηση τύπουΓράψτε έναν τύπο για να εμφανιστεί εδώ.

Εμβαδό και προσέγγισή του

Άνοιγμα στο YouTube

Υπενθυμίζουμε εδώ (και στην περίπτωση του συμβόλου \(\sim\) ορίζουμε) τη χρήση των παρακάτω συμβόλων.

Σε κάθε περίπτωση υπάρχει πάντα ένα όριο από πίσω, συνήθως μια παράμετρος που τείνει σε ένα όριο. Στην περίπτωση των ακολουθιών το όριο αυτό είναι πάντα το \(+\infty\) ενώ αν μιλάμε για συναρτήσεις μπορεί να είναι οτιδήποτε και πρέπει κανείς να το ξεκαθαρίζει για να έχει νόημα η πρόταση.

Υπό το καθεστώς λοιπόν αυτής της παραμέτρου που τείνει σε ένα όριο:

\(A = O(B)\) σημαίνει ότι υπάρχει μια σταθερά \(C\) τ.ώ. \(\Abs{A} \le C \Abs{B}\) όταν η παράμετρος είναι κοντά στο όριο.
Παράδειγμα: \(\Ds 100 x+1 = O(x)\) για \(x \to +\infty\).
\(A = o(B)\) σημαίνει ότι το όριο \(\Ds \frac{A}{B}\) είναι το 0.
Παράδειγμα: \(\Ds 100 x + 1 = o(x^2)\) για \(x \to +\infty\). Αυτό δεν ισχύει αν \(x \to 0\).
\(Α \sim B\) σημαίνει ότι το όριο \(\Ds \frac{A}{B}\) είναι το 1.
Παράδειγμα: \(\Ds\sin x \sim x\) για \(x \to 0\).

Όγκος στερεού και στερεού εκ περιστροφής

Άνοιγμα στο YouTube

Θέλουμε να υπολογίσουμε τον όγκο ενός σφαιρικού ελλειψοειδούς:

Η επιφάνεια του σχήματος αυτού είναι όλα τα σημεία του χώρου που ικανοποιούν την εξίσωση
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1.\]
Θα υπολογίσουμε τον όγκο ολοκληρώνοντας το εμβαδό της τομής του ελλειψοειδούς αυτού με ένα οριζόντιο επίπεδο (παράλληλο δηλ με το επίπεδο \(xy\)) που ξεκινά από το ύψος \(z = -c\) και φτάνει ως το ύψος \(z = c\).

Αν ονομάσουμε \(t\) τη \(z\)-συντεταγμένη αυτού του επιπέδου ποιο είναι το εμβαδό της τομής του με το ελλειψοειδές; (Η τομή αυτή είναι πάντα κύκλος όπως φαίνεται από την εξίσωση παραπάνω σταθεροποιώντας το \(z\)).

Η απάντησή σας είναι συνάρτηση των \(a, c, t\).

Προεπισκόπηση τύπουΓράψτε έναν τύπο για να εμφανιστεί εδώ.

Αφού βρήκατε το εμβαδό στο προηγούμενο ερώτημα το ολοκληρώνετε για \(t = -c\) έως \(t = c\) και παίρνετε τον όγκο του σώματος.

Η απάντησή σας είναι συνάρτηση των \(a, c\).

Προεπισκόπηση τύπουΓράψτε έναν τύπο για να εμφανιστεί εδώ.

Τον αριθμό \(\pi\) τον γράφετε ως pi.

Παραδείγματα υπολογισμού όγκων

Άνοιγμα στο YouTube

Έργο για συμπίεση ελατηρίου

Άνοιγμα στο YouTube

Δύο ηλεκτρόνια είναι πάνω σε μια ευθεία όπως φαίνεται στο σχήμα

Το αριστερό ηλεκτρόνιο είναι ακλόνητο στη θέση 0 ενώ το δεξί ηλεκτρόνιο είναι ελεύθερο να κινείται πάνω στην ευθεία και αρχικά βρίσκεται ακίνητο στη θέση \(r\).
Η μόνη δύναμη που ασκείται στο δεξί ηλεκτρόνιο είναι η δύναμη Coulomb από το αριστερό ηλεκτρόνιο η οποία εξαρτάται από τη θέση του δεξιού ηλεκτρονίου και δίνεται από τον τύπο
\[F(x) = \frac{A}{x^2}.\]
Εδώ \(A\) είναι μια σταθερά που συμπεριλαμβάνει διάφορες φυσικές σταθερές όπως το φορτίο ηλεκτρονίου και άλλες φυσικές σταθερές.
Ποιο είναι το έργο που παράγεται από τη δύναμη Coulomb όταν το ηλεκτρόνιο πάει από τη θέση \(r\) σε μια άλλη θέση \(R\) πιο δεξιά;

Η απάντηση εξαρτάται από τα \(r, R, A\).

Προεπισκόπηση τύπουΓράψτε έναν τύπο για να εμφανιστεί εδώ.

Και ποιο είναι το όριο της παραπάνω ποσότητας όταν \(R \to +\infty\);

Η απάντηση εξαρτάται από τα \(r, A\).

Προεπισκόπηση τύπουΓράψτε έναν τύπο για να εμφανιστεί εδώ.