Η σελίδα αυτή βρίσκεται στη διεύθυνση
http://www.csd.uch.gr/~kolount/analysisII.html
όπως επίσης και στη διεύθυνση
http://www.math.uiuc.edu/~kolount/analysisII.html
Οι πιο πρόσφατες καταχωρήσεις βρίσκονται στο τέλος της σελίδας.
kolount@math.uch.grmenioud@math.uch.gr
Βαθμολογικό σύστημα:
Εστω I ο βαθμός της εξέτασης του Ιουνίου,
M ο βαθμός της προόδου.
Ο τελικός βαθμός για την περίοδο του Ιουνίου
θα είναι το μέγιστο των:
Αρχή εξαμήνου: Η σελίδα αυτή θα ενημερώνεται τακτικά
για θέματα που αφορούν την Ανάλυση ΙΙ.
Εδώ θα βρίσκετε συνήθως:
Γιατί η σελίδα;
Ενας από τους λόγους ύπαρξης αυτής της σελίδας είναι
σα κίνητρο για την απόκτηση από το φοιτητή ικανότητας
χρήσης του Internet.
Σκοπός είναι να γνωρίζει κανείς τι είδους πληροφορίες
μπορεί να βρεί στο δίκτυο καθώς και το πώς να τις
αναζητήσει.
Φυσικά, μια και υπάρχει κόσμος που δεν θέλει να αποκτήσει
τέτοιες γνώσεις και δε θέλει να έχει επαφή με τον
υπολογιστή, η σελίδα αυτή θα τυπώνεται και θα αναρτάται έξω
από το γραφείο μου περίπου μια φορά τη βδομάδα, ώστε να
μπορεί κανείς να πάρει όλη την πληροφορία απο εκεί.
Πρώτη εβδομάδα μαθημάτων: Η έννοια της απόστασης στους πραγματικούς, γειτονιά σημείου, σημεία συσσώρευσης και επαφής ενός συνόλου πραγματικών αριθμών. Ανοιχτά σύνολα και εσωτερικό, Κλειστά σύνολα και κλειστή θήκη. Τα ανοιχτά σύνολα ως συμπληρώματα κλειστών. Συμπεριφορά ανοιχτών και κλειστών συνόλων ως προς ενώσεις και τομές, πεπερασμένες και άπειρες το πλήθος.
Τρ, 28-9-99: Ασχοληθήκαμε με δυο ασκήσεις: (α) δείξαμε ότι τα μόνα ανοιχτά και κλειστά (ταυτόχρονα) σύνολα είναι το R και το κενό (αυτό το αποτέλεσμα λέγεται και "συνεκτικότητα του R, για λόγους που θα μάθετε αργότερα), και (β) ορίσαμε τα σημεία συμπύκνωσης ενός συνόλου (είναι τα σημεία σε κάθε γειτονιά των οποίων υπάρχουν υπεραριθμήσιμα το πλήθος στοιχεία του συνόλου) και δείξαμε ότι όρια σημείων συμπύκνωσης είναι κι αυτά σημεία συμπύκνωσης. Επίσης ότι κάθε σημείο συμπύκνωσης είναι σημείο σημείο συσσώρευσης των σημείων συμπύκνωσης του συνόλου.
Πέ, 30-9-99: Λύσαμε διάφορες ασκήσεις από το Κεφ. 1 των σημειώσεων και μιλήσαμε για συνεχείς συναρτήσεις R -> R και για αποδείξαμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής παντού αν και μόνο αν προεικόνες ανοιχτών συνόλων είναι ανοιχτά σύνολα (ομοίως για κλειστά).
Πα, 1-10-99 Ορίσαμε την έννοια του μετρικού χώρου και είδαμε διάφορα παραδείγματα (διακριτούς χώρους, πεπερασμένους χώρους, Ευκλείδιους χώρους), αποδείξαμε την ανισότητα Cauchy-Schwartz και, μέσω αυτής, την τριγωνική ανισότητα για την Ευκλείδια απόσταση στο n-διάστατο χώρο. Είδαμε ξανά όλες τις έννοιες που είχαμε δεί στο Κεφ. 1 και το ότι μεταφράζονται σχεδόν αυτούσιες (όπως και όλες οι αποδείξεις) στην περίπτωση γενικών μετρικών χώρων. Λύστε μέχρι τη Δευτέρα τις ασκήσεις του Κεφ. 2 Νο 2, 5, 7, 10, 11, τουλάχιστον.
Την επόμενη βδομάδα (Τρ ή Πέ) θα κάνουμε ένα μικρό τεστ στην ώρα του μαθήματος. Το τεστ αυτό θα είναι ανώνυμο και δε θα έχει καμιά επίπτωση στη βαθμολογία σας. Θα αποτελείται από ερωτήσεις τύπου πολλαπλών επιλογών (multiple choice) και στο τέλος θα βαθμολογήσετε μόνοι σας τον εαυτό σας ώστε να ξέρετε περίπου που βρίσκεστε όσον αφορά την κατανόηση του μαθήματος (εγώ θα συλλέξω μόνο στατιστικά στοιχεία και, ίσως, και τα ανώνυμα γραπτά σας).
Τρ, 5-10-99: Σήμερα αναφερθήκαμε σε σύνθεση συνεχών συναρτήσεων ανάμεσα σε μετρικούς χώρους και δείξαμε ότι η συνέχεια διατηρείται από τη σύνθεση. Τελειώσαμε έτσι το κεφάλαιο για μετρικούς χώρους. Επίσης είχαμε το 1ο διαγώνισμα με ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος.
Πέ, 7-10-99: Έγιναν ασκήσεις πάνω σε μετρικούς χώρους και πάνω στο προηγούμενο διαγώνισμα.
Πα, 8-10-99: Ορίσαμε συμπαγή σύνολα σε μετρικούς χώρους. Είδαμε διάφορα παραδείγματα. Επίσης δείξαμε πως τα συμπαγή είναι κλειστά και φραγμένα, και, ειδικά για τους χώρους R^n (με τη συνήθη μετρική), όλα τα κλειστά και φραγμένα είναι συμπαγή (αυτό ΔΕΝ ισχύει σε όλους του μετρικούς χώρους, π.χ. σε οποιοδήποτε άπειρο διακριτό μετρικό χώρο). Επίσης είδαμε πως κλειστά υποσύνολα συμπαγών είναι συμπαγή. Τη ερχόμενη Τρίτη θα γίνει επίσης διαγώνισμα στο τέλος της ώρας.
Τρ, 12-10-99: Κάναμε μια μικρή επανάληψη στα όσα περί συμπάγειας είχαν ειπωθεί την προηγούμενη Παρασκευή και μετά κάναμε το 2ο διαγώνισμα. Η άσκηση 9 είχε δοθεί λάθος και να μην τη λάβετε υπ' όψην σας.
Πέ 14 και Πα 15-10-99: Έγιναν και τις δύο μέρες ασκήσεις πάνω σε μετρικούς χώρους και σε συμπάγεια.
Εδώ θα βρείτε (στα Αγγλικά) κάποιες σημειώσεις μερικές από τις οποίες είναι σχετικές με αυτά που έχουμε μάθει τις τελευταίες βδομάδες (π.χ. οι ενότητες 4 και 6). Η επιλογή αυτών των σημειώσεων έγινε σχετικά τυχαία, και είναι απλώς παράδειγμα του τι μπορεί κανείς να βρεί με ένα απλό ψάξιμο στο Internet.
Τρ, 19-10-99: Τελειώσαμε το κεφάλαιο για τη συμπάγεια. Αποδείξαμε ότι συνεχής εικόνα συμπαγούς συνόλου είναι συμπαγές σύνολο και ότι αν έχουμε μια συνεχή συνάρτηση με πραγματικές τιμές ορισμένη πάνω σε ένα συμπαγές σύνολο τότε αυτή "πιάνει" τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της μέσα στο σύνολο αυτό. Έγινε το 3ο διαγώνισμα (αποτελέσματα αισθητά καλύτερα από τα προηγούμενα).
Ανακοίνωση: Την Πέ 21-10-99 και την Πα 22-10-99 θα γίνει θεωρία και όχι ασκήσεις (στια κανονικές αίθουσες όπου βρισκόμαστε πάντα) ενώ την Παρασκευή 29-10-99 θα γίνει δίωρο ασκήσεων. Την Τρ 26-10-99 το μάθημα θα γίνει κανονικά.
Πέ 21-10-99 και Πα 22-10-99: Συζητήσαμε το διαγώνισμα της Τρίτης και αρχίσαμε να μιλάμε για σειρές πραγματικών αριθμών και τη σύγκλισή τους. Ορίσαμε της σύγκλιση σειράς και είδαμε πως μεταφράζεται στη γλώσσα των σειρών η ιδιότητα Cauchy των μερικών αθροισμάτων μιας σειράς. Ορίσαμε την απόλυτη σύγκλιση μιας σειράς και είδαμε ότι συνεπάγεται τη σύγκλιση (αλλά η αντίστροφη συνεπαγωγή δεν ισχύει). Είδαμε επίσης πως να συνάγουμε σύγκλιση ή απόκλιση μιας σειράς θετικών όρων συγκρίνοντάς την με μια άλλη σειρά της οποίας η συμπεριφορά μας είναι ήδη γνωστή. Είδαμε πολλά παραδείγματα σειρών και εξετάσαμε τη σύγκλισή τους ή μη.
Τρ, 26-10-99: Αποδείξαμε το κριτήριο του λόγου για απόλυτη σύγκλιση σειρών και κάναμε το 4ο διαγώνισμα.
Πέ, 28-10-99: Δεν έγινε μάθημα λόγω αργίας.
Πα, 29-10-99: Έγιναν ασκήσεις πάνω στις σειρές.
Τρ, 2-11-99: Το κριτήριο της ρίζας για απόλυτη σύγκλιση σειρών. Κάναμε το 5ο διαγώνισμα.
Πέ, 3-11-99: Έγιναν ασκήσεις πάνω στις σειρές (το 5ο διαγώνισμα και ασκήσεις μέσα από τις σημειώσεις).
Πα, 4-11-99: Συμπεριφορά σειρών που συγκλίνουν απόλυτα και σειρών που συγκλίνουν αλλά όχι απόλυτα υπό αναδιάταξη των όρων. Αποδείξαμε ότι υπό οποιαδήποτε αναδιάταξη το όριο μιας σειράς που συγκλίνει απόλυτα δεν αλλάζει, ενώ είδαμε παραδείγματα σειρών που συγκλίνουν όχι απόλυτα και που υπό κάποια αναδιάταξη μπορούν να συγκλίνουν, π.χ., στο άπειρο.
Η πρόοδος στο μάθημα θα γίνει τη Δε, 15-11-99, στις 7 μμ, στα Αμφ Α και Γ. Θα εξεταστεί ότι θα έχουμε πεί μέχρι και την Πα, 12-11-99.
Τρ, 9-11-99: Το Δ.Σ. των φοιτητών του Μαθηματικού δε με άφησε να κάνω μάθημα γιατί στο διπλανό αμφιθέατρο θα γινόταν Γενική Συνέλευση των φοιτητών (η οποία και δεν έγινε τελικά, όπως ακριβώς γίνεται συνήθως). Μοίρασα το 6ο διαγώνισμα το οποίο σας προτρέπω να κάνετε μόνοι σας. Επίσης μοίρασα ένα υπόδειγμα προόδου για να πάρετε από πριν μια ιδέα σε τι θα εξεταστείτε τη Δευτέρα, 15-11-99.
Πέ, 11-11-99: Δέν έγινε μάθημα λόγω τοπικής αργίας ("του Αγίου Μηνά").
Πα, 12-11-99: Το κριτήριο του ολοκληρώματος για μια σειρά με γενικό όρο f(n), με f(n) φθίνουσα και μη αρνητική. Προσοχή: δε βρίσκεται στις σημειώσεις σας στο κεφάλαιο για τις σειρές. Μιλήσαμε επίσης για την κατά σημείο σύγκλιση μιας ακολουθίας συναρτήσεων σε μια άλλη και είδαμε διάφορα παραδείγματα "κακής" συμπεριφοράς της οριακής συνάρτησης. Π.χ. είδαμε συνεχείς συναρτήσεις να συγκλίνουν σε ασυνεχή συνάρτηση, παραγωγίσιμες συναρτήσεις να συγκλίνουν σε μη παραγωγίσιμη συνάρτηση και είδαμε επίσης περιπτώσεις όπου το ολοκλήρωμα σε ένα διάστημα της οριακής συνάρτησης δεν είναι το όριο των ολοκληρωμάτων των συγκλινουσών συναρτήσεων.
Τρ, 16-11-99: Επανάληψη της εισαγωγής στην κατά σημείο σύγκλιση και στα διάφορα παραδείγματα που δείχνουν άσχημη συμπεριφορά της οριακής συνάρτησης. Είχαμε και το 7ο διαγώνισμα.
Πέ, 18-11-99: Εισαγωγή στην ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων και απόδειξη ότι συνεχείς συναρτήσεις συγκλίνουν ομοιόμορφα σε συνεχή συνάρτηση. Ο μετρικός χώρος των συνεχών συναρτήσεων πάνω σε ένα συμπαγές σύνολο με την "ομοιόμορφη" μετρική. Ασκήσεις.
Πα, 19-11-99: Ιδιότητες ομοιόμορφης σύγκλισης. Δείξαμε ότι ολοκληρώσιμες συναρτήσεις συγκλίνουν ομοιόμορφα σε ολοκληρώσιμη συνάρτηση και το ολοκλήρωμα του ορίου (σε φραγμένο διαστημα) είναι το όριο των ολοκληρωμάτων των συγκλινουσών συναρτήσεων. Επίσης δείξαμε ότι αν οι παράγωγοι μιας ακολουθίας συναρτήσεων συγκλίνουν ομοιόμορφα, και η ακολουθία συγκλίνει σε κάποιο σημείο, τότε η ακολουθία συναρτήσεων συγκλίει ομοιόμορφα.
Τρ, 23-11-99: Το θεώρημα Weierstrass (μια συνεχής συνάρτηση σε κλειστό και φραγμένο διάστημα προσεγγίζεται ομοιίμορφα από κάποια ακολουθία πολυωνύμων) χωρίς απόδειξη. Δεν ισχύει σε μη φραγμένο διάστημα.
Πα, 26-11-99: Σειρές συναρτήσεων. Σύγκλιση κατά σημείο και ομοιόμορφη. Μεταφορά καλών ιδιοτήτων των γενικών όρων της σειράς, όπως συνέχεια, στο όριο. Εναλλαγή σειράς ολοκληρώματος και άπειρης άθροισης καθώς και εναλλαγή σειράς παραγώγισης και άπειρης άθροισης.
Τρ, 30-11-99: Εισαγωγή στις δυναμοσειρές.
Πέ, 2-12-99: Απόδειξη του βασικού θεωρήματος σύγκλισης των δυναμοσειρών καθώς και συνέχεια και άπειρες φορές παραγωγισιμότητα του αθροίσματος μιας δυναμοσειράς. Ασκήσεις.
Πα, 3-12-99: Η εκθετική συνάρτηση ορισμένη ως δυανομοσειρά. Ιδιότητες αυτής που προκύπτουν από την έκφραση ως δυναμοσειρά. Καθορισμός των συντελεστών μιας δυναμοσειράς από τις παραγώγους της συνάρτησης αθροίσματος στο κέντρο. Μοναδικότητα έκφρασης μια συνάρτησης ως δυναμοσειρά.
Τρ, 7-12-99: Οι συναρτήσεις sin x και cos x ορισμένες ως δυναμοσειρές και πως οι βασικές τους ιδιότητες προκύπτουν από αυτές τους τις εκφράσεις ως δυναμοσειρές.
Πα, 10-12-99: Διάφορες ασκήσεις πάνω σε σύγκλιση σειρών. Έμφαση στην επέκταση του διωνυμικού θεωρήματος σε μη ακέραιους εκθέτες.
Τελευταία εβδομάδα εξαμήνου: Έγιναν κυρίως ασκήσεις επαναληπτικές σε τοπολογία. Θα γίνει κάποιο δίωρο ασκήσεων και μέσα στο Γενάρη.
Μοιράστηκε ένα υπόδειγμα τελικού διαγωνίσματος κατά τις τελευταίες συναντήσεις για το μάθημα και λύσεις έχουν δοθεί για φωτοτύπηση στο κυλικείο.
Τε, 26 Ιαν, 2000: Θα γίνει το τελικό διαγώνισμα στις 9 το πρωί στα αμφιθέατρα ΒΞ και ΣΠ. Σημειώσεις κλειστές.
Εδώ βρίσκονται τα αποτελέσματα της περιόδου Ιανουαρίου.
Σε μορφή Postscript δίδονται εδώ η πρόοδος και το τελικό διαγώνισμα.
Προς την αρχή της σελίδας.