\( \newcommand{\Ds}{\displaystyle} \newcommand{\PP}{{\mathbb P}} \newcommand{\RR}{{\mathbb R}} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\CC}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\NN}{{\mathbb N}} \newcommand{\TT}{{\mathbb T}} \newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Abs}[1]{{\left|{#1}\right|}} \newcommand{\Floor}[1]{{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}} \newcommand{\Ceil}[1]{{\left\lceil{#1}\right\rceil}} \newcommand{\sgn}{{\rm sgn\,}} \newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}} \newcommand{\Norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}} \newcommand{\Prob}[1]{{{{\mathbb P}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\Mean}[1]{{{{\mathbb E}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\cis}{{\rm cis}\,} \newcommand{\one}{{\mathbf 1}} \newcommand{\One}[1]{{\bf 1}\left(#1\right)} \renewcommand{\Re}{{\rm Re\,}} \renewcommand{\Im}{{\rm Im\,}} \renewcommand{\arg}{{\rm arg\,}} \renewcommand{\Arg}{{\rm Arg\,}} \renewcommand{\deg}{{\rm deg\,}} \renewcommand{\vol}{{\rm vol\,}} \renewcommand{\span}{{\rm span\,}} \newcommand{\ft}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}} \newcommand{\FT}[1]{\left(#1\right)^\wedge} \newcommand{\Lone}[1]{{\left\|{#1}\right\|_{1}}} \newcommand{\Linf}[1]{{\left\|{#1}\right\|_\infty}} \newcommand{\inner}[2]{{\langle #1, #2 \rangle}} \)

1. 9-2-2026: Αρχίζει το εαρινό εξάμηνο.

Θα ανακοινωθεί.

Δε 3-5, Τε 3-5. Εργαστήριο: Πα 11-3.
Αίθουσα: Α201

Ώρες γραφείου διδάσκοντα: Δευτέρα 11-12, στο γραφείο μου Γ 213.

Ολοκλήρωμα Riemann (βάσει αθροισμάτων Darboux). Κριτήριο ολοκληρωσιμότητας. Ολοκληρωσιμότητα συνεχών συναρτήσεων και μονότονων συναρτήσεων. Οι βασικές αλγεβρικές και ανισοτικές ιδιότητες του ολοκληρώματος. Ισοδυναμία των ορισμών του ολοκληρώματος βάσει αθροισμάτων Riemann και βάσει αθροισμάτων Darboux (ίσως χωρίς απόδειξη).

Ακολουθίες συναρτήσεων. Κατά σημείο σύγκλιση και ομοιόμορφη σύγκλιση. Ομοιόμορφη σύγκλιση σε σχέση με συνέχεια, παραγωγισιμότητα και ολοκληρωσιμότητα. Θεώρημα προσέγγισης Weierstrass.

Σειρές συναρτήσεων. Κατά σημείο σύγκλιση και ομοιόμορφη σύγκλιση. Κριτήριο Weierstrass. Δυναμοσειρές. Διάστημα σύγκλισης δυναμοσειράς. Το θεώρημα Abel για την συνέχεια δυναμοσειράς στο διάστημα σύγκλισής της. Παραγωγισιμότητα δυναμοσειράς.

Μετρικοί χώροι. Ο Ευκλείδειος χώρος και ο χώρος των συνεχών συναρτήσεων. Εσωτερικά, οριακά και συνοριακά σημεία. Εσωτερικό, κλειστότητα και σύνορο συνόλου. Ανοικτά και κλειστά σύνολα και βασικές ιδιότητες. Όριο ακολουθίας. Πληρότητα. Όριο και συνέχεια συνάρτησης. Αντίστροφες εικόνες ανοικτών και κλειστών συνόλων μέσω συνεχών συναρτήσεων. Συμπάγεια. Ένα σύνολο είναι συμπαγές αν και μόνο αν κάθε ακολουθία στο σύνολο έχει υπακολουθία συγκλίνουσα σε σημείο του συνόλου. Ένα σύνολο στον Ευκλείδειο χώρο είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε συμπαγές σύνολο έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή και είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Θα χρησιμοποιήσουμε κυρίως τα παρακάτω κείμενα.

[Π]	Μ. Παπαδημητράκης	Ανάλυση	(δείτε εδώ)
[Μ]	Θ. Μήτσης	Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και ΙΙ	(δείτε εδώ)
[ΜΜ]	Θ. Μήτσης	Μετρικοί χώροι	(δείτε εδώ)
[Γ]	Α. Γιαννόπουλος	Απειροστικός Λογισμός ΙΙ	(δείτε εδώ)

Θα ανακοινωθεί.