\( \newcommand{\Ds}{\displaystyle} \newcommand{\PP}{{\mathbb P}} \newcommand{\RR}{{\mathbb R}} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\CC}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\NN}{{\mathbb N}} \newcommand{\TT}{{\mathbb T}} \newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Abs}[1]{{\left|{#1}\right|}} \newcommand{\Floor}[1]{{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}} \newcommand{\Ceil}[1]{{\left\lceil{#1}\right\rceil}} \newcommand{\sgn}{{\rm sgn\,}} \newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}} \newcommand{\Norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}} \newcommand{\Prob}[1]{{{{\mathbb P}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\Mean}[1]{{{{\mathbb E}}\left[{#1}\right]}} \newcommand{\cis}{{\rm cis}\,} \newcommand{\one}{{\mathbf 1}} \newcommand{\One}[1]{{\bf 1}\left(#1\right)} \renewcommand{\Re}{{\rm Re\,}} \renewcommand{\Im}{{\rm Im\,}} \renewcommand{\arg}{{\rm arg\,}} \renewcommand{\Arg}{{\rm Arg\,}} \renewcommand{\deg}{{\rm deg\,}} \renewcommand{\vol}{{\rm vol\,}} \renewcommand{\span}{{\rm span\,}} \newcommand{\ft}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}} \newcommand{\FT}[1]{\left(#1\right)^\wedge} \newcommand{\Lone}[1]{{\left\|{#1}\right\|_{1}}} \newcommand{\Linf}[1]{{\left\|{#1}\right\|_\infty}} \newcommand{\inner}[2]{{\langle #1, #2 \rangle}} \)

1. 9-2-2026: Αρχίζει το εαρινό εξάμηνο.

Θα ανακοινωθεί.

Δε 3-5, Τε 3-5. Εργαστήριο: Πα 11-3.
Αίθουσα: Α201 (εργαστήριο στην Ε212).

Ώρες γραφείου διδάσκοντα: Δευτέρα 11-12, στο γραφείο μου Γ 213.

Ολοκλήρωμα Riemann (βάσει αθροισμάτων Darboux). Κριτήριο ολοκληρωσιμότητας. Ολοκληρωσιμότητα συνεχών συναρτήσεων και μονότονων συναρτήσεων. Οι βασικές αλγεβρικές και ανισοτικές ιδιότητες του ολοκληρώματος. Ισοδυναμία των ορισμών του ολοκληρώματος βάσει αθροισμάτων Riemann και βάσει αθροισμάτων Darboux (ίσως χωρίς απόδειξη).

Ακολουθίες συναρτήσεων. Κατά σημείο σύγκλιση και ομοιόμορφη σύγκλιση. Ομοιόμορφη σύγκλιση σε σχέση με συνέχεια, παραγωγισιμότητα και ολοκληρωσιμότητα. Θεώρημα προσέγγισης Weierstrass.

Σειρές συναρτήσεων. Κατά σημείο σύγκλιση και ομοιόμορφη σύγκλιση. Κριτήριο Weierstrass. Δυναμοσειρές. Διάστημα σύγκλισης δυναμοσειράς. Το θεώρημα Abel για την συνέχεια δυναμοσειράς στο διάστημα σύγκλισής της. Παραγωγισιμότητα δυναμοσειράς.

Μετρικοί χώροι. Ο Ευκλείδειος χώρος και ο χώρος των συνεχών συναρτήσεων. Εσωτερικά, οριακά και συνοριακά σημεία. Εσωτερικό, κλειστότητα και σύνορο συνόλου. Ανοικτά και κλειστά σύνολα και βασικές ιδιότητες. Όριο ακολουθίας. Πληρότητα. Όριο και συνέχεια συνάρτησης. Αντίστροφες εικόνες ανοικτών και κλειστών συνόλων μέσω συνεχών συναρτήσεων. Συμπάγεια. Ένα σύνολο είναι συμπαγές αν και μόνο αν κάθε ακολουθία στο σύνολο έχει υπακολουθία συγκλίνουσα σε σημείο του συνόλου. Ένα σύνολο στον Ευκλείδειο χώρο είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε συμπαγές σύνολο έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή και είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Θα χρησιμοποιήσουμε κυρίως τα παρακάτω κείμενα.

[Π]	Μ. Παπαδημητράκης	Ανάλυση	(δείτε εδώ)
[Μ]	Θ. Μήτσης	Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και ΙΙ	(δείτε εδώ)
[ΜΜ]	Θ. Μήτσης	Μετρικοί χώροι	(δείτε εδώ)
[Γ]	Α. Γιαννόπουλος	Απειροστικός Λογισμός ΙΙ	(δείτε εδώ)

Ο βαθμός σας θα προκύψει από 3 υποχρεωτικά διαγωνίσματα μέσα στο εξάμηνο, χωρίς τελικό διαγώνισμα. Έτσι η ύλη του μαθήματος χωρίζεται περίπου στα 3 και εξετάζεται χωριστά. Οι συντελεστές του κάθε διαγωνίσματος είναι 20%, 40%, 40% (ο χαμηλότερός σας βαθμός μετράει 20% και οι δύο άλλοι από 40%).

Τα διαγωνίσματα θα γίνουν στις παρακάτω μέρες: Τετάρτη 4 Μαρτίου 2026, Τετάρτη 1 Απριλίου 2026 και Τετάρτη 20 Μαΐου 2026. Και τις τρεις μέρες τα διαγωνίσματα θα γίνουν την ώρα του μαθήματος, δηλ. 3-5μμ.

Αν κάποιος από σας έχει αντικειμενικό λόγο για τον οποίο δε μπορεί να γράψει τα ενδιάμεσα διαγωνίσματα και θέλει να εξεταστεί μόνο με τελική (ενδεχομένως προφορική) εξέταση θα πρέπει να μου στείλει email μέχρι 20 Φεβρουαρίου 2026 εξηγώντας τους λόγους που έχει και μετά από έγκριση θα δώσει μόνο τελική εξέταση. Όσοι δεν έχουν πάρει έγκριση μέχρι αυτή την ημερομηνία θα πρέπει αναγκαστικά να συμμετάσχουν στα 3 υποχρεωτικά διαγωνίσματα.