$\newcommand{\Prob}[1]{{{\mathbb{P}}\left[{#1}\right]}}$ $\newcommand{\Mean}[1]{{{\mathbb{E}}\left[{#1}\right]}}$ $\newcommand{\Cov}{{\mathrm{Cov}}}$ $\newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}}$ $\newcommand{\PP}{{\mathbb P}}$ $\newcommand{\RR}{{\mathbb R}}$ $\newcommand{\CC}{{\mathbb C}}$ $\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}$ $\newcommand{\NN}{{\mathbb N}}$ $\newcommand{\TT}{{\mathbb T}}$ $\newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}}$ $\newcommand{\One}[1]{{\bf 1}\left(#1\right)}$ $\newcommand{\one}{{\bf 1}}$ $\newcommand{\Ds}{\displaystyle}$

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ   -   ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι   -   ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2012-13

Κεντρική σελίδα για διαλέξεις Πιθανοτήτων σε video

3. Υπό συνθήκη πιθανότητα. Ανεξαρτησία.

Μιχάλης Κολουντζάκης

Άνοιξη 2012-13


VIDEO: Υπό συνθήκη πιθανότητα


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Τα ενδεχόμενα $A$ και $B$ (με $\Prob{B}>0$) είναι μεταξύ τους ξένα. Ποια η πιθανότητα $\Prob{A|B}$;
    E1:      info   calculator
  2. Έχουμε $\Prob{B}=0.4$, $\Prob{A|B}=0.2$, $\Prob{A|B^c}=0.1$ (εδώ $B^c = \Omega\setminus B$ είναι το συμπληρωματικό ενδεχόμενο του $B$). Ποια η πιθανότητα $\Prob{A}$;
    E2:      info   calculator hint

VIDEO: Υπό συνθήκη πιθανότητα: παραδείγματα


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Από μια συνηθισμένη τράπουλα με 52 φύλλα τραβάμε δύο φύλλα το ένα μετά το άλλο (χωρίς να τα επανατοποθετούμε). Ποια η πιθανότητα να τραβήξουμε δύο άσους;
    E3:      info   calculator hint
    Αν γνωρίζουμε ότι το πρώτο φύλλο είναι άσος τότε ποια η απάντηση στο ερώτημα E3;
    E4:      info   calculator
    Αν γνωρίζουμε ότι το δεύτερο φύλλο είναι άσος τότε ποια η απάντηση στο ερώτημα E3;
    E5:      info   calculator
    Αν γνωρίζουμε ότι το τουλάχιστον ένα από τα δύο φύλλα είναι άσος τότε ποια η απάντηση στο ερώτημα E3;
    E6:      info   calculator hint

VIDEO: Τύπος Ολικής Πιθανότητας


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Ένα δοχείο περιέχει 5 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες. Ένα άλλο δοχείο περιέχει 7 άσπρες και 9 μαύρες μπάλες. Επιλέγουμε τυχαία μια μπάλα από το πρώτο δοχείο και τη βάζουμε στο δεύτερο. Έπειτα επιλέγουμε τυχαία μια μπάλα από το δεύτερο δοχείο. Ποια η πιθανότητα η τελευταία αυτή μπάλα να είναι άσπρη;
    E7:      info   calculator hint

VIDEO: Τύπος του Bayes


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Ένα κουτί περιέχει 7 μαύρες και 3 άσπρες μπάλες κι ένα άλλο κουτί περιέχει 2 μαύρες και 6 άσπρες μπάλες. Επιλέγουμε πρώτα ένα από τα δύο κουτιά στην τύχη και από αυτό επιλέγουμε τυχαία μια μπάλα. Αν αυτή η μπάλα είναι μαύρη τότε ποια είναι η πιθανότητα ότι προήλθε από το πρώτο κουτί;
    E8:      info   calculator

VIDEO: Ανεξαρτησία ενδεχομένων, παραδείγματα


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Τα ενδεχόμενα $A$ και $B$ είναι ανεξάρτητα και $\Prob{A}=0.2$, $\Prob{B}=0.3$. Επαναλαμβάνουμε το (αντίστοιχο) πείραμα $N$ φορές (μεγάλος αριθμός) και μετράμε $x\cdot N$ αποτελέσματα για τα οποία ισχύει και το $A$ και το $B$. Ο αριθμός $x$ είναι (περίπου, και για μεγάλα $N$) ίσος με
    E9:      info   calculator
  2. Αν $\Prob{A}=0.3$ και $\Prob{B}=0.4$ και τα $A, B$ είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα ποια είναι η πιθανότητα να ισχύει το $A$ και να μην ισχύει το $B$;
    E10:      info   calculator hint
  3. Τα ενδεχόμενα $A$ και $A$ είναι ανεξάρτητα (το ίδιο ενδεχόμενο, ο ορισμός της ανεξαρτησίας δεν απαιτεί διαφορετικά ενδεχόμενα). Με αυτή την υπόθεση το $\Prob{A}$ μπορεί να πάρει δύο μόνο τιμές. Συμπληρώστε αυτές τις δύο τιμές παρακάτω (μικρότερη πρώτα).
    E11:      info   calculator
    E12:      info   calculator
  4. Σε ένα δοχείο βρίσκονται 100 ίδια σφαιρίδια αριθμημένα από το 1 έως το 100. Τραβάμε ένα σφαιρίδιο και έστω $S$ ο αριθμός του. Και οι 100 τιμές του $S$ είναι εξίσου πιθανές. Αν $k$ είναι ένας φυσικός αριθμός ορίζουμε το ενδεχόμενο
    $A_k = $ το $S$ είναι πολλαπλάσιο του $k$.
    Ποιος είναι ο ελάχιστος φυσικός $k\ge 3$ τέτοιος ώστε τα ενδεχόμενα $A_2$ και $A_k$ είναι ανεξάρτητα;
    E13:      info   calculator hint

VIDEO: Ανεξαρτησία πολλών ενδεχομένων


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Τα τρία ενδεχόμενα $A, B, C$ έχουν πιθανότητες $0.1, 0.2, 0.3$ αντίστοιχα. Επίσης είναι ανεξάρτητα. Ποια η πιθανότητα να ισχύει το $A$ αλλά τα $B$ και $C$ να μην ισχύουν;
    E14:      info   calculator

VIDEO: Ρίψεις δύο νομισμάτων και κατανομή


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Ρίχνουμε δύο νομίσματα. Η κατανομή πιθανότητας στα στοιχεία ΚΚ, ΚΓ,ΓΚ, ΓΓ του δειγματικού χώρου Ω είναι, με αυτή τη σειρά, η
    0.1, 0.2, 0.4, 0.3
    Ποια η πιθανότητα τα δύο νομίσματα να φέρουν το ίδιο αποτέλεσμα;
    E15:      info   calculator
    Ποια η πιθανότητα το πρώτο νόμισμα να είναι κορώνα;
    E16:      info   calculator

VIDEO: Δύο ασύμμετρα ζάρια


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Ρίχνουμε δύο ζάρια. Η κατανομή πιθανότητας στα αποτελέσματα 1, 2, 3, 4, 5, 6 του πρώτου ζαριού είναι, με αυτή σειρά, η
    0.1, 0.1, 0.3, 0.3, 0.1, 0,1
    και του δεύτερου ζαριού η
    0.2, 0.2, 0.1, 0.1, 0.2, 0.2
    Αν οι δύο ρίψεις είναι ανεξάρτητες τότε ποια η πιθανότητα να φέρουμε τα αποτελέσματα 3,2;
    E17:      info   calculator
    Ποια η πιθανότητα το πρώτο ζάρι να είναι το πολύ 3 και το δεύτερο ζάρι να είναι τουλάχιστον 4;
    E18:      info   calculator
    Ποια η πιθανότητα τα δύο αποτελέσματα να είναι ίδια;
    E19:      info   calculator
    Ποια η πιθανότητα τα δύο αποτελέσματα να είναι διαφορετικά;
    E20:      info   calculator

VIDEO: Το παράδοξο των γενεθλίων


PDF εδώ
πρόγραμμα python εδώ

Ερωτήσεις Κατανόησης


Κεντρική σελίδα για διαλέξεις Πιθανοτήτων σε video