5.38 Δεσμευμένη πυκνότητα δύο ΤΜ - Πέ, 29/11/2001

Ορίσαμε τη δεσμευμένη πυκνότητα πιθανότητας μιας ΤΜ $Y$ ως προς μια άλλη ΤΜ $X$, ως εξής:

$$f_{Y\vert X}(y\vert x) = {f(x, y) \over f_X(x)},$$

όταν ο παρανομαστής δεν είναι $0$ ή $\infty$, αλλιώς ορίζεται ως $0$.

Αν το $x$ σταθεροποιηθεί σε κάποια τιμή $x_0$ για την οποία $0<f(x_0)<\infty$ αυτή η συνάρτηση, ως συνάρτηση του $Y$, είναι μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Πρέπει αυτή να τη σκεφτόμαστε ως την πυκνότητα της ΤΜ $Y$ αν έχουμε ως δεδομένο ότι $X=x_0$.

Ο τύπος

$$f(x, y) = f_X(x) f_{Y\vert X}(y\vert x)$$

(μπορεί να θεωρηθεί ότι) ισχύει πάντα.

Δείξαμε ακόμη τον τύπο

$$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{Y\vert X}(y\vert x) f_X(x) dx.$$